余有限位相

閉集合の族 $\mathcal F:=\{X\}\cup\{F\subset X\mid F\ \text{は有限集合}\}$ が、$\emptyset$ と $X$ を含み、有限個の和集合と任意個の共通部分で閉じていることを示せばよい（補集合をとると開集合系の公理になる）。$\emptyset$ は有限集合なので $\emptyset\in\mathcal F$、また $X\in\mathcal F$ である。
有限個の和集合：$F_1,\dots,F_r\in\mathcal F$ とする。どれかが $X$ なら和集合は $X$ である。すべて有限集合なら、和集合は有限集合である。いずれの場合も和集合は $\mathcal F$ に属する。
任意個の共通部分：$(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathcal F$ の元の族とする。すべての $F_\lambda$ が $X$ なら（$\Lambda=\emptyset$ の場合を含む。空な族の共通部分は $X$ と約束する）共通部分は $X$ である。ある $\lambda_0$ で $F_{\lambda_0}$ が有限集合なら、共通部分は $F_{\lambda_0}$ に含まれるので有限集合である。$\square$

1 ⇒ 2：1 点集合が閉集合であることは 分離公理 の記事の命題「$T_1$ と一点集合の閉性」である。有限集合は有限個の 1 点集合の和集合なので閉集合である（$\emptyset$ も閉集合）。
2 ⇒ 3：$U\in\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ とする。$U=\emptyset$ なら $U\in\mathcal O$ である。$U\neq\emptyset$ なら $X\setminus U$ は有限集合なので 2 により $\mathcal O$ の閉集合であり、$U$ は $\mathcal O$ の開集合である。
3 ⇒ 1：$x\neq y$ なら $X\setminus\{y\}$ は補集合が有限なので $\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ に属し、3 により $\mathcal O$ の開集合である。これは $x$ を含み $y$ を含まない。
最後の主張：$\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ 自身は 3 を満たすので $T_1$ であり、$T_1$ な位相はすべて 3 により $\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ を含む。$\square$

1：$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ は有限集合 $2$ つの和集合なので有限集合であり、$X$ は無限集合なので $U\cap V\neq\emptyset$ である（Hausdorff空間 の記事の例「反例：余有限位相」の 2 と同じ議論）。空でない開集合 $U$ がすべての空でない開集合と交わることは、$U$ が稠密であることにほかならない。
2：既約性を示す。$X\neq\emptyset$ である。$X$ に真に含まれる閉集合は有限集合なので、その $2$ つの和集合は有限集合であり、無限集合 $X$ に等しくならない。既約なら連結である。実際、$X=A\cup B$ を互いに素な空でない開集合への分割とすると、$A$ と $B$ は互いの補集合として閉集合でもあり、どちらも $X$ に真に含まれるので既約性に反する。
3：$f(x)\neq f(x')$ となる $x,x'$ があるとすると、Hausdorff 性により $f(x)\in W$、$f(x')\in W'$、$W\cap W'=\emptyset$ となる開集合がある。$f^{-1}(W)$ と $f^{-1}(W')$ は空でない開集合で互いに素であり、1 に反する。$\mathbb{R}$ は距離空間なので Hausdorff 空間である。$\square$

1：$A\subset X$ とし、$\mathcal U$ を $X$ の開集合からなる $A$ の被覆とする。$A=\emptyset$ なら空な部分族が被覆である。$A\neq\emptyset$ なら、$\mathcal U$ は $A$ の点を含む元 $U_0$ をもち、$U_0\neq\emptyset$ なので $A\setminus U_0\subset X\setminus U_0$ は有限集合である。その各点 $a$ について $a\in U_a$ となる $U_a\in\mathcal U$ を $1$ つずつ選べば、$U_0$ と有限個の $U_a$ が $A$ を覆う。
2：すべての $F_n$ が $X$ なら一定である。そうでなければ $F_{n_0}\neq X$ となる $n_0$ があり、$n\ge n_0$ では $F_n\subset F_{n_0}$ も $X$ でない閉集合、すなわち有限集合である。有限集合の減少列では要素の個数 $|F_n|$ が非負整数の減少列なので、ある番号から先で個数が一定になり、包含と合わせて $F_n$ 自身が一定になる。$\square$

閉包は $A$ を含む閉集合の共通部分である。$A$ が有限集合なら $A$ 自身が閉集合なので $\overline A=A$ である。$A$ が無限集合なら $A$ を含む閉集合は有限集合でありえず $X$ だけなので、$\overline A=X$ である。内部は $A$ に含まれる開集合の和集合である。$X\setminus A$ が有限集合なら $A$ 自身が開集合なので $A^\circ=A$ である。$X\setminus A$ が無限集合なら、$A$ に含まれる空でない開集合 $U$ があれば $X\setminus A\subset X\setminus U$ が有限集合になって矛盾するので、$A^\circ=\emptyset$ である。$\square$

必要性：$x_n\to x$ とし、$y\neq x$ とする。$X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍なので、ある番号から先の $x_n$ はすべて $y$ と異なる。よって $x_n=y$ となる $n$ は有限個である。
十分性：$U$ を $x$ の開近傍とする。$F:=X\setminus U$ は $x$ を含まない有限集合であり、$x_n\notin U$ となる番号の集合は、有限個の $y\in F$ にわたる有限集合 $\{n\mid x_n=y\}$ の和集合なので有限集合である。その最大値より大きい $n$ では $x_n\in U$ である。
1 は条件がすべての $x$ について成り立つ場合であり、2 は条件を $x\neq y$ と $x=y$ に分けて読んだものである。$\square$

1：$X$ を $\mathbb{N}$ と全単射で同一視する。有限部分集合をその元を小さい順に並べた有限列に対応させる写像は単射なので、可算集合 の記事の例「自然数の有限列の全体」により有限部分集合の全体は可算である。$\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ の空でない元は有限部分集合の補集合なので、$\mathcal O_{\mathrm{cof}}$ は可算集合であり、それ自身が可算な開基である。
2：第1可算公理 の記事の注意「反例：非可算集合上の補有限位相」で証明されている。要点は、点 $x$ の可算個の開近傍 $U_n$ の補集合の和集合 $\bigcup_n(X\setminus U_n)$ が可算集合なので、その外の点 $y\neq x$ をとると、開近傍 $X\setminus\{y\}$ がどの $U_n$ も含まないことである。
3：距離空間は Hausdorff 空間である（Hausdorff空間 の記事の例「距離空間の Hausdorff 性」）が、$X_{\mathrm{cof}}$ は ex-cofinite-topology-t1-not-hausdorff により Hausdorff でない。$\square$

1：$Y_{\mathrm{cof}}$ の閉集合は $Y$ と有限集合 $F$ であり、$f^{-1}(Y)=Z$、$f^{-1}(F)=\bigcup_{y\in F}f^{-1}(y)$ である。$f$ が連続なら、閉集合 $\{y\}$ の逆像 $f^{-1}(y)$ は閉集合である。逆に各 $f^{-1}(y)$ が閉集合なら、$f^{-1}(F)$ は有限個の閉集合の和集合なので閉集合であり、閉集合の逆像がすべて閉集合なので $f$ は連続である。
2：1 により、$f$ の連続性は各 $f^{-1}(y)$ が $X_{\mathrm{cof}}$ の閉集合、すなわち有限集合か $X$ であることと同値である。ある $y$ で $f^{-1}(y)=X$ なら $f$ は値 $y$ の定値写像である。そうでなければ、すべての $f^{-1}(y)$ が有限集合である。逆に定値写像は連続であり、逆像がすべて有限集合なら 1 により連続である。
3：単射の逆像は空集合か 1 点集合であり、どちらも閉集合なので、1 により連続である（$X$ が有限集合でも成り立つ）。全単射 $f$ の逆写像も全単射なので連続であり、$f$ は同相写像である。$\square$

相対位相の開集合は $A\cap U$（$U$ は $X_{\mathrm{cof}}$ の開集合）である。$U=\emptyset$ なら $A\cap U=\emptyset$ である。$X\setminus U$ が有限集合なら、$A\setminus(A\cap U)=A\cap(X\setminus U)$ は有限集合なので、$A\cap U$ は $A$ の余有限位相の開集合である。逆に $V\subset A$ が $A$ の余有限位相の開集合で $V\neq\emptyset$ とすると、$A\setminus V$ は有限集合なので $U:=X\setminus(A\setminus V)$ は $X_{\mathrm{cof}}$ の開集合であり、$A\cap U=V$ である。$V=\emptyset$ は $A\cap\emptyset$ である。$\square$