群
概要
群（group）とは、結合的な二項演算、単位元、各元の逆元を備えた集合である。片側単位元と片側逆元だけから標準の群公理を導くことができ、二つ組・三つ組・四つ組による定義は同じ対象を表す。群の元の整数冪は指数法則を満たす。群の位数と元の位数は別の概念である。直積群は成分ごとの演算で作られ、部分群 $H$ の左剰余類全体 $G/H$ は正規性を仮定せず商集合として定まる。
定義
集合 $G$、二項演算 $\cdot\colon G\times G\to G$、元 $e\in G$ の三つ組 $\langle G,\cdot,e\rangle$ が群（group）であるとは、次の三条件を満たすことをいう。
条件1は結合律、条件2は指定した $e$ が単位元であること、条件3は各元が逆元を持つことを述べる。単位元と逆元の定義および一意性はそれぞれの記事が扱う。群は結合的な単位的マグマであり、すべての元が可逆であるもの、と言い換えられる。可換性は群の公理には含まれない。
定義の流儀
集合 $G$ に結合的な二項演算を入れる。次の二条件を仮定する。
- ある $e\in G$ が存在し、すべての $a\in G$ に対して $e\cdot a=a$。
- すべての $a\in G$ に対して、$b\cdot a=e$ を満たす $b\in G$ が存在する。
このとき $e$ は右からも単位元であり、各 $a$ に対して選んだ $b$ は $a\cdot b=e$ も満たす。したがって $\langle G,\cdot,e\rangle$ は群である。
$a\in G$ を取り、$b\cdot a=e$ となる $b$ を取る（$b$ は $a$ の左逆元である）。さらに $c\cdot b=e$ となる $c$ を取る（$c$ は $b$ の左逆元である）。結合律と左単位性から
$$
a\cdot b=e\cdot(a\cdot b)=(c\cdot b)\cdot(a\cdot b)=c\cdot((b\cdot a)\cdot b)=c\cdot(e\cdot b)=c\cdot b=e
$$
（結合律を二度用いた）である。よって $b$ は $a$ の両側逆元である。すると
$$
a\cdot e=a\cdot(b\cdot a)=(a\cdot b)\cdot a=e\cdot a=a
$$
なので、$e$ は右単位元でもある。$a$ は任意だったから三つの群公理がすべて成り立つ。
単位元の存在だけを要求し、群を二つ組 $\langle G,\cdot\rangle$ として定義する流儀もある。単位元は存在すれば一意なので、この流儀と三つ組の流儀は同じ群を与える。
逆元を与える単項演算 $\iota\colon G\to G$ も構造に含め、四つ組 $\langle G,\cdot,\iota,e\rangle$ として、結合律、両側単位律、$\iota(a)\cdot a=a\cdot\iota(a)=e$ を等式で公理化する流儀もある。逆元の一意性により $\iota(a)=a^{-1}$ と定まるので、これも同じ対象を表す。
演算記号の選び方によっては、群を一つの等式だけで公理化する方法も知られている。これは標準の三公理を省略してよいという意味ではなく、その等式から三公理を導けるという同値な公理化である。具体的な式と導出は McC93 を参照する。
直感
群は、続けて実行でき、何もしない操作があり、どの操作も元に戻せるような操作の集まりを抽象化する。図形の対称変換、置換、整数の加法などは見かけが異なるが、この三つの公理だけを使う議論を共有する。結合律は操作列の括弧を変えられることを保証するが、操作の順序を交換できることまでは保証しない。
例と反例
一元集合からなる群は自明群と呼ばれる。その定義と同型を除く一意性は自明群の記事が扱う。
$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ は加法について結合律と単位元 $0$ を持つのでモノイドである。しかし $1+n=0$ を満たす $n\in\mathbb N$ は存在せず、$1$ は逆元を持たない。したがって $\langle\mathbb N,+,0\rangle$ は群ではない。
整数全体は乗法について結合律と単位元 $1$ を持つ。しかし $2n=1$ を満たす整数 $n$ は存在しないので、$\langle\mathbb Z,\cdot,1\rangle$ も群ではない。二つの例はともに「モノイドなら群である」という含意を、すべての元が逆元を持つという条件で破る。
冪と位数
群 $G$ の元 $g$ と整数 $n$ に対し、
$$
g^0:=e,\qquad g^n:=\underbrace{g\cdots g}_{n\text{個}}\quad(n>0),\qquad
g^n:=\underbrace{g^{-1}\cdots g^{-1}}_{-n\text{個}}\quad(n<0)
$$
と定める。有限個の積の値が括弧の付け方によらないことは演算と代数構造の一般化結合律による。
群 $G$ の元 $g$ と整数 $m,n$ に対して
$$
g^{m+n}=g^m\cdot g^n,\qquad g^{mn}=(g^m)^n
$$
が成り立つ。また $(g^m)^{-1}=g^{-m}$ である。
定義と結合律から、すべての整数 $k$ について $g^{k+1}=g^k g$ と $g^{k-1}=g^k g^{-1}$ が成り立つ。後者では $k>0$、$k=0$、$k<0$ を分けても、隣り合う $g$ と $g^{-1}$ を消去すれば同じ式を得る。
$m$ を固定する。$n=0$ では $g^{m+0}=g^m e$ である。$n$ を1増やす場合は
$$
g^{m+n+1}=g^{m+n}g=(g^m g^n)g=g^m g^{n+1}
$$
となり、1減らす場合も $g^{-1}$ を右から掛けて同様に従う。よって整数全体について第1式が成り立つ。
$g^m g^{-m}=g^0=e$ と $g^{-m}g^m=e$ なので $(g^m)^{-1}=g^{-m}$ である。第2式は $n\geq0$ について第1式を反復して得られる。$n<0$ なら $(g^m)^n=((g^m)^{-1})^{-n}=(g^{-m})^{-n}=g^{mn}$ である。
群の位数は群全体の大きさであり、元の位数は一つの元を反復したときに単位元へ戻る周期である。二つは同じ「位数」という語を使うが、主語が異なる。
$g\in G$ の位数を正整数 $\ell$ とする。任意の整数 $m,n$ について
$$
g^m=g^n\quad\Longleftrightarrow\quad \ell\mid(m-n)
$$
である。
指数法則により $g^m=g^n$ と $g^{m-n}=e$ は同値である。整数 $k:=m-n$ を $k=q\ell+r$、$0\leq r<\ell$ と割り算する。すると
$$
g^k=g^{q\ell+r}=(g^\ell)^q g^r=e^q g^r=g^r.
$$
$g^k=e$ なら $g^r=e$ である。$r>0$ なら $\ell$ の最小性に反するので $r=0$、すなわち $\ell\mid k$ である。逆に $\ell\mid k$ なら $k=q\ell$ と書け、$g^k=(g^\ell)^q=e$ である。
直積群
群 $\langle G,\cdot,e_G\rangle$ と $\langle H,\ast,e_H\rangle$ に対し、直積集合 $G\times H$ に
$$
(g,h)(g',h'):=(g\cdot g',h\ast h')
$$
と定めると群になる。単位元は $(e_G,e_H)$ であり、$(g,h)$ の逆元は $(g^{-1},h^{-1})$ である。この群を $G$ と $H$ の直積群という。
演算は各成分で閉じている。三つの元に対する二つの括弧付けは各成分で $G,H$ の結合律により等しい。$(e_G,e_H)(g,h)=(g,h)=(g,h)(e_G,e_H)$ であり、
$$
(g,h)(g^{-1},h^{-1})=(e_G,e_H)=(g^{-1},h^{-1})(g,h)
$$
である。したがって三つの群公理を満たす。
直積群は二群から成分ごとに作る構成である。生成元を並べ、両群の間に新しい関係を課さず作る自由積とは異なる。
部分群による剰余類の集合
$H$ を群 $G$ の部分群（積と逆元について閉じた空でない部分集合）とする。$g\in G$ に対し
$$
gH:=\{g\cdot h\mid h\in H\}
$$
を $g$ の $H$ による左剰余類という。左剰余類全体の集合を $G/H$ と書く。
$g^{-1}g=e_G\in H$ なので反射的である。$g^{-1}g'\in H$ なら、$H$ は逆元で閉じているから $(g^{-1}g')^{-1}=g'^{-1}g\in H$ であり対称的である。$g^{-1}g',g'^{-1}g''\in H$ なら、$H$ は積で閉じているから
$$
(g^{-1}g')(g'^{-1}g'')=g^{-1}g''\in H
$$
であり推移的である。
$g\sim g'$ であることは $g^{-1}g'\in H$、すなわちある $h\in H$ により $g'=gh$ と書けることと同値である。ゆえに $g$ の同値類は $gH$ である。
$G/H$ は $H$ が任意の部分群である段階では集合である。剰余類どうしの積が代表元によらず定まって剰余群になるには、$H$ が正規部分群であるという追加条件が必要である。
補足
群の定義から先へ進む主題は、それぞれの所有記事で扱う。群の作用は群が集合に及ぼす対称性を、群準同型と同型は群の構造を保つ写像を扱う。群の中心・共役・交換子は非可換性の構造を調べる。有限群の位数と部分群の関係はLagrangeの定理およびSylowの定理へ進む。本記事はこれらの定義や定理を再掲しない。
関連項目
参考文献
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