Cartier双対

どの写像も $R$ 加群の準同型で、両辺は局所化と両立する（$M$ は有限表示なので、素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{Hom}_R(M,R)_{\mathfrak{p}}=\operatorname{Hom}_{R_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}},R_{\mathfrak{p}})$ であり、テンソル積は局所化と可換である）。$R$ 加群の準同型が同型であることは各素イデアルでの局所化で確かめればよく、局所環上の有限局所自由加群は自由だから、$M=R^m$、$N=R^n$ と仮定してよい。$e_1,\dots,e_m$ と $f_1,\dots,f_n$ を基底、$e_i^\vee$、$f_j^\vee$ を双対基底とする。1 は基底 $e_i^\vee\otimes f_j^\vee$ を $(M\otimes_RN)^\vee$ の基底 $(e_i\otimes f_j)^\vee$ に写すので同型である。2 は基底 $e_i$ を $M^{\vee\vee}$ の基底 $(e_i^\vee)^\vee$ に写す。3 は基底 $e_i^\vee\otimes1$ を $\operatorname{Hom}_{R'}(R'^m,R')$ の基底 $(e_i\otimes1)^\vee$ に写す。$\square$

有限局所自由 $R$ 加群の準同型 $f\colon M\to N$ に転置 $f^\vee\colon N^\vee\to M^\vee$ を対応させる対応は反変関手であり、$(g\circ f)^\vee=f^\vee\circ g^\vee$ を満たす。さらに lem-cartier-dual-tensor の 1 の同一視のもとで $(f\otimes g)^\vee=f^\vee\otimes g^\vee$ であり、入れ替え $\tau$ の転置は $\tau$ 自身である（基底で確かめればよい）。したがって、$A$ のテンソル冪のあいだの準同型からなる可換図式を転置すると、$A^\vee$ のテンソル冪のあいだの可換図式が得られる。
Hopf 代数の公理はすべてこの形の可換図式である。$A$ の余結合律 $(\Delta\otimes1)\circ\Delta=(1\otimes\Delta)\circ\Delta$ を転置すると $\Delta^\vee\circ(\Delta^\vee\otimes1)=\Delta^\vee\circ(1\otimes\Delta^\vee)$、すなわち $A^\vee$ の積の結合律になる。同様に、$A$ の余単位律は $A^\vee$ の単位律に、余可換性 $\tau\circ\Delta=\Delta$ は $A^\vee$ の可換性 $\Delta^\vee\circ\tau=\Delta^\vee$ に、結合律・単位律・可換性はそれぞれ $A^\vee$ の余結合律・余単位律・余可換性になる。$\Delta$ が代数準同型であることは
$$ \Delta\circ\mu=(\mu\otimes\mu)\circ(1\otimes\tau\otimes1)\circ(\Delta\otimes\Delta),\qquad \Delta\circ\eta=\eta\otimes\eta,\qquad \varepsilon\circ\mu=\varepsilon\otimes\varepsilon,\qquad \varepsilon\circ\eta=1 $$
と書け、転置すると $\mu^\vee\circ\Delta^\vee=(\Delta^\vee\otimes\Delta^\vee)\circ(1\otimes\tau\otimes1)\circ(\mu^\vee\otimes\mu^\vee)$ などとなり、これは $A^\vee$ の余積 $\mu^\vee$ と余単位 $\eta^\vee$ が代数準同型であることを表す。対蹠射の公理 $\mu\circ(\iota\otimes1)\circ\Delta=\eta\circ\varepsilon=\mu\circ(1\otimes\iota)\circ\Delta$ を転置すると $\Delta^\vee\circ(\iota^\vee\otimes1)\circ\mu^\vee=\varepsilon^\vee\circ\eta^\vee=\Delta^\vee\circ(1\otimes\iota^\vee)\circ\mu^\vee$ となり、これは $\iota^\vee$ が $A^\vee$ の対蹠射であることを表す。
階数については、$R$ の各素イデアルで局所化すれば $A\cong R^n$ であり、そのとき $A^\vee\cong R^n$ である。$\square$

両辺は $T$ についてZariski位相の層をなすので（左辺はスキームの点関手、右辺は準同型の層）、$S=\operatorname{Spec}R$、$T=\operatorname{Spec}R'$ がともにアフィンの場合に示せばよい。$A':=A\otimes_RR'$ とおくと $G_T=\operatorname{Spec}A'$ であり、lem-cartier-dual-tensor の 3 により $(A')^\vee=A^\vee\otimes_RR'$ で、この同一視は Hopf 構造と両立する。よって
$$ G^D(T)=\operatorname{Hom}_{R\text{-alg}}(A^\vee,R')=\operatorname{Hom}_{R'\text{-alg}}((A')^\vee,R') $$
である。以下 $R'$ 上で考え、記号を簡単にするため $R'$ を $R$、$A'$ を $A$ と書き直す。
まず右辺を調べる。$G\to\mathbb{G}_m$ の群スキームの準同型は、Hopf 代数の準同型 $R[t,t^{-1}]\to A$ と同じであり、$t$ の像 $u\in A$ で決まる。$u$ が満たすべき条件は、$u$ が単元であることと、$\Delta(u)=u\otimes u$、$\varepsilon(u)=1$、$\iota(u)=u^{-1}$ である。ここで $\Delta(u)=u\otimes u$、$\varepsilon(u)=1$ を満たす $u$（群的元）は自動的に単元で $\iota(u)=u^{-1}$ を満たす。実際、対蹠射の公理を $u$ に適用すると $\iota(u)u=\mu(\iota\otimes1)\Delta(u)=\eta\varepsilon(u)=1$ である。よって右辺は群的元の集合 $\{u\in A:\Delta(u)=u\otimes u,\ \varepsilon(u)=1\}$ であり、群法則は $A$ の積である（指標の積は $t\mapsto uv$ に対応する）。
次に左辺を調べる。lem-cartier-dual-tensor の 2 により、$R$ 線形写像 $f\colon A^\vee\to R$ は $A$ の元 $u$ とただ 1 通りに対応し、$f(\varphi)=\varphi(u)$ である。$f$ が $R$ 代数の準同型であることは、$A^\vee$ の単位が $\varepsilon$ だから $f(\varepsilon)=\varepsilon(u)=1$ であることと、すべての $\varphi,\psi\in A^\vee$ について $f(\varphi\psi)=f(\varphi)f(\psi)$ であることである。後者は
$$ \langle\varphi\otimes\psi,\Delta(u)\rangle=\langle\varphi\psi,u\rangle=\varphi(u)\psi(u)=\langle\varphi\otimes\psi,u\otimes u\rangle $$
がすべての $\varphi,\psi$ について成り立つこと、すなわち $A^\vee\otimes_RA^\vee=(A\otimes_RA)^\vee$ の元がすべて $\Delta(u)-u\otimes u$ で消えることである。有限局所自由加群 $A\otimes_RA$ は lem-cartier-dual-tensor の 2 により双対加群の元で分離されるから、これは $\Delta(u)=u\otimes u$ と同値である。よって左辺も群的元の集合と一致する。
群法則の一致を見る。$G^D(T)$ の群法則は $A^\vee$ の余積 $\mu^\vee$ から $f\cdot g:=(f\otimes g)\circ\mu^\vee$ で与えられる。$f,g$ が $u,v$ に対応するとき、$\varphi\in A^\vee$ について $(f\cdot g)(\varphi)=\langle u\otimes v,\mu^\vee(\varphi)\rangle=\varphi(uv)$ であるから、$f\cdot g$ は $uv$ に対応する。$T$ についての自然性は構成から明らかである。$\square$

$R^\Gamma$ の Hopf 構造を基底 $e_\gamma$ で書く。積は $e_\alpha e_\beta=\delta_{\alpha\beta}e_\alpha$、単位は $1=\sum_\gamma e_\gamma$ である。余積は群法則 $\Gamma\times\Gamma\to\Gamma$ の引き戻し $R^\Gamma\to R^{\Gamma\times\Gamma}=R^\Gamma\otimes_RR^\Gamma$、$f\mapsto\bigl((\alpha,\beta)\mapsto f(\alpha\beta)\bigr)$ だから
$$ \Delta(e_\gamma)=\sum_{\alpha\beta=\gamma}e_\alpha\otimes e_\beta,\qquad \varepsilon(e_\gamma)=\delta_{\gamma,1},\qquad \iota(e_\gamma)=e_{\gamma^{-1}} $$
である。双対基底を $[\gamma]:=e_\gamma^\vee$ と書く。$(R^\Gamma)^\vee$ の積は $\Delta$ の転置だから
$$ \langle[\alpha][\beta],e_\gamma\rangle=\langle[\alpha]\otimes[\beta],\Delta(e_\gamma)\rangle=\begin{cases}1&(\alpha\beta=\gamma)\\0&(\alpha\beta\ne\gamma)\end{cases} $$
であり、$[\alpha][\beta]=[\alpha\beta]$ を得る。単位は $\varepsilon=\sum_\gamma\delta_{\gamma,1}[\gamma]=[1]$ である。よって $R$ 代数として $(R^\Gamma)^\vee\cong R[\Gamma]$、$[\gamma]\mapsto\gamma$ である。余積は積の転置だから $\langle\mu^\vee[\gamma],e_\alpha\otimes e_\beta\rangle=[\gamma](e_\alpha e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}\delta_{\alpha\gamma}$ で、$\mu^\vee[\gamma]=[\gamma]\otimes[\gamma]$ である。余単位は $[\gamma](1)=1$、対蹠射は $[\gamma]\circ\iota=[\gamma^{-1}]$ である。これは $R[\Gamma]$ の Hopf 構造と一致する。したがって $(\Gamma_R)^D=\operatorname{Spec}R[\Gamma]=D(\Gamma)$ である。
$D(\Gamma)$ の点関手は、$R$ 代数 $R'$ について $\operatorname{Hom}_{R\text{-alg}}(R[\Gamma],R')=\operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\Gamma,R'^\times)$ であり、一般の $T$ については Zariski 層の条件から $\operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\Gamma,\Gamma(T,\mathcal{O}_T)^\times)$ である。$D(\Gamma)^D\cong\Gamma_R$ は、いま示した同型を lem-cartier-dual-tensor の 2 で転置すればよい（thm-cartier-biduality の特別な場合）。$\square$

$A=R[t]/(t^p)$ は $1,t,\dots,t^{p-1}$ を基底とする自由加群で、$\Delta(t^i)=(t\otimes1+1\otimes t)^i=\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}t^j\otimes t^{i-j}$ である。双対基底を $\tau_0,\dots,\tau_{p-1}$（$\tau_i(t^j)=\delta_{ij}$）とし、$i\ge p$ については $\tau_i:=0$ とおく。$A^\vee$ の積は $\Delta$ の転置だから
$$ \langle\tau_a\tau_b,t^i\rangle=\langle\tau_a\otimes\tau_b,\Delta(t^i)\rangle=\binom{i}{a}\delta_{i,a+b} $$
であり、$\tau_a\tau_b=\binom{a+b}{a}\tau_{a+b}$ を得る。とくに $\tau_1\tau_a=(a+1)\tau_{a+1}$ だから帰納的に $\tau_1^a=a!\,\tau_a$ である。$a\le p-1$ なら $a!$ は $R$ で可逆（$p$ より小さい素因数しかもたない）なので $\tau_a=\tau_1^a/a!$ であり、$\tau_1^p=(p-1)!\,\tau_1\tau_{p-1}=(p-1)!\,p\,\tau_p=0$ である。単位は $\varepsilon=\tau_0$ である。よって $\tau:=\tau_1$ とおくと $A^\vee=R[\tau]/(\tau^p)$ である。
余積は $A$ の積 $t^it^j=t^{i+j}$（$i+j\ge p$ なら $0$）の転置だから、$\langle\mu^\vee(\tau_k),t^i\otimes t^j\rangle=\tau_k(t^{i+j})=\delta_{k,i+j}$ で、$\mu^\vee(\tau_k)=\sum_{i+j=k}\tau_i\otimes\tau_j$ である。とくに $\mu^\vee(\tau)=\tau\otimes1+1\otimes\tau$ である。余単位は $\tau(1)=0$、対蹠射は $\tau\circ\iota=-\tau$ である。したがって $A^\vee\cong A$、$\tau\mapsto t$ は Hopf 代数の同型で、$\alpha_p^D\cong\alpha_p$ である。$\square$

問題は $S$ について局所的なので $S=\operatorname{Spec}R$、$G=\operatorname{Spec}A$ とする。lem-cartier-dual-tensor の 2 により $c\colon A\to A^{\vee\vee}$、$a\mapsto(\varphi\mapsto\varphi(a))$ は $R$ 加群の同型である。これが Hopf 代数の同型であることを示せばよい。$A^{\vee\vee}$ の積は $A^\vee$ の余積 $\mu^\vee$ の転置 $(\mu^\vee)^\vee$、余積は $A^\vee$ の積 $\Delta^\vee$ の転置 $(\Delta^\vee)^\vee$ である。有限局所自由加群の準同型 $f\colon M\to N$ について、lem-cartier-dual-tensor の 2 の同一視のもとで $(f^\vee)^\vee=f$ である（$\langle(f^\vee)^\vee(c(m)),\psi\rangle=\langle c(m),f^\vee\psi\rangle=\psi(f(m))=\langle c(f(m)),\psi\rangle$）。これを $f=\mu,\Delta,\eta,\varepsilon,\iota$ に適用し、lem-cartier-dual-tensor の 1 の同一視が $(A\otimes_RA)^{\vee\vee}=A^{\vee\vee}\otimes_RA^{\vee\vee}$ と $c\otimes c$ について両立することに注意すれば、$c$ は積・単位・余積・余単位・対蹠射をすべて保つ。よって $c$ は Hopf 代数の同型であり、$\operatorname{Spec}c\colon G^{DD}\to G$ の逆が求める同型である。
自然性は、準同型 $f\colon G\to H$ に対し $(f^*)^{\vee\vee}\circ c_A=c_B\circ f^*$ から従い、同時に $f^{DD}=f$ を与える。この同型が Cartier 対から得られる射と一致することは、prf-cartier-dual-functor の対応で、$a\in A$ に対応する $A^{\vee\vee}$ の元 $c(a)$ が「$\varphi\mapsto\varphi(a)$」であることから分かる。圏同値であることは、$f\mapsto f^D$ が $\operatorname{Hom}(G,H)\to\operatorname{Hom}(H^D,G^D)$ を与え、$f^{DD}=f$ によりこれが全単射になることによる。$\square$

$S=\operatorname{Spec}R$、$S'=\operatorname{Spec}R'$、$G=\operatorname{Spec}A$ の場合に示せば十分である。$G\times_SS'=\operatorname{Spec}(A\otimes_RR')$ で、lem-cartier-dual-tensor の 3 により $R'$ 加群の同型 $A^\vee\otimes_RR'\cong(A\otimes_RR')^\vee$ がある。$A\otimes_RR'$ の Hopf 構造は $A$ の構造射に $\otimes_RR'$ を施したもので、その転置は $A$ の構造射の転置に $\otimes_RR'$ を施したものだから、この同型は Hopf 代数の同型である。$\square$

1 を示す。$k$ が代数閉で $G=\operatorname{Spec}A$ がエタールなら、$A$ は有限エタール $k$ 代数、すなわち有限個の分離拡大体の積で、$k$ が代数閉だから $A\cong k^n$ である。よって $G$ はスキームとして $n$ 個の $k$ 有理点の非交和 $\coprod_{x\in G(k)}\operatorname{Spec}k$ である。$G\times_kG\cong\coprod_{(x,y)}\operatorname{Spec}k$ も同様で、$k^n\to k^{n^2}$ の形の $k$ 代数準同型は有限集合の写像 $G(k)\times G(k)\to G(k)$ とただ 1 通りに対応するから、群法則 $m$ は $G(k)$ の群構造で決まる。$\Gamma:=G(k)$ とおけば $G\cong\Gamma_k$ である。逆に $\Gamma_k=\operatorname{Spec}k^\Gamma$ はエタールである。$G^D\cong D(\Gamma)$ は prop-cartier-constant-diagonalizable である。
2 を示す。$G$ がエタールなら $G_{\bar k}$ もエタールで、1 により $G_{\bar k}\cong\Gamma_{\bar k}$、$\Gamma=G(\bar k)$ である。prop-cartier-base-change により $(G^D)_{\bar k}=(G_{\bar k})^D\cong D(\Gamma)$ である。逆に $G^D$ がエタールなら、同じ議論を $G^D$ に適用し thm-cartier-biduality を使って $G_{\bar k}\cong((G^D)_{\bar k})^D\cong D(\Gamma')$、$\Gamma'=G^D(\bar k)$ を得る。$\square$