Plückerの公式

要点：局所環 $\mathcal{O}_P(C)$ は $x$ を素元とする離散付値環で、その完備化が $k[\![x]\!]$ である。

要点：Euler の等式 $xF_x+yF_y+zF_z=dF$ を $F$ と $F_x,F_y,F_z$（$d-1$ 次）に使って、行列の第 3 行と第 3 列を消す。

射影変換で $P=(0:0:1)$、$T_P$ を $y=0$ とし、lem-plf-branch の $\varphi$ をとる。$f_x(0,0)=0$、$f_y(0,0)\ne0$ である。$f(x,\varphi(x))=0$ を $x$ で 2 回微分すると
$$ f_x+f_y\varphi'=0,\qquad f_{xx}+2f_{xy}\varphi'+f_{yy}\varphi'^2+f_y\varphi''=0 $$
（偏微分は $(x,\varphi(x))$ で評価する）である。第 2 式に $f_y^2$ を掛けて $f_y\varphi'=-f_x$ を代入すると $f_{xx}f_y^2-2f_{xy}f_xf_y+f_{yy}f_x^2=-f_y^3\varphi''$ となり、lem-plf-euler の行列式を展開すると
$$ H(x,\varphi(x),1)=-(d-1)^2\bigl(f_{xx}f_y^2-2f_{xy}f_xf_y+f_{yy}f_x^2\bigr)=(d-1)^2f_y^3\varphi'' $$
である。$f_y(x,\varphi(x))$ は $k[\![x]\!]$ の単元、$d-1\ne0$ であり、標数 $0$ なので $\operatorname{ord}\varphi''=\operatorname{ord}\varphi-2=m_P-2$ である。lem-plf-branch により $I(P,C\cap V(H))=m_P-2$ である。$m_P$ は有限なので $H$ は $C$ の上で恒等的に $0$ ではなく、$C\not\subset V(H)$ である。$\square$

$d=2$ では、直線と $C$ の交点数の和は 2 なので（Bézoutの定理）すべての $P$ で $m_P=2$ であり、両辺は $0$ である。$d\ge3$ なら、prop-plf-hessian により $C$ と $V(H)$ は共通成分をもたない。Bézoutの定理 により $\sum_PI(P,C\cap V(H))=d\cdot3(d-2)$ であり、prop-plf-hessian で各項が $m_P-2$ になる。$\square$

$P=(0:0:1)$ とし、$f=F(x,y,1)$ とおく。Euler の等式から $F_z(x,y,1)=df-xf_x-yf_y$ なので、極曲線の局所的な方程式は
$$ g:=af_x+bf_y+c\,(df-xf_x-yf_y)\qquad(Q=(a:b:c)) $$
である。$Q\ne P$ なので $(a,b)\ne(0,0)$ である。
1：$T_P$ を $y=0$、$Q=(1:0:0)$ にとる（$Q\in T_P$、$Q\ne P$）。$g=f_x$ であり、lem-plf-branch の $\varphi$ について $f_x(x,\varphi)=-f_y(x,\varphi)\varphi'$ の位数は $\operatorname{ord}\varphi'=m_P-1$（標数 $0$）である。
4：$f$ の位数が $m$ なので、$g$ の $m-1$ 次以下の部分は $D_{(a,b)}f_m$ だけである（$df-xf_x-yf_y$ の位数は $m$ 以上）。仮定から極曲線は $P$ で重複度 $m-1$、接錐 $D_{(a,b)}f_m$ をもち、$C$ と共通の接線をもたないので、交点数の性質 (v) により $I=m(m-1)$ である。
2：$f_2=\ell_1\ell_2$ とすると $D_{(a,b)}f_2=\ell_1(a,b)\ell_2+\ell_2(a,b)\ell_1$ である。$Q$ が接線 $\ell_i=0$ にのらないことは $\ell_i(a,b)\ne0$ と同値で、このとき $D_{(a,b)}f_2$ は $\ell_1$ でも $\ell_2$ でも割り切れない。4 の $m=2$ の場合として $I=2$ である。
3：接線を $y=0$ にとると $f_2=c_0y^2$（$c_0\ne0$）、$f_3(1,0)\ne0$ で、$D_{(a,b)}f_2=2c_0by$ は $C$ の接線と一致するので、4 は使えない。$Q$ が接線にのらないことは $b\ne0$ と同値で、このとき $g=2c_0by+(2\text{ 次以上の項})$ は $P$ で非特異、接線は $y=0$ である。$g(x,\psi(x))=0$ となる $\psi$ をとると、$g$ の 1 次の部分が $y$ だけなので $\psi\in x^2k[\![x]\!]$ である。極曲線は $P$ で非特異なので、交点数の性質 (iv) と lem-plf-branch と同じ議論（Ful08 §3.3 の性質 (8) は既約でない曲線の単純点でも成り立つ）により
$$ I(P,C\cap V(g))=\operatorname{ord}_xf(x,\psi(x))=\operatorname{ord}_x\bigl(c_0\psi^2+f_3(x,\psi)+(4\text{ 次以上})\bigr)=\operatorname{ord}_x\bigl(f_3(1,0)x^3+\cdots\bigr)=3 $$
である（$\psi^2$ と 4 次以上の項は位数 $4$ 以上）。$\square$

要点：$Q$ の双対の直線 $Q^*\subset(\mathbb{P}^2)^*$（$Q$ を通る直線の全体）が $C^*$ と横断的に $d^*$ 点で交わり、その各点が $C$ のただ 1 つの非特異点の接線であるように $Q$ を選ぶ。

$C$ は既約で $D_QF$ は $d-1< d$ 次の $0$ でない式なので、$C$ と極曲線は共通成分をもたない。Bézoutの定理 により $\sum_{P}I(P,C\cap V(D_QF))=d(d-1)$ である。和に現れる点は、特異点と、$Q\in T_P$ となる非特異点である。後者は lem-plf-general-point によりちょうど $d^*$ 個の変曲点でない点で、lem-plf-polar-local の 1 により各点の交点数は $m_P-1=1$ である。これで第 1 式を得る。結節点と通常尖点では lem-plf-polar-local の 2・3 により交点数が $2$ と $3$ なので、第 2 式が従う。$\square$

$\mathbb{P}^2$ の上の曲線 $C$ について、$g(\tilde C)=p_a(C)-\sum_P\frac12r_P(r_P-1)$ が成り立つ。ここで和は無限に近い点を含むすべての特異点にわたり、$r_P$ はその重複度である（Har77 V, 例 3.9.2, p. 393）。$p_a(C)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ である（算術種数：$C$ の Hilbert 多項式は $\binom{m+2}{2}-\binom{m-d+2}{2}=dm-\frac{(d-1)(d-2)}{2}+1$）。結節点 $f=\ell_1\ell_2+f_3+\cdots$ は重複度 $2$ で、$\ell_1,\ell_2$ が $x$ に比例しない座標をとると、ブローアップの座標 $y=xv$ で $f=x^2\bigl(\ell_1(1,v)\ell_2(1,v)+x(\cdots)\bigr)$ となり、強変換は例外曲線 $x=0$ と $\ell_1(1,v)\ell_2(1,v)=0$ の相異なる 2 つの単根で交わり、そこで $v$ の 1 次の項をもつので非特異である（もう 1 つの座標には強変換の点が新しく現れない）。通常尖点 $f=cy^2+f_3+\cdots$（$f_3(1,0)\ne0$）も重複度 $2$ で、ブローアップの座標 $y=xv$ で $f=x^2\bigl(cv^2+f_3(1,v)x+(x^2\text{ で割り切れる項})\bigr)$ となり、強変換は例外曲線 $x=0$ と 1 点 $v=0$ で交わり、そこで 1 次の項 $f_3(1,0)x$ をもつので非特異である（もう 1 つの座標 $x=yw$ では例外曲線上に強変換の点はない）。したがって各特異点の寄与は $\frac12\cdot2\cdot1=1$ である。$\square$

第 1 式は thm-plf-class である。$C^*$ は直線でない平面曲線で $(C^*)^*=C$（双対曲線 の定理「双対性」）なので、$C^*$ に thm-plf-class を当てると第 2 式を得る。
種数の式：lem-plf-genus を $C$ と $C^*$ に当てる。$\gamma(U)$ は $C^*$ の有限集合の補集合（prf-plf-general-point の第 1 段）なので開集合で、$\gamma\colon U\to\gamma(U)$ と $\gamma_{C^*}\colon\gamma(U)\to U$ は互いに逆の射である。よって $C$ と $C^*$ は双有理同値で、正規化は同型であり、種数は等しい。
第 3 式：$C^*$ の種数の式から $b+f=\frac{(d^*-1)(d^*-2)}{2}-g$、第 2 式から $2b+3f=d^*(d^*-1)-d$ なので、
$$ f=d^*(d^*-1)-d-(d^*-1)(d^*-2)+2g=2d^*-2-d+2g $$
である。これに第 1 式と $2g=(d-1)(d-2)-2\delta-2\kappa$ を代入すると $f=3d^2-6d-6\delta-8\kappa$ となる。第 4 式は、$C^*$ が Plücker 曲線でその双対が $C$ であることから、第 3 式を $C^*$ に当てたものである。$\square$