Lebesgue数の補題

1：$y,z\in B(x,r)$ なら $d(y,z)\le d(y,x)+d(x,z)<2r$ なので、$\operatorname{diam}B(x,r)\le2r<\delta$ である。$B(x,r)$ は $x$ を含むので空でなく、Lebesgue 数の定義により $\mathcal{U}$ のある成員に含まれる。
2：$A$ を直径が $\delta$ 未満の空でない部分集合とし、$a\in A$ をとる。$y\in A$ なら $d(a,y)\le\operatorname{diam}A<\delta$ なので $A\subset B(a,\delta)$ であり、仮定により $B(a,\delta)$ は $\mathcal{U}$ のある成員に含まれる。$\square$

$X=\emptyset$ なら空でない部分集合がないので、どの $\delta>0$ も Lebesgue 数である。以下 $X\ne\emptyset$ とする。
$X$ はコンパクトなので、$\mathcal{U}$ の有限個の成員 $U_1,\dots,U_n$（$n\ge1$）で $X=U_1\cup\cdots\cup U_n$ となるものがある。ある $U_i$ が $X$ に等しければ、どの $\delta>0$ も Lebesgue 数である。そこで、どの $U_i$ も $X$ に等しくないとし、$C_i:=X\setminus U_i$ とおく。$C_i$ は空でない。
点 $x\in X$ から $C_i$ までの距離を $\varphi_i(x):=\inf\{d(x,c)\mid c\in C_i\}$ で定める。$x,y\in X$、$c\in C_i$ について $d(x,c)\le d(x,y)+d(y,c)$ であり、$c$ について下限をとると $\varphi_i(x)\le d(x,y)+\varphi_i(y)$ を得る。$x$ と $y$ を入れ替えれば
$$ \lvert\varphi_i(x)-\varphi_i(y)\rvert\le d(x,y) $$
である。よって $\varphi_i$ は連続であり、$\varphi(x):=\max\{\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)\}$ も連続である（連続関数の最大値は連続）。
$\varphi$ はどの点でも正である。実際、$x\in X$ に対して $x\in U_i$ となる $i$ をとると、$U_i$ は開集合なので $B(x,\varepsilon)\subset U_i$ となる $\varepsilon>0$ がある。$c\in C_i$ は $B(x,\varepsilon)$ に入らないので $d(x,c)\ge\varepsilon$ であり、$\varphi(x)\ge\varphi_i(x)\ge\varepsilon>0$ となる。
$X$ は空でないコンパクト空間なので、連続関数 $\varphi$ は最小値をとる（コンパクト空間 の定理「最大値・最小値の存在」）。その最小値を $\delta$ とおくと $\delta>0$ である。
この $\delta$ が Lebesgue 数であることを示す。prop-lnl-balls の 2 により、各 $x\in X$ について $B(x,\delta)$ がある $U_i$ に含まれることを示せばよい。$\varphi(x)\ge\delta$ なので、ある $i$ について $\varphi_i(x)\ge\delta$ である。$y\in B(x,\delta)$ が $C_i$ に属するとすると $\varphi_i(x)\le d(x,y)<\delta$ となって矛盾するので、$B(x,\delta)\subset X\setminus C_i=U_i$ である。$\square$

$[0,1]^k$ に $\mathbb{R}^k$ の Euclid 距離を入れる。$[0,1]^k$ は $\mathbb{R}^k$ の有界閉集合なのでコンパクトである（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。$F$ は連続なので、$\{F^{-1}(U)\mid U\in\mathcal{U}\}$ は $[0,1]^k$ の開被覆である。thm-lnl-main によりその Lebesgue 数 $\delta$ をとり、$N>\sqrt k/\delta$ となる整数 $N$ をとる。各小さな立方体の 2 点の距離は対角線の長さ $\sqrt k/N$ 以下なので、$\operatorname{diam}Q_{j_1\cdots j_k}\le\sqrt k/N<\delta$ である。よって $Q_{j_1\cdots j_k}\subset F^{-1}(U)$ となる $U\in\mathcal{U}$ があり、$F(Q_{j_1\cdots j_k})\subset U$ である。$\square$

$\varepsilon>0$ をとる。$\{f^{-1}(B(y,\varepsilon/2))\mid y\in Y\}$ は $X$ の開被覆なので、Lebesgue 数 $\delta$ がある。$x,x'\in X$ が $d_X(x,x')<\delta$ を満たせば、$\{x,x'\}$ は直径が $\delta$ 未満なので、ある $y\in Y$ について $f(x),f(x')\in B(y,\varepsilon/2)$ である。よって $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ である。後半は thm-lnl-main による（コンパクトの場合のこの証明は Mun00 Theorem 27.6（p. 176）と同じである）。$\square$

$(X,d)$ を Lebesgue の性質をもつ距離空間とし、$(x_n)$ を収束しない Cauchy列とする。点 $p\in X$ について $\lvert d(p,x_n)-d(p,x_m)\rvert\le d(x_n,x_m)$ なので $(d(p,x_n))_n$ は実数の Cauchy 列であり、極限 $\ell(p)\ge0$ をもつ。$\ell(p)=0$ なら $x_n\to p$ となって仮定に反するので、$\ell(p)>0$ である。
$U_p:=B(p,\ell(p)/2)$ とおくと $\{U_p\mid p\in X\}$ は $X$ の開被覆なので、Lebesgue 数 $\delta$ がある。$n,m\ge N$ なら $d(x_n,x_m)<\delta/2$ となる $N$ をとると、$A:=\{x_n\mid n\ge N\}$ は直径 $\delta/2$ 以下の空でない集合なので、ある $p$ について $A\subset U_p$ である。すると $n\ge N$ で $d(p,x_n)<\ell(p)/2$ であり、$n\to\infty$ として $\ell(p)\le\ell(p)/2$、すなわち $\ell(p)\le0$ を得る。これは $\ell(p)>0$ に反する。$\square$

1 ⇒ 2：Lebesgue の性質は thm-lnl-main である。コンパクト距離空間が全有界であることは、全有界 の記事の定理「コンパクト性との関係」による（各 $\varepsilon>0$ について開球全体 $\{B(x,\varepsilon)\}$ の有限部分被覆をとればよい）。
2 ⇒ 1：$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とし、その Lebesgue 数 $\delta$ をとる。$X$ は全有界なので、有限個の点 $a_1,\dots,a_m$ で $X=B(a_1,\delta/3)\cup\cdots\cup B(a_m,\delta/3)$ となるものがある（$X=\emptyset$ なら $m=0$）。各開球 $B(a_i,\delta/3)$ は空でなく、直径は $2\delta/3$ 以下で $\delta$ 未満なので、ある $U_i\in\mathcal{U}$ に含まれる。$U_1,\dots,U_m$ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆である。$\square$