Mamikonの定理

同義語：接線が掃く面積Mamikon's theorem

概要

前提知識: 媒介変数表示の曲線が囲む面積, 極座標で表された図形の面積, 三平方の定理（高校数学）, ベクトルの内積

高校での出発点：円に接線の線分を引く

円の各点から、円を反時計回りにたどる向き（進む向き）に、長さ $L$ の接線の線分を引く。線分の端はどんな曲線を描き、線分が通った部分の面積はいくらだろうか。

円に長さ 1 の接線の線分を引く

原点を中心とする半径 $2$ の円の点 $P(2\cos\varphi,2\sin\varphi)$ で、進む向きの長さ $1$ の接線のベクトルは $\vec T=(-\sin\varphi,\cos\varphi)$ である（$\overrightarrow{OP}$ と垂直で、$\varphi$ が増える向き）。線分の端を $Q$ とすると $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\vec T$ で、$\overrightarrow{OP}\perp\vec T$ なので三平方の定理（三平方の定理（高校数学））により
$$ OQ^2=OP^2+1^2=4+1=5 $$
である。$Q$ は半径 $\sqrt5$ の円を描き、2 つの円の間の円環の面積は
$$ \pi\bigl(\sqrt5\bigr)^2-\pi\cdot2^2=5\pi-4\pi=\pi $$
である。
半径を $3$ にすると、$OQ^2=9+1=10$ で、円環の面積は $10\pi-9\pi=\pi$ である。一般に半径 $R$、線分の長さ $L$ なら $\pi(R^2+L^2)-\pi R^2=\pi L^2$ で、円の大きさによらない。

円環の面積が円の大きさによらないのは、三平方の定理で $R^2$ が打ち消し合うからである。では、円でない曲線ではどうなるか。

楕円に長さ 1 の接線の線分を引く

楕円 $P(t)=(3\cos t,\ 2\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）の各点から、進む向きに長さ $1$ の接線の線分を引く。速度ベクトル $P'(t)=(-3\sin t,\ 2\cos t)$ を長さ $1$ にした $\vec T(t)=\dfrac{P'(t)}{\lvert P'(t)\rvert}$ が進む向きの接線のベクトルで、線分の端は $Q(t)=P(t)+\vec T(t)$ である。たとえば
$$ t=0:\ Q=(3,1),\qquad t=\frac\pi2:\ Q=(-1,2),\qquad t=\pi:\ Q=(-3,-1) $$
である。楕円の面積は $\pi\cdot3\cdot2=6\pi=18.8495\ldots$ で、$Q$ が描く曲線の囲む面積を数値積分で求めると $21.9911\ldots$ になる。差は $3.14159\ldots$ で、円のときと同じ $\pi\cdot1^2$ である。

半径 2 の円の各点から長さ 1 の接線の線分を間引いて描いたもので、線分の端は半径√5 の円の上にあり、間の円環を色で塗ってある

楕円の各点から長さ 1 の接線の線分を間引いて描いたもので、線分の端が描く曲線と楕円の間を色で塗ってある

円でも楕円でも、間の部分の面積は $\pi L^2$ だった。この記事で答える問いは次の 3 つである。

滑らかな凸の閉曲線なら、形によらず間の部分の面積は $\pi L^2$ か。→ thm-mam-closed
線分の長さが点ごとに変わるとき、線分が通る部分の面積は何で決まるか。→ thm-mam-sweep

どんな曲線で成り立たないか。→ ex-mam-cx-nonconvex、ex-mam-cx-square

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
$\frac12\int(xy'-yx')\,dt$ で面積を求める	符号つき面積 $S[X]$	線積分と Green の定理
接線の傾きの角	接線の角 $\theta(t)$	単位接ベクトルの偏角
円環の面積が $\pi L^2$	間の部分の面積が $\pi L^2$	接線の束の面積
扇形の面積 $\frac12\int r^2d\theta$	線分が掃く面積 $\frac12\int L^2d\theta$	極座標の面積の公式

この記事では、thm-mam-closed と thm-mam-sweep の 2 つを Mamikon の定理 と呼ぶ。

言葉の準備：外積と符号つき面積

平面のベクトル $\vec u=(u_1,u_2)$、$\vec v=(v_1,v_2)$ について
$$ \vec u\times\vec v=u_1v_2-u_2v_1 $$
と書き、$\vec u$ と $\vec v$ の外積と呼ぶ。$\vec u$、$\vec v$ でできる平行四辺形の面積に、$\vec u$ から $\vec v$ へ反時計回りに回るなら正、時計回りなら負の符号をつけたものである（靴ひも公式の三角形の面積の式と同じ形）。

外積の性質

平面のベクトル $\vec u$、$\vec v$、$\vec w$ と実数 $k$ について、次が成り立つ。
(1) $\vec v\times\vec u=-\vec u\times\vec v$。特に $\vec u\times\vec u=0$ であり、$\vec v=k\vec u$ なら $\vec u\times\vec v=0$ である。
(2) $\vec u\times(\vec v+\vec w)=\vec u\times\vec v+\vec u\times\vec w$、$\vec u\times(k\vec v)=k(\vec u\times\vec v)$（左側についても同じ）。
(3) $\vec u(t)$、$\vec v(t)$ の成分が $t$ の微分可能な関数なら、$\bigl(\vec u\times\vec v\bigr)'=\vec u\,'\times\vec v+\vec u\times\vec v\,'$。
(4) $\vec u=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$\vec v=(\cos\beta,\sin\beta)$ なら $\vec u\times\vec v=\sin(\beta-\alpha)$。

成分で計算する

要点：どれも成分 $u_1v_2-u_2v_1$ に代入して計算すればよい。(3) は積の微分、(4) は正弦の加法定理である。

詳しい証明を開く

(1) $\vec v\times\vec u=v_1u_2-v_2u_1=-(u_1v_2-u_2v_1)$ である。$\vec v=k\vec u$ なら $\vec u\times\vec v=u_1(ku_2)-u_2(ku_1)=0$ である。

(2) $\vec u\times(\vec v+\vec w)=u_1(v_2+w_2)-u_2(v_1+w_1)=(u_1v_2-u_2v_1)+(u_1w_2-u_2w_1)$ である。$k$ 倍も同じように成分で確かめられる。

(3) 積の微分により $(u_1v_2-u_2v_1)'=u_1'v_2+u_1v_2'-u_2'v_1-u_2v_1'=(u_1'v_2-u_2'v_1)+(u_1v_2'-u_2v_1')$ である。

(4) $\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin(\beta-\alpha)$（加法定理）である。$\square$

閉曲線 $X(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)$（$\alpha\le t\le\beta$、$X(\beta)=X(\alpha)$）について
$$ S[X]=\frac12\int_\alpha^\beta X(t)\times X'(t)\,dt=\frac12\int_\alpha^\beta\bigl(x\,y'-y\,x'\bigr)\,dt $$
を $X$ の 符号つき面積 という。$X$ が途中の有限個の点で折れ曲がる（そこで微分できない）ときは、区間を分けて積分したものの和とする。媒介変数表示の曲線が囲む面積の定理「閉曲線が囲む面積」は、2 つのグラフではさまれた図形の周を反時計回りに 1 周する閉曲線では、$S[X]$ がその図形の面積に等しいことを示している。凸な図形の周は、縦の線分を含まなければ、左端の点からたどり始めるとこの形になる（閉曲線では、たどり始めの点を変えても $S[X]$ は変わらない）。角を丸めた長方形のように縦の線分を含む図形では、座標軸を少し回して縦の線分がないようにしてから当てはめる（外積は 2 つのベクトルの長さとなす角だけで決まるので、座標軸を回しても $S[X]$ は変わらない）。

一般の閉曲線の面積（この記事では証明しない）

自分と交わらない閉曲線 $X$（区分的に滑らかなもの）が図形 $D$ を囲むとき、$X$ が $D$ を反時計回りに 1 周するなら $S[X]$ は $D$ の面積に等しく、時計回りなら $-S[X]$ が $D$ の面積に等しい。どちらの場合も、$D$ の面積は $\lvert S[X]\rvert$ である。これは Green の定理（靴ひも公式の節「大学数学で見る：Green の定理」）の特別な場合で、この記事では証明しない。凸でない図形の周や、thm-mam-sweep で使う閉曲線にはこの事実を使う。

曲線の仮定と接線の角

滑らかな凸の閉曲線と接線の角

曲線 $C\colon P(t)$（$\alpha\le t\le\beta$）が次の 3 つを満たすとき、$C$ を 滑らかな凸の閉曲線 と呼ぶ。
(R1) $P(\beta)=P(\alpha)$ で、$P'(t)$ は連続で $\vec 0$ にならず、$P'(\beta)=P'(\alpha)$ である。
(R2) $P'(t)$ を長さ $1$ にしたベクトル $\vec T(t)=\dfrac{P'(t)}{\lvert P'(t)\rvert}$ を $\vec T(t)=(\cos\theta(t),\sin\theta(t))$ と書くとき、角 $\theta(t)$ を $t$ の連続な関数にとれて、$\theta(t)$ は（広い意味で）単調に増加し、$\theta(\beta)=\theta(\alpha)+2\pi$ である。さらに、区間 $[\alpha,\beta]$ を有限個に分けた各部分で $\theta(t)$ は微分可能で、$\theta'(t)$ は連続である。
(R3) $C$ は自分と交わらず、凸な図形の周を反時計回りに 1 周する。
$\vec T(t)$ を 進む向きの単位接ベクトル、$\theta(t)$ を 接線の角 という。$L>0$ に対し、$P(t)$ から $Q(t)=P(t)+L\,\vec T(t)$ までの線分を 進む向きの長さ $L$ の接線の線分 といい、$Q(t)$ が描く閉曲線を $C_L$ と書く。

条件 (ii) は、曲線を進むと接線がいつも左に回り（または回らずに進み）、1 周でちょうど 1 回転することを表す。条件 (i) で $P'(\beta)=P'(\alpha)$ としたので、$\vec T$ も $Q$ も 1 周すると元にもどり、$C_L$ は閉曲線になる。

円・楕円・角を丸めた長方形

半径 $R$ の円 $P(\varphi)=(R\cos\varphi,R\sin\varphi)$（$0\le\varphi\le2\pi$）では、$\vec T=(-\sin\varphi,\cos\varphi)=\bigl(\cos(\varphi+\tfrac\pi2),\sin(\varphi+\tfrac\pi2)\bigr)$ なので $\theta=\varphi+\dfrac\pi2$、$\theta'=1$ である。
楕円 $P(t)=(3\cos t,2\sin t)$ では、$\theta(t)$ は $P'(t)=(-3\sin t,2\cos t)$ の向きの角で、$t=0$ で $\dfrac\pi2$、$t=\dfrac\pi2$ で $\pi$ と単調に増え、1 周で $2\pi$ 増える。
横 $3$、縦 $2$ の長方形の 4 つの角を、半径 $\dfrac12$ の四分円に取りかえた曲線（角を丸めた長方形）では、辺の直線の部分で $\theta$ は一定で、四分円の部分で $\dfrac\pi2$ ずつ増える。弧の長さを媒介変数にとると、直線と四分円のつなぎ目で $\theta'$ は $0$ から $2$（半径の逆数）に跳ぶが、$\theta$ は連続なので条件 (ii) を満たす。

主定理 1：閉曲線の接線の線分

長さ一定の接線の線分

$C\colon P(t)$（$\alpha\le t\le\beta$）を滑らかな凸の閉曲線、$L>0$ とし、$C_L\colon Q(t)=P(t)+L\,\vec T(t)$ とする。
(1) $S[C_L]=S[C]+\pi L^2$ である。
(2) $C_L$ が自分と交わらない閉曲線で、$C$ がその内側にあるなら、$C$ と $C_L$ の間の部分の面積は $\pi L^2$ である。これは $C$ の形にも大きさにもよらない。

外積を展開して積分する

方針：$Q\times Q'$ を $P$ と $\vec T$ で展開し、項ごとに積分する。$\theta$ が微分できない点では区間を分けて積分し、足し合わせる。
段 1（2 つの外積）。$P'=\lvert P'\rvert\,\vec T$ なので、prop-mam-cross (1) により $\vec T\times P'=0$ である。$\vec T=(\cos\theta,\sin\theta)$ を微分すると $\vec T\,'=\theta'(-\sin\theta,\cos\theta)$ なので
$$ \vec T\times\vec T\,'=\cos\theta\cdot\theta'\cos\theta-\sin\theta\cdot\bigl(-\theta'\sin\theta\bigr)=\theta' $$
である。
段 2（展開）。$Q'=P'+L\,\vec T\,'$ なので、prop-mam-cross (2) により
$$ Q\times Q'=\bigl(P+L\vec T\bigr)\times\bigl(P'+L\vec T\,'\bigr)=P\times P'+L\bigl(P\times\vec T\,'+\vec T\times P'\bigr)+L^2\,\vec T\times\vec T\,' $$
である。段 1 より $\vec T\times P'=0$、$\vec T\times\vec T\,'=\theta'$ なので
$$ Q\times Q'=P\times P'+L\,P\times\vec T\,'+L^2\theta' $$
となる。
段 3（真ん中の項）。prop-mam-cross (3) により $\bigl(P\times\vec T\bigr)'=P'\times\vec T+P\times\vec T\,'$ で、$P'\times\vec T=-\vec T\times P'=0$ なので $P\times\vec T\,'=\bigl(P\times\vec T\bigr)'$ である。$P\times\vec T$ は $t$ の連続な関数で、$P(\beta)=P(\alpha)$、$\vec T(\beta)=\vec T(\alpha)$ なので
$$ \int_\alpha^\beta P\times\vec T\,'\,dt=\Bigl[P\times\vec T\Bigr]_\alpha^\beta=0 $$
である（区間を分けたときも、つなぎ目の値が打ち消し合う）。
段 4（積分する）。段 2 の式を積分して $\dfrac12$ を掛けると、段 3 と条件 (ii) により
$$ S[C_L]=S[C]+\frac L2\cdot0+\frac{L^2}2\int_\alpha^\beta\theta'\,dt=S[C]+\frac{L^2}2\bigl(\theta(\beta)-\theta(\alpha)\bigr)=S[C]+\frac{L^2}2\cdot2\pi=S[C]+\pi L^2 $$
である。これが (1) である。
段 5（面積）。$C$ は凸な図形の周を反時計回りに 1 周するので、$S[C]$ は $C$ が囲む図形の面積である（媒介変数表示の曲線が囲む面積の定理「閉曲線が囲む面積」）。(2) の仮定のもとで、$C_L$ が囲む図形の面積は $\lvert S[C_L]\rvert$ である（rem-mam-green）。(1) より $S[C_L]=S[C]+\pi L^2>0$ なので、これは $S[C_L]$ に等しい。$C$ が $C_L$ の内側にあるので、間の部分の面積は
$$ S[C_L]-S[C]=\pi L^2 $$
である。$\square$

段 4 で効いたのは、接線が 1 周でちょうど 1 回転すること（$\theta$ が $2\pi$ 増えること）だけである。曲線の形や大きさは、段 3 で打ち消し合って消える。ex-mam-start で円の半径が打ち消し合ったのと同じことが、どんな凸な曲線でも起こる。

楕円と角を丸めた長方形

ex-mam-ellipse-start の楕円で $L=1$ とすると、thm-mam-closed (1) により $S[C_L]=6\pi+\pi=7\pi=21.9911\ldots$ で、数値積分の値と一致する。$C_L$ は自分と交わらず、楕円を内側に含む（図 2。$C_L$ の上の点を 2 万個とって確かめた）。
ex-mam-curves (3) の角を丸めた長方形では、囲む面積は長方形から 4 つの角の「1 辺 $\dfrac12$ の正方形 − 四分円」を除いて $S[C]=6-4\Bigl(\dfrac14-\dfrac\pi{16}\Bigr)=5+\dfrac\pi4$ である。$L=1$ とすると、辺の直線の部分では接線の線分は辺の延長の上をすべるだけで、何も掃かず、4 つの角の部分で合わせて $\pi$ を掃く（図 3）。$S[C_L]=5+\dfrac{5\pi}4$ である。
角の部分の面積を三平方の定理で確かめる
四分円の部分では、四分円の中心を $O'$ とすると $O'P\perp\vec T$ なので三平方の定理より $O'Q=\sqrt{\tfrac14+1}=\dfrac{\sqrt5}2$ で、線分は半径 $\dfrac12$ と $\dfrac{\sqrt5}2$ の円の間の部分を掃く。その境界は最初と最後の線分で半径ではないが、$O'$ からの距離が $r$ の点が掃かれる範囲はどの $r$ でも中心角 $90^\circ$ の弧なので、面積は 4 分の 1 の円環と同じで、 $\dfrac14\pi\Bigl(\dfrac54-\dfrac14\Bigr)=\dfrac\pi4$ で、4 つの角で合わせて $\pi$ になる。

曲線（$L=1$）	$S[C]$	$S[C_L]$	差
半径 $2$ の円	$4\pi$	$5\pi$	$\pi$
半径 $3$ の円	$9\pi$	$10\pi$	$\pi$
楕円 $(3\cos t,2\sin t)$	$6\pi$	$7\pi$	$\pi$
角を丸めた長方形	$5+\frac\pi4$	$5+\frac{5\pi}4$	$\pi$

角を丸めた長方形の右下の角で、辺の部分の接線の線分は辺の延長に重なって何も掃かず、四分円の部分の線分だけが、中心 O' の 4 分の 1 の円環と面積の等しい部分を掃く。ほかの 3 つの角も同じ

主定理 2：長さが変わる線分が掃く面積

ex-mam-ellipse (2) では、面積はすべて接線が回る角の部分から生まれ、接線が回らない直線の部分は何も掃かなかった。そこで、曲線の一部分（弧）の各点から、長さが点ごとに変わる接線の線分を引く場合を考える。

接線の線分が掃く部分と接線の束

曲線の弧 $P(t)$（$t_1\le t\le t_2$）は、def-mam-curve の条件 (i) の「$P'(t)$ は連続で $\vec 0$ にならない」と、条件 (ii) の「$\theta(t)$ は連続で単調に増加し、有限個に分けた各部分で微分可能で $\theta'$ は連続」を満たすとする（閉じている必要はない）。長さ $L(t)\ge0$ は $t$ の連続な関数で、有限個に分けた各部分で微分可能で $L'$ は連続とする。$\varepsilon$ を $1$ か $-1$ に決め、
$$ Q(t)=P(t)+\varepsilon L(t)\,\vec T(t) $$
とする（$\varepsilon=1$ なら進む向き、$\varepsilon=-1$ なら逆向きの接線の線分）。

弧 $P$ を $t_1$ から $t_2$ までたどり、線分で $P(t_2)$ から $Q(t_2)$ へ進み、$Q$ を $t_2$ から $t_1$ まで逆にたどり、線分で $Q(t_1)$ から $P(t_1)$ へもどる閉曲線を $\Gamma$ とする。$\Gamma$ が自分と交わらないとき、$\Gamma$ が囲む部分を、接線の線分が 掃く部分 という。
各線分を、始点が原点にくるように平行移動したもの（原点から向き $\varepsilon\vec T(t)$ に長さ $L(t)$ の線分）を全部集めた図形を、接線の束 という。

接線の線分が掃く面積

def-mam-sweep の記号で、次が成り立つ。
(1) $S[\Gamma]=-\dfrac12\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}L(t)^2\,\theta'(t)\,dt$ である。
(2) $\Gamma$ が自分と交わらないとき、接線の線分が掃く部分の面積は
$$ \frac12\int_{t_1}^{t_2}L(t)^2\,\theta'(t)\,dt $$
である。特に $\theta$ が狭義単調増加で、$L$ を $\theta$ の関数 $L(\theta)$ と見るとき、これは $\dfrac12\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}L(\theta)^2\,d\theta$（$\theta_1=\theta(t_1)$、$\theta_2=\theta(t_2)$）である。さらに $\theta_2-\theta_1\le2\pi$ なら、これは接線の束の面積に等しい。

4 つの部分の符号つき面積を足す

方針：$\Gamma$ を 4 つの部分に分け、$\dfrac12\int X\times X'$ をそれぞれ計算して足す。prf-mam-closed と同じ展開を、$L$ が変わる場合に行う。
段 1（$Q\times Q'$ の展開）。$Q'=P'+\varepsilon\bigl(L'\vec T+L\vec T\,'\bigr)$ である。prop-mam-cross (1)(2) と、$\vec T\times P'=0$、$\vec T\times\vec T=0$、$\vec T\times\vec T\,'=\theta'$（prf-mam-closed の段 1）、$\varepsilon^2=1$ を使うと
$$ Q\times Q'=P\times P'+\varepsilon\bigl(L'\,P\times\vec T+L\,P\times\vec T\,'\bigr)+L^2\theta' $$
である。一方、prop-mam-cross (3) と $P'\times\vec T=0$ から
$$ \bigl(L\,P\times\vec T\bigr)'=L'\,P\times\vec T+L\,P'\times\vec T+L\,P\times\vec T\,'=L'\,P\times\vec T+L\,P\times\vec T\,' $$
なので、$Q\times Q'=P\times P'+\varepsilon\bigl(L\,P\times\vec T\bigr)'+L^2\theta'$ である。
段 2（2 本の線分）。点 $A$ から向き $\vec u$（長さ $1$）に長さ $\ell$ だけ進む線分を $X(s)=A+s\vec u$（$0\le s\le\ell$）と表すと、$X\times X'=(A+s\vec u)\times\vec u=A\times\vec u$ なので、$\dfrac12\displaystyle\int_0^\ell X\times X'\,ds=\dfrac\ell2\,A\times\vec u$ である。$P(t_2)$ から $Q(t_2)$ への線分は $A=P(t_2)$、$\vec u=\varepsilon\vec T(t_2)$、$\ell=L(t_2)$ なので $\dfrac\varepsilon2L(t_2)\,P(t_2)\times\vec T(t_2)$ を与える。$Q(t_1)$ から $P(t_1)$ への線分は $A=Q(t_1)$、$\vec u=-\varepsilon\vec T(t_1)$、$\ell=L(t_1)$ で、$Q(t_1)\times\vec T(t_1)=P(t_1)\times\vec T(t_1)$（$\vec T\times\vec T=0$）なので $-\dfrac\varepsilon2L(t_1)\,P(t_1)\times\vec T(t_1)$ を与える。
段 3（2 本の曲線）。弧 $P$ の部分は $\dfrac12\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}P\times P'\,dt$ である。$Q$ を逆にたどる部分は、積分の向きが逆なので符号が変わり、段 1 により
$$ -\frac12\int_{t_1}^{t_2}Q\times Q'\,dt=-\frac12\int_{t_1}^{t_2}P\times P'\,dt-\frac\varepsilon2\Bigl[L\,P\times\vec T\Bigr]_{t_1}^{t_2}-\frac12\int_{t_1}^{t_2}L^2\theta'\,dt $$
である。
段 4（足す）。4 つを足すと、$\int P\times P'$ の項は打ち消し合い、$\dfrac\varepsilon2\Bigl[L\,P\times\vec T\Bigr]_{t_1}^{t_2}$ は段 2 の 2 つの線分の値の和とちょうど打ち消し合う。残るのは $-\dfrac12\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}L^2\theta'\,dt$ で、(1) が成り立つ。
段 5（面積）。$\Gamma$ が自分と交わらなければ、囲む部分の面積は $\lvert S[\Gamma]\rvert$ である（rem-mam-green）。$\theta'\ge0$ なので $\displaystyle\int L^2\theta'\,dt\ge0$ で、$\lvert S[\Gamma]\rvert=\dfrac12\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}L^2\theta'\,dt$ である。$\theta$ が狭義単調増加なら、置換積分 $\theta=\theta(t)$ により $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}L(t)^2\theta'(t)\,dt=\int_{\theta_1}^{\theta_2}L(\theta)^2\,d\theta$ である。$\theta_2-\theta_1\le2\pi$ のとき、接線の束は、極座標で $0\le r\le L(\theta)$、$\theta_1\le\theta\le\theta_2$ と表される図形（$\varepsilon=-1$ なら全体を原点の周りに $\pi$ だけ回した図形）なので、その面積は極座標で表された図形の面積の公式により $\dfrac12\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}L(\theta)^2\,d\theta$ である。$\square$

$S[\Gamma]\le0$、つまり $\Gamma$ が時計回りになるのは、$\varepsilon=\pm1$ のどちらでも、弧を進む人から見て掃く部分が右側にあるからである。thm-mam-sweep は、接線が回る角が 1 回転（$2\pi$）以内なら「接線の線分が掃く面積は、線分をすべて 1 点に集めた接線の束の面積に等しい」と言い換えられる（1 回転を超えると、束の中で同じ向きの線分が重なるので、束の面積は掃く面積より小さくなる）。線分は曲線に沿って平行移動しても、掃く面積の計算には向きと長さしか効かない。thm-mam-closed で $C_L$ と $C$ の間の部分が $\pi L^2$ だったのは、長さ $L$ の線分が 1 回転すると、接線の束が半径 $L$ の円板になるからである。

半径 1 の円に巻いた糸をほどくとき、糸が掃く部分（色）と、糸の端が描く円の伸開線

同じ糸をすべて始点が原点にくるように平行移動した接線の束で、Archimedes の螺旋が囲む部分になる

円の伸開線の糸が掃く面積

半径 $a$ の円 $P(t)=(a\cos t,a\sin t)$ に巻いた糸を、点 $(a,0)$ の端からほどいていく。接点が $P(t)$ まで進んだとき、ほどけた糸の長さは弧の長さ $at$ で、糸は接点から逆向きの接線に沿って張られる。糸の端は
$$ Q(t)=P(t)-at\,\vec T(t)=\bigl(a(\cos t+t\sin t),\ a(\sin t-t\cos t)\bigr) $$
で、これが円の伸開線である（円の伸開線）。def-mam-sweep で $\varepsilon=-1$、$L(t)=at$、$\theta(t)=t+\dfrac\pi2$、$\theta'=1$ とした場合なので、接点が $0$ から $T$ まで進む間に糸が掃く面積は、thm-mam-sweep により
$$ \frac12\int_0^Ta^2t^2\,dt=\frac{a^2T^3}6 $$
である（$0< T<2\pi$ で $\Gamma$ が自分と交わらないことは、図 4 と数値で確かめた。$T=2\pi$ では弧が出発点 $(a,0)$ にもどり $\Gamma$ はその 1 点で自分と接するが、$T\to2\pi$ の極限として同じ式が成り立つ）。$a=1$、$T=\pi$ なら $\dfrac{\pi^3}6=5.1677\ldots$ で、$\Gamma$ を多角形で近似して靴ひも公式で求めた面積 $5.1677\ldots$ と一致する。$T=2\pi$ なら $\dfrac{4\pi^3a^2}3$ である。
接線の束は Archimedes の螺旋が囲む図形になる（図 5）。

接線の束と Archimedes の螺旋を開く

接線の束は、原点から向き $t+\dfrac{3\pi}2$ に長さ $at$ の線分の集まりで、Archimedes の螺旋 $r=a\varphi$ の $0\le\varphi\le T$ の部分と、原点とその終わりの点を結ぶ線分で囲まれた図形を、原点の周りに $\dfrac{3\pi}2$ だけ回したものである。$T=2\pi$ のとき、その面積 $\dfrac{4\pi^3a^2}3$ は半径 $2\pi a$ の円の面積の $\dfrac13$ で、Archimedesの螺旋の主定理と同じ値である。

トラクトリクスの下の面積

トラクトリクスは、点 $(0,a)$ から出発し、各点から進む向きに引いた接線の線分が、長さ $a$ でちょうど $x$ 軸に届く曲線である。接線の角 $\theta$ は、出発点での $-\dfrac\pi2$（真下向き）から $0$（水平）に向かって増えていき、$\theta=0$ には届かない。$\theta$ が $-\dfrac\pi2$ から $\theta_1$（$<0$）まで変わる部分では、$L=a$ で一定なので、thm-mam-sweep により線分が掃く面積は
$$ \frac12\int_{-\pi/2}^{\theta_1}a^2\,d\theta=\frac{a^2}2\Bigl(\theta_1+\frac\pi2\Bigr) $$
である。$\theta_1$ を $0$ に近づけると $\dfrac{\pi a^2}4$ に近づく。
この極限は、曲線と $x$ 軸の間の右へ限りなく続く部分の面積 $\dfrac{\pi a^2}4$ で、トラクトリクスの定理「トラクトリクスの下の面積」と一致する。接線の束は半径 $a$ の四分円である。

極限が曲線の下の面積になることを開く

掃く部分は、$y$ 軸、曲線、最後の線分、$x$ 軸で囲まれる。これは曲線の下の部分（$x$ 座標が $0$ から接点の $x$ 座標まで）に、最後の線分の下の細い三角形を足したものである。接点の高さを $y_1$ とすると、三角形の面積は $\dfrac12y_1\sqrt{a^2-y_1^2}$ で、$\theta_1\to0$ のとき $y_1=-a\sin\theta_1\to0$ なので $0$ に近づく。したがって、曲線の下の部分の面積も $\dfrac{\pi a^2}4$ に近づく。$a=1$、$\theta_1=-0.001$ では、$\dfrac12(\theta_1+\tfrac\pi2)=0.78490\ldots$ で、$\Gamma$ を多角形で近似して求めた面積と一致する。

トラクトリクスの接線の線分（長さ a）が掃く部分は、接線の束が半径 a の四分円になるので面積がπa²/4 になる

例と反例

thm-mam-closed の仮定を 1 つずつ外すと、次のように崩れる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
曲線が凸（条件 (ii) の $\theta$ が単調、条件 (iii)）	凹みのある曲線 $r=1+0.3\cos2\varphi+0.1\sin3\varphi$、$L=1$	線分が掃く部分と、$C$ と $C_L$ の間の部分が一致し、面積が $\pi L^2$
線分の長さ $L$ が一定	半径 $2$ の円で $L=1+\frac12\cos\theta$	間の部分の面積が $\pi\cdot1^2$（平均の長さ $1$ でも）
曲線が滑らか（条件 (i) の $P'$ が連続）	横 $3$、縦 $2$ の長方形、$L=1$	線分が掃く面積が $\pi L^2$、$C_L$ が閉曲線

反例：凹みのある曲線

極方程式 $r=1+0.3\cos2\varphi+0.1\sin3\varphi$（$0\le\varphi\le2\pi$）の曲線 $C$ は自分と交わらない閉曲線だが、上側に凹みがある（図 7）。凹みの部分では接線が右に回るので、$\theta$ は単調に増加しない。それでも 1 周での $\theta$ の増加はちょうど $2\pi$ なので、prf-mam-closed の段 1〜段 4 の計算はそのまま通り（単調性は使っていない）、$L=1$ のとき $S[C_L]-S[C]=\pi$ である（数値でも $3.14159$）。
しかし、この $\pi$ はもう「線分が掃く面積」ではない。曲線の上の点を 4000 個とって数値で求めると、次のようになる。

凹みの部分の線分は $C$ の内側に入り込み、線分が掃く部分のうち $0.307$ ほどは $C$ の内側にある。
$C$ の一部が $C_L$ の外にはみ出し、「$C_L$ の内側で $C$ の外側の部分」の面積は $3.338$ で、$\pi$ と一致しない。
線分が掃く部分の面積は $3.732$ で、となりどうしの線分がつくる細い四角形の面積をそのまま足すと $3.930$ になる。差の $0.198$ は、線分が 2 回以上通った部分である。
thm-mam-closed (2) の仮定（$C$ が $C_L$ の内側にある）が崩れ、面積 $\pi$ の意味が失われる。

凹みのある曲線では、凹みの部分の接線の線分が曲線の内側に入り込み、線分どうしが重なって色が濃くなる

反例：長さが変わる線分

半径 $2$ の円で、接線の角が $\theta$ の点での線分の長さを $L(\theta)=1+\dfrac12\cos\theta$ とする（長さは $\dfrac12$ から $\dfrac32$ まで変わり、平均は $1$）。円は閉じているので、prf-mam-sweep の段 3 の $\Bigl[L\,P\times\vec T\Bigr]$ の項は 1 周で打ち消し合い、prf-mam-closed と同じ計算で
$$ S[C_L]-S[C]=\frac12\int_0^{2\pi}\Bigl(1+\frac12\cos\theta\Bigr)^2d\theta=\frac12\Bigl(2\pi+0+\frac14\cdot\pi\Bigr)=\frac{9\pi}8 $$
となる（$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0$、$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi$）。$Q$ の原点からの距離の 2 乗は三平方の定理により $4+L^2>4$ なので $Q$ はいつも円の外にあり、$C_L$ は自分と交わらずに円を内側に含む（自分と交わらないことは数値で確かめた）。よって間の部分の面積は $\dfrac{9\pi}8=3.534\ldots$ で、$\pi\cdot1^2$ ではない。長さが変わるときは、平均の長さではなく、長さの 2 乗を角について平均したものが効く。

反例：角のある曲線

横 $3$、縦 $2$ の長方形の周を反時計回りにたどり、$L=1$ の進む向きの接線の線分を引く。辺の上では接線の向きが変わらないので、線分は辺の延長の上をすべるだけで、何も掃かない（図 8）。線分が掃く部分の面積は $0$ である。角では $P'$ が連続でなく、線分の向きが $90^\circ$ だけ跳ぶので、線分の端 $Q$ も跳び、$C_L$ は閉曲線にならない。
角で線分を $90^\circ$ だけ回すと、半径 $L$ の円の 4 分の 1（扇形）を掃く。4 つの角で扇形を足すと、ちょうど $4\cdot\dfrac{\pi L^2}4=\pi L^2$ になる。ex-mam-ellipse (2) の角を丸めた長方形で、角の半径を $0$ に近づけたときの姿がこれである。thm-mam-sweep の言葉では、面積はすべて接線が回る角の部分から生まれ、角のある曲線では回る部分が「点」に集まっている。

長方形の角では、辺の部分の線分は辺の延長に重なって何も掃かず、角で線分を 90 度回したときに掃く扇形（破線）を足すと面積が合う

大学数学で見る：面積の要素

線分の座標で面積を測る（紹介）

thm-mam-sweep は、平面の点を「曲線の上の位置 $t$」と「線分の上の位置 $\lambda$」の 2 つの数で表す座標 $(t,\lambda)\mapsto P(t)+\lambda\,\vec T(t)$（$0\le\lambda\le L(t)$）で見ると分かりやすい。この座標での面積の要素は $\lambda\theta'\,dt\,d\lambda$ で、曲線の位置 $P$ によらない。これが、接線が回る角が 1 回転以内なら「線分を 1 点に集めても面積が変わらない」理由である。

面積の要素の計算を開く

$t$ を $dt$、$\lambda$ を $d\lambda$ だけ動かすと、点は $P'+\lambda\vec T\,'$ の向きに $dt$ 倍、$\vec T$ の向きに $d\lambda$ 倍動くので、できる小さな平行四辺形の面積は外積の大きさ $\bigl\lvert(P'+\lambda\vec T\,')\times\vec T\bigr\rvert\,dt\,d\lambda=\lambda\theta'\,dt\,d\lambda$ である（$P'\times\vec T=0$、$\vec T\,'\times\vec T=-\theta'$）。これを足し合わせると

$$\int_{t_1}^{t_2}\int_0^{L(t)}\lambda\theta'\,d\lambda\,dt=\frac12\int_{t_1}^{t_2}L(t)^2\theta'(t)\,dt$$

となり、thm-mam-sweep の値と一致する。この計算は大学で学ぶ重積分の変数変換（Jacobian）で正当化される。この記事では証明しない。

thm-mam-closed と thm-mam-sweep の証明で使った $\dfrac12\int X\times X'\,dt$ が囲む面積になることは、一般には Green の定理（Greenの定理）による。この記事では、凸な図形の場合を媒介変数表示の曲線が囲む面積の定理で証明済みのものとして使い、一般の場合は rem-mam-green として証明せずに使った。

さらに先へ

接線の線分の代わりに、閉曲線の上を両端がすべる一定の長さの弦を考えると、弦の上の点が描く曲線と元の曲線の間の面積も形によらない。これが Holditchの定理で、証明は prf-mam-closed と同じ外積の展開を使う。
接線が回る角が 1 回転以内のとき、接線の束の面積 $\dfrac12\int L^2\,d\theta$ は、極座標で表された図形の面積の公式そのものである。ex-mam-involute では Archimedesの螺旋の面積とつながった。
断面積から体積を求める擬柱体の公式は、「形が変わっても面積・体積が簡単な式で決まる」もう 1 つの例である。