Hensel局所環

$A[t]$ における Taylor 展開 $f(t+s)=f(t)+f'(t)s+s^2g(t,s)$（$g\in A[t,s]$）は、$f$ が $t^n$ の場合の 2 項展開から従う。$t=a$、$s=b-a$ を代入すると
$$ 0=f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+(b-a)^2g(a,b-a)=(b-a)\bigl(f'(a)+(b-a)g(a,b-a)\bigr). $$
$f'(a)$ は $\mathfrak{m}$ に属さないので単元であり、$b-a\in\mathfrak{m}$ だから $f'(a)+(b-a)g(a,b-a)$ は単元と $\mathfrak{m}$ の元の和、すなわち単元である。したがって $b-a=0$ である。Hensel 局所環での主張は、$\bar f'(a_0)\neq0$ が $f'(a)\notin\mathfrak{m}$ を意味することから従う。

$f\in A[t]$ をモニック、$a_0\in k$ を $\bar f$ の単根とする。$a_0$ の持ち上げ $a_1\in A$ を任意にとる。$f(a_1)\in\mathfrak{m}$、$f'(a_1)\notin\mathfrak{m}$ である。列 $a_1,a_2,\dots$ を次の性質をみたすように帰納的に作る：$a_n\equiv a_1\pmod{\mathfrak{m}}$、$f(a_n)\in\mathfrak{m}^n$、$f'(a_n)$ は単元、$a_{n+1}\equiv a_n\pmod{\mathfrak{m}^n}$。$n=1$ では成り立っている。$a_n$ まで作れたとき
$$ a_{n+1}:=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$
とおく。$f(a_n)\in\mathfrak{m}^n$ なので $a_{n+1}\equiv a_n\pmod{\mathfrak{m}^n}$、したがって $a_{n+1}\equiv a_1\pmod{\mathfrak{m}}$ であり、$f'(a_{n+1})\equiv f'(a_1)\pmod{\mathfrak{m}}$ は単元である。prf-henselian-local-ring-uniqueness の Taylor 展開を $t=a_n$、$s=a_{n+1}-a_n$ に適用すると
$$ f(a_{n+1})=f(a_n)+f'(a_n)(a_{n+1}-a_n)+(a_{n+1}-a_n)^2g=(a_{n+1}-a_n)^2g\in\mathfrak{m}^{2n}\subset\mathfrak{m}^{n+1} $$
である（$n\ge1$）。これで帰納的な構成が終わる。
列 $(a_n)$ は $a_{n+1}\equiv a_n\pmod{\mathfrak{m}^n}$ をみたすので、各 $N$ について $A/\mathfrak{m}^N$ における像は $n\ge N$ で一定であり、それらは $\varprojlim A/\mathfrak{m}^n$ の元を定める。完備性により、この元に対応する $a\in A$ がある。$a\equiv a_n\pmod{\mathfrak{m}^n}$（$n\ge1$）である。任意の $n$ について $f(a)\equiv f(a_n)\equiv0\pmod{\mathfrak{m}^n}$ なので $f(a)\in\bigcap_n\mathfrak{m}^n$ であり、$A\to\varprojlim A/\mathfrak{m}^n$ が単射（分離性）だからこの共通部分は $0$ である。よって $f(a)=0$、$\bar a=\bar a_1=a_0$ である。

1. $\mathfrak{n}$ を $C$ の極大イデアルとし、$\mathfrak{p}=\mathfrak{n}\cap A$ とおく。$C/\mathfrak{n}$ は体で、$A/\mathfrak{p}\subset C/\mathfrak{n}$ は整拡大である（$C$ は $A$ 上有限、したがって整だから）。体の上に整な整域は体なので $A/\mathfrak{p}$ は体、すなわち $\mathfrak{p}$ は極大、$\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ である。よって $\mathfrak{m}C\subset\mathfrak{n}$ である。対応の主張はイデアルの対応定理から従う。
2. 1 により $C$ の極大イデアルの集合は $C/\mathfrak{m}C$ のそれと 1 対 1 に対応するので、後者が 1 点なら前者も 1 点である。
3. $C\neq0$ で $C/\mathfrak{m}C=0$ なら $C=\mathfrak{m}C$ となり、Nakayamaの補題により $C=0$ となって矛盾する。$C/\mathfrak{m}C$ は $k$ 上有限次元の代数なのでArtin環であり、Artin 環は有限個の Artin 局所環の直積である（AM69 Theorem 8.7）。

$M=A[t]/(g)$ は $g$ がモニックなので $1,t,\dots,t^{\deg g-1}$ を基底とする有限自由加群である。$h$ の掛け算 $M\to M$ の余核 $N=M/hM$ は有限生成 $A$ 加群で、$N/\mathfrak{m}N=k[t]/(\bar g,\bar h)=0$ である。Nakayama の補題により $N=0$、すなわち $h$ は $A[t]/(g)$ で単元であり、$ug+vh=1$ となる $u,v\in A[t]$ がある。後半は中国剰余定理である。

$f\in A[t]$ をモニック、$a_0\in k$ を $\bar f$ の単根とする。$k[t]$ で $\bar f=(t-a_0)h_0$ と書け、$a_0$ が単根なので $h_0(a_0)\neq0$、すなわち $t-a_0$ と $h_0$ は互いに素である。条件 2 により $f=gh$、$\bar g=t-a_0$、$\bar h=h_0$ となるモニック $g,h\in A[t]$ がある。$g$ はモニックで次数 1 だから $g=t-a$（$a\in A$）の形で、$\bar a=a_0$、$f(a)=g(a)h(a)=0$ である。

$f\in A[t]$ をモニック（次数 $n$）、$\bar f=g_0h_0$ を互いに素なモニック多項式による因数分解とする。$S=A[t]/(f)$ は $1,t,\dots,t^{n-1}$ を基底とする階数 $n$ の自由 $A$ 加群であり、有限 $A$ 代数である。条件 3 により $S=S_1\times\dots\times S_r$（各 $S_i$ は局所環）と書ける。$\mathfrak{m}$ で還元すると
$$ k[t]/(\bar f)=S/\mathfrak{m}S=S_1/\mathfrak{m}S_1\times\dots\times S_r/\mathfrak{m}S_r $$
であり、lem-henselian-local-ring-finite-algebra の 2・3 により各 $S_i/\mathfrak{m}S_i$ は $0$ でない局所環である。他方、lem-henselian-local-ring-coprime（$A=k$ の場合）により $k[t]/(\bar f)=k[t]/(g_0)\times k[t]/(h_0)$ である。
局所環には冪等元が $0,1$ しかないので、有限個の局所環の直積 $\prod L_i$ の冪等元は各成分が $0$ または $1$ の元にかぎる。したがって $k[t]/(\bar f)$ の冪等元で $k[t]/(g_0)$ に対応するもの $\varepsilon$ は、ある添字集合 $I\subset\{1,\dots,r\}$ について $\prod_{i\in I}S_i/\mathfrak{m}S_i$ の単位元である。$S'=\prod_{i\in I}S_i$、$S''=\prod_{i\notin I}S_i$ とおけば $S=S'\times S''$、$S'/\mathfrak{m}S'\cong k[t]/(g_0)$、$S''/\mathfrak{m}S''\cong k[t]/(h_0)$ であり、これらの同型は $t$ の像を $t$ の像に写す。
$S'$ は自由加群 $S$ の直和因子なので有限生成射影加群であり、局所環上の有限生成射影加群は自由である（Mat89 Theorem 2.5）。その階数は $\dim_kS'/\mathfrak{m}S'=\deg g_0$ である。$S'$ における $t$ の掛け算の特性多項式を $g\in A[t]$ とすると、$g$ はモニックで次数 $\deg g_0$ であり、$\bar g$ は $k[t]/(g_0)$ における $t$ の掛け算の特性多項式、すなわち $g_0$ である（基底 $1,t,\dots,t^{\deg g_0-1}$ に関する行列は $g_0$ の同伴行列）。同様に $S''$ から次数 $\deg h_0$ のモニック多項式 $h$ で $\bar h=h_0$ となるものが得られる。Cayley–Hamiltonの定理により $g(t)=0$ が $S'$ で、$h(t)=0$ が $S''$ で成り立つので、$g(t)h(t)=0$ が $S=S'\times S''$ で成り立つ。すなわち $f$ は $A[t]$ で $gh$ を割る。$f$ と $gh$ はともにモニックで次数 $n=\deg g_0+\deg h_0$ だから $f=gh$ である。

$B$ を有限 $A$ 代数とし、$\bar B=B/\mathfrak{m}B$ とおく。まず、$\bar B$ の任意の冪等元 $\bar e$ が $B$ の冪等元に持ち上がることを示す。$\bar e=0,1$ なら明らかなので $\bar e\neq0,1$ とする。$b\in B$ を $\bar e$ の持ち上げとする。$B$ は $A$ 上有限なので $b$ は $A$ 上整であり（AM69 Proposition 5.1）、$f(b)=0$ となるモニック $f\in A[t]$ がある。$\bar B$ で $\bar f(\bar e)=0$ であり、$\bar e^2=\bar e$ から $\bar f(\bar e)=\bar f(0)(1-\bar e)+\bar f(1)\bar e$ なので、$\bar e$ と $1-\bar e$ をそれぞれ掛けて $\bar f(1)\bar e=0$、$\bar f(0)(1-\bar e)=0$ を得る。$\bar f(0),\bar f(1)\in k$ はスカラーで $\bar e,1-\bar e\neq0$ だから $\bar f(0)=\bar f(1)=0$ である。
$\bar f=t^rh_0$（$r\ge1$、$h_0(0)\neq0$）と書く。$\bar f(1)=0$ から $h_0(1)=0$ である。$t^r$ と $h_0$ は互いに素なので、条件 2 により $f=gh$、$\bar g=t^r$、$\bar h=h_0$ となるモニック $g,h\in A[t]$ がある。lem-henselian-local-ring-coprime により $ug+vh=1$ となる $u,v\in A[t]$ がとれる。$e':=(vh)(b)\in B$ とおくと
$$ e'^2-e'=(vh)(b)\bigl((vh)(b)-1\bigr)=-(vh)(b)(ug)(b)=-(uv)(b)\,f(b)=0 $$
なので $e'$ は冪等元である。その像 $\bar e'\in\bar B$ を計算する。$\bar e$ が冪等なので、任意の $q\in k[t]$ について $q(\bar e)=q(0)(1-\bar e)+q(1)\bar e$ である。$h_0(1)=0$ より $h_0(\bar e)=h_0(0)(1-\bar e)$、また $\bar u\bar g+\bar v h_0=1$ に $t=0$ を代入して $\bar v(0)h_0(0)=1$ である。よって
$$ \bar e'=\bar v(\bar e)h_0(\bar e)=\bigl(\bar v(0)(1-\bar e)+\bar v(1)\bar e\bigr)h_0(0)(1-\bar e)=\bar v(0)h_0(0)(1-\bar e)=1-\bar e $$
となり、$1-e'$ は $\bar e$ を持ち上げる冪等元である。
次に $B$ が有限個の局所環の直積であることを示す。lem-henselian-local-ring-finite-algebra の 3 により $\bar B=\bar B_1\times\dots\times\bar B_s$（各 $\bar B_i$ は局所環）であり、この分解の単位元 $\bar e_1,\dots,\bar e_s$ は互いに直交する冪等元で和が $1$ である。$s$ についての帰納法で、$B=B_1\times\dots\times B_s$、$B_i/\mathfrak{m}B_i\cong\bar B_i$ となる分解を作る。$s=1$ なら何もすることはない。$s\ge2$ のとき $\bar e_1$ を冪等元 $e_1\in B$ に持ち上げると $B=e_1B\times(1-e_1)B$ であり、両因子は有限 $A$ 代数で、$e_1B/\mathfrak{m}e_1B\cong\bar e_1\bar B=\bar B_1$、$(1-e_1)B/\mathfrak{m}(1-e_1)B\cong(1-\bar e_1)\bar B=\bar B_2\times\dots\times\bar B_s$ である。後者に帰納法の仮定を適用すればよい。最後に、各 $B_i$ は $B_i/\mathfrak{m}B_i\cong\bar B_i$ が局所環なので、lem-henselian-local-ring-finite-algebra の 2 により局所環である。

thm-henselian-local-ring-characterization の 1 と 3 の同値を用いる。$C$ を有限 $B$ 代数とすると、$C$ は有限 $A$ 代数でもあるので、条件 3 により有限個の局所環の直積である。よって $B$ は条件 3 をみたし、Hensel 局所環である。一般の有限 $A$ 代数 $B$ は条件 3 により局所環 $B_i$ の直積で、各 $B_i$ は有限 $A$ 代数なので前半により Hensel 局所環である（Stacks Tag 04GH）。

thm-henselian-local-ring-etale-structure により $g\notin\mathfrak{q}$ をとって $B_g\cong(A[t]/(f))_h$ とできる。$B\to B_g$ と合成すれば $B_g$ の切断から $B$ の切断が得られ、$\mathfrak{q}B_g$ の引き戻しは $\mathfrak{q}$ になるので、$B=(A[t]/(f))_h$ としてよい。$\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{m}$ の上にあるので、$B/\mathfrak{m}B=(k[t]/(\bar f))_{\bar h}$ の素イデアルに対応し、$\kappa(\mathfrak{q})=k$ という仮定から、それは $\bar f$ の根 $a_0\in k$ に対応する極大イデアル $(t-a_0)$ で、$\bar h(a_0)\neq0$ をみたす。$f'$ が $B$ で単元なので $\bar f'(a_0)\neq0$、すなわち $a_0$ は $\bar f$ の単根である。$A$ が Hensel 局所環だから $f(a)=0$、$\bar a=a_0$ となる $a\in A$ がある。$h(a)\equiv\bar h(a_0)\not\equiv0\pmod{\mathfrak{m}}$ より $h(a)$ は $A$ の単元なので、$t\mapsto a$ は $A$ 代数の射 $\tau\colon(A[t]/(f))_h\to A$ を定める。$\tau^{-1}(\mathfrak{m})$ は $\mathfrak{m}B$ と $t-a$ を含む素イデアルなので、$B/\mathfrak{m}B$ での像は $t-a_0$ を含む素イデアル、すなわち極大イデアル $(t-a_0)$ であり、したがって $\tau^{-1}(\mathfrak{m})=\mathfrak{q}$ である。