Legendreの球面三角形の定理

$\cos x$ の $5$ 次の Taylor 多項式は $1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}$（$5$ 次の項は $0$）で、剰余項は Lagrange の形で $\dfrac{f^{(6)}(\xi)}{6!}x^6$（$\xi$ は $0$ と $x$ の間）と書ける。$\cos x$ の $6$ 階導関数は $-\cos x$ で、絶対値は $1$ 以下なので、誤差は $\dfrac{x^6}{720}$ 以下である。$\sin x$ の $4$ 次の Taylor 多項式は $x-\dfrac{x^3}6$ で、$5$ 階導関数は $\cos x$ なので、誤差は $\dfrac{\lvert x\rvert^5}{5!}=\dfrac{\lvert x\rvert^5}{120}$ 以下である（関数の近似とTaylor展開 の剰余項の評価）。$\square$

方針：球面の余弦定理から $\cos A$ を求め、lem-leg-taylor で $t$ の 2 次の項まで正確に展開して、平面の余弦定理の $\cos A'$ と比べる。差は平面の三角形の面積で書ける。それを角の差に直し、3 つの角を足して球過量と結びつける。
以下 $t\le1$ とし、$a=ta_0$ などを使うので、$a$、$b$、$c$ の $k$ 次式は $t^k$ の定数倍である。たとえば lem-leg-taylor から $\cos\dfrac aR=1-\dfrac{a^2}{2R^2}+\dfrac{a^4}{24R^4}+O(t^6)$ である。
段 1（分子）。$N=\cos\dfrac aR-\cos\dfrac bR\cos\dfrac cR$ とおく。積を展開し、$t^6$ 以上の項をまとめると
$$ \cos\frac bR\cos\frac cR=1-\frac{b^2+c^2}{2R^2}+\frac{b^4+c^4}{24R^4}+\frac{b^2c^2}{4R^4}+O(t^6) $$
なので
$$ N=\frac{b^2+c^2-a^2}{2R^2}+\frac{a^4-b^4-c^4-6b^2c^2}{24R^4}+O(t^6) $$
である。
段 2（分母）。$D=\sin\dfrac bR\sin\dfrac cR$ とおく。lem-leg-taylor から
$$ D=\left(\frac bR-\frac{b^3}{6R^3}+O(t^5)\right)\left(\frac cR-\frac{c^3}{6R^3}+O(t^5)\right)=\frac{bc}{R^2}\left(1-\frac{b^2+c^2}{6R^2}\right)+O(t^6) $$
である。
段 3（$\cos A$）。rem-leg-formulas (1) から $\cos A=\dfrac ND$ である。分子と分母を $\dfrac{bc}{R^2}$（$t^2$ の定数倍）で割る。平面の余弦定理 $\cos A'=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$（余弦定理（高校数学））を使い、
$$ u=\frac{a^4-b^4-c^4-6b^2c^2}{24bcR^2},\qquad v=\frac{b^2+c^2}{6R^2} $$
（どちらも $O(t^2)$）とおくと
$$ \cos A=\frac{\cos A'+u+O(t^4)}{1-v+O(t^4)} $$
である。$w=v+O(t^4)$ とすると $\dfrac1{1-w}=1+w+\dfrac{w^2}{1-w}$ で、$w^2$ は $O(t^4)$ なので $\dfrac1{1-w}=1+v+O(t^4)$ である。分子にこれを掛けて展開し、$uv$ も $O(t^4)$ であることを使うと
$$ \cos A=\cos A'+u+v\cos A'+O(t^4) $$
である。ここで
$$ u+v\cos A'=\frac{a^4-b^4-c^4-6b^2c^2+2(b^2+c^2)(b^2+c^2-a^2)}{24bcR^2}=\frac{(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2}{24bcR^2} $$
である（分子を展開すると、どちらも $a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2$ になる）。$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A'$ なので、分子は $4b^2c^2(\cos^2A'-1)=-4b^2c^2\sin^2A'$ で、
$$ u+v\cos A'=-\frac{bc\sin^2A'}{6R^2}=-\frac{S'}{3R^2}\sin A' $$
である。最後に平面の三角形の面積 $S'=\dfrac12bc\sin A'$（三角形の面積の公式）を使った。まとめると
$$ \cos A=\cos A'-\underbrace{\frac{S'}{3R^2}}_{\delta\text{ とおく}}\sin A'+O(t^4)\qquad\text{(★)} $$
である。
段 4（角の差）。$\delta=\dfrac{S'}{3R^2}=\dfrac{t^2S_0}{3R^2}$ は $O(t^2)$ である。加法定理から $\cos(A'+\delta)=\cos A'\cos\delta-\sin A'\sin\delta$ で、lem-leg-taylor より $\cos\delta=1+O(t^4)$、$\sin\delta=\delta+O(t^6)$ なので、$\cos(A'+\delta)=\cos A'-\delta\sin A'+O(t^4)$ である。(★) と比べて
$$ \cos A-\cos(A'+\delta)=O(t^4) $$
である。平均値の定理から、$A$ と $A'+\delta$ の間の $\xi$ で $\cos A-\cos(A'+\delta)=-\sin\xi\,\bigl(A-(A'+\delta)\bigr)$ となる（平均値の定理による差の評価）。(★) から $t\to0$ で $\cos A\to\cos A'$ なので $A\to A'$ であり、$A'+\delta\to A'$ でもある。$0< A'<\pi$ なので、$t$ が小さければ $\sin\xi\ge\dfrac12\sin A'>0$ である。よって
$$ \left\lvert A-A'-\delta\right\rvert\le\frac{2}{\sin A'}\left\lvert\cos A-\cos(A'+\delta)\right\rvert=O(t^4) $$
で、$A=A'+\dfrac{S'}{3R^2}+O(t^4)$ である。$B$、$C$ でも、文字を入れ替えて同じ計算をすると $B=B'+\dfrac{S'}{3R^2}+O(t^4)$、$C=C'+\dfrac{S'}{3R^2}+O(t^4)$ である（$\dfrac12ca\sin B'=\dfrac12ab\sin C'=S'$ なので、同じ $\delta$ になる）。
段 5（球過量）。段 4 の 3 つの式を足すと、$A'+B'+C'=\pi$ から
$$ \varepsilon=A+B+C-\pi=\frac{S'}{R^2}+O(t^4) $$
である。よって $\dfrac{S'}{3R^2}=\dfrac\varepsilon3+O(t^4)$ で、段 4 の式に代入すると $A=A'+\dfrac\varepsilon3+O(t^4)$ などが得られる。$\square$

thm-leg-main の $\varepsilon=\dfrac{S'}{R^2}+O(t^4)$ に $R^2$（$t$ によらない定数）を掛けると $S=\varepsilon R^2=S'+O(t^4)$ である（rem-leg-formulas (2)）。両辺を $S'=t^2S_0$ で割ると $\dfrac S{S'}=1+O(t^2)$ である。$\square$