生成系(ベクトル空間)

次数 $2$ 以下の多項式の空間 $K[x]_{\le2}$ は $\{1,x,x^2\}$ で生成される。$\{1,\ 1+x,\ 1+x+x^2\}$ も生成系である。実際 $x=(1+x)-1$、$x^2=(1+x+x^2)-(1+x)$ なので、$1,x,x^2$ はこの 3 つの張る部分空間に入り、張る空間の最小性（部分空間 の記事の命題「生成される部分空間（張る空間）」）により、この 3 つが張る空間は $K[x]_{\le2}$ 全体である。多項式環 $K[x]$ 全体は無限集合 $\{1,x,x^2,\dots\}$ で生成される。各多項式は有限個の単項式の線形結合なので、無限集合を使っても 1 つの表示に現れる元は有限個である。

$q$ 個の元からなる体 $\mathbb{F}_q$ 上で、$\mathbb{F}_q^n$ を生成する $n$ 個のベクトルの順序付きの組 $(v_1,\dots,v_n)$ の個数は
$$ (q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots(q^n-q^{n-1}) $$
である。$n$ 個のベクトルが $n$ 次元の空間を生成することは、それが基底であること、すなわち線形独立であることと同値なので（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」）、各 $k$ で $v_{k+1}\notin\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ となる組を数えればよい（線形独立 の記事の命題「一ベクトルの追加」）。$v_1,\dots,v_k$ が線形独立なら、$\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ は $\mathbb{F}_q^k$ と線形同型（線形写像 の記事の命題「座標写像による同型」）でちょうど $q^k$ 個の元をもつので、$v_{k+1}$ の選び方は $q^n-q^k$ 通りである。$q=2$、$n=2$ なら $3\cdot2=6$ 組で、$0$ でない 3 つのベクトルから異なる 2 つを順に選ぶ組と一致する。

$K$ の元の列全体の空間 $K^{\mathbb{N}}$ で、第 $n$ 項だけが $1$ でほかが $0$ の列を $e_n$ とする。$\operatorname{span}\{e_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ は、$0$ でない項が有限個しかない列の全体である。したがってすべての項が $1$ の列 $(1,1,1,\dots)$ は、形式的には $\sum_ne_n$ と書けそうに見えるが、$\operatorname{span}\{e_n\}$ に入らない。$\{e_n\}$ は $K^{\mathbb{N}}$ の生成系ではない。この例は「有限個の線形結合で書ける」を満たさないものを、無限和の記法で生成系に含めてしまう誤りを示す。$\{e_n\}$ は無限個の線形独立なベクトルなので、$K^{\mathbb{N}}$ は有限生成でもない（基底と次元 の記事の定理「次元の一意性」の 1）。

整数全体 $\mathbb{Z}$ を、整数を係数とする線形結合で考える（$\mathbb{Z}$ 上の加群）。$1=3-2$ なので $\{2,3\}$ は $\mathbb{Z}$ を生成する。$\{2\}$ が生成するのは偶数全体、$\{3\}$ が生成するのは $3$ の倍数全体なので、$\{2,3\}$ のどの真部分集合も $\mathbb{Z}$ を生成せず、$\{2,3\}$ は極小な生成系である。しかし $3\cdot2+(-2)\cdot3=0$ なので線形独立でなく、基底ではない。さらに $\{1\}$ も極小な生成系であり、極小な生成系の元の個数（$2$ と $1$）が一致しない。この例は「係数が体の元である」を満たさないので、「極小な生成系は基底である」（基底と次元 の記事の定理「基底の同値条件」）が成り立たない。証明で $b_j=-a_j^{-1}\sum_{i\ne j}a_ib_i$ と係数で割る段階が、$\mathbb{Z}$ では $a_j=\pm1$ のときしかできないからである。

$\mathbb{R}^2$ の生成系 $S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ の各元に $1$ を対応させる写像 $f\colon S\to\mathbb{R}$ は、線形写像 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ に拡張できない。実際、線形写像 $T$ が $T(1,0)=T(0,1)=1$ を満たせば $T(1,1)=2\ne1$ である。$S$ の元の間には $(1,0)+(0,1)-(1,1)=0$ という関係があるのに、$f$ の値では $1+1-1=1\ne0$ となり、関係が保たれていない（thm-ss-extension の 2）。この例は「$S$ が線形独立である」を満たさないので、「値を任意に指定した線形写像が存在する」が成り立たない。

$\mathbb{R}^2$ の生成系 $S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ の元の間の関係は、$(1,0)+(0,1)-(1,1)=0$ の定数倍だけである（$(1,0),(0,1)$ は線形独立なので、関係の係数は第 3 の元の係数で決まる）。したがって $f(1,0)=a$、$f(0,1)=b$、$f(1,1)=c$ が線形写像に拡張できるのは $a+b-c=0$ のときに限り、そのとき $T(x,y)=ax+by$ である。ex-ss-no-extension は $a=b=c=1$ の場合である。

$A=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}\in M_{2,3}(\mathbb{Q})$ の最初の 2 列は $\det\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=-2\ne0$ なので $\mathbb{Q}^2$ の基底であり、3 つの列は $\mathbb{Q}^2$ を生成する。$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-2&\frac32\\1&-\frac12\end{pmatrix}$ の下に $0$ の行を付けた
$$ B=\begin{pmatrix}-2&\frac32\\1&-\frac12\\0&0\end{pmatrix} $$
は $AB=I_2$ を満たす。$A(1,-2,1)^{\top}=0$ なので、$B$ の各列に $(1,-2,1)^{\top}$ の定数倍を加えたものも右逆行列であり、右逆行列は無数にある。