疎集合

準備として、開集合 $V$ について「$V\cap A=\emptyset$」と「$V\cap\overline{A}=\emptyset$」が同値であることを確かめる。$V\cap A=\emptyset$ なら $X\setminus V$ は $A$ を含む閉集合なので $\overline{A}\subset X\setminus V$、すなわち $V\cap\overline{A}=\emptyset$ である。逆は $A\subset\overline{A}$ から従う。
1 ⇔ 2：補集合と閉包・内部の関係により $\overline{X\setminus\overline{A}}=X\setminus\operatorname{int}\overline{A}$ である。左辺が $X$ に等しいことと $\operatorname{int}\overline{A}=\emptyset$ は同値である。
2 ⇒ 3：$U$ を空でない開集合とする。$X\setminus\overline{A}$ は稠密なので $U$ と交わる。$V:=U\setminus\overline{A}=U\cap(X\setminus\overline{A})$ は開集合の共通部分として開であり、空でなく、$V\subset U$、$V\cap\overline{A}=\emptyset$ である。とくに $V\cap A=\emptyset$ である。
3 ⇒ 1：$U:=\operatorname{int}\overline{A}$ が空でないとして矛盾を導く。3 により、空でない開集合 $V\subset U$ で $V\cap A=\emptyset$ となるものがある。準備により $V\cap\overline{A}=\emptyset$ だが、$V\subset U\subset\overline{A}$ で $V\ne\emptyset$ なので矛盾する。
1 ⇒ 4：$F:=\overline{A}$ とすればよい。4 ⇒ 1：$A\subset F$ で $F$ が閉集合なら $\overline{A}\subset F$ なので $\operatorname{int}\overline{A}\subset\operatorname{int}F=\emptyset$ である。$\square$

1：$B\subset A$ なら $\overline{B}\subset\overline{A}$ であり、内部をとる操作は包含を保つので $\operatorname{int}\overline{B}\subset\operatorname{int}\overline{A}=\emptyset$ である。2：$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$ なので、両者の条件は同じ $\operatorname{int}\overline{A}=\emptyset$ である。$\square$

prop-nwd-characterization の条件 3 を確かめる。
1：帰納法により、2 つの疎集合 $A,B$ について $A\cup B$ が疎であることを示せばよい（空の和は空集合で疎である）。$U$ を空でない開集合とする。$A$ が疎なので、空でない開集合 $V\subset U$ で $V\cap A=\emptyset$ となるものがある。次に $B$ が疎なので、この $V$ に対し、空でない開集合 $W\subset V$ で $W\cap B=\emptyset$ となるものがある。すると $W\subset V\subset U$ で、$W\cap A\subset V\cap A=\emptyset$、$W\cap B=\emptyset$ なので $W\cap(A\cup B)=\emptyset$ である。
2：$A:=\bigcup_sA_s$ とし、$U$ を空でない開集合とする。点 $x\in U$ をとり、局所有限性により $x$ を含む開集合 $W$ で、$W$ と交わる $A_s$ が $A_{s_1},\dots,A_{s_n}$ だけであるものをとる。$U\cap W$ は $x$ を含む空でない開集合である。1 により $A_{s_1}\cup\cdots\cup A_{s_n}$ は疎なので、空でない開集合 $V\subset U\cap W$ で $V\cap(A_{s_1}\cup\cdots\cup A_{s_n})=\emptyset$ となるものがある。ほかの $A_s$ は $W$ と交わらず $V\subset W$ なので、$V\cap A_s=\emptyset$ である。よって $V\subset U$ は空でない開集合で $V\cap A=\emptyset$ である。$\square$

1：(i) ⇔ (ii)：$F$ は閉なので $\overline{F}=F$ であり、prop-nwd-characterization の 1 ⇔ 2 から従う。(iii) ⇒ (i)：開集合の境界は内部が空の閉集合である（境界 の記事の命題「境界の反復」の 2）。(ii) ⇒ (iii)：$U:=X\setminus F$ とおくと $U$ は開集合で、稠密なので $\overline{U}=X$ である。よって $\partial U=X\setminus U=F$ である。
2：$A$ が疎なら、閉集合 $\overline{A}$ も疎なので（prop-nwd-subset-closure）、1 により $\overline{A}=\partial U$ となる開集合 $U$ があり、$A\subset\partial U$ である。逆に $A\subset\partial U$ なら、$\partial U$ は疎なので、その部分集合 $A$ も疎である。$\square$

閉包は $X$ での閉包 $\overline{A}$ で書き、$Y$ での閉包は $\overline{A}\cap Y$ である。
1：$A$ が $X$ で疎でないとし、空でない開集合 $U\subset\overline{A}$ をとる。$\overline{A}\subset\overline{Y}$ なので $U$ は $\overline{Y}$ に含まれる空でない開集合であり、$Y$ と交わる。$U\cap Y$ は $Y$ の空でない開集合で、$U\cap Y\subset\overline{A}\cap Y$ である。よって $A$ の $Y$ での閉包は空でない開集合を含み、$A$ は $Y$ で疎でない。
2：$A$ が $Y$ で疎でないとし、$Y$ の空でない開集合 $V$ で $V\subset\overline{A}\cap Y$ となるものをとる。$V=W\cap Y$ となる $X$ の開集合 $W$ がある。
$Y$ が開集合の場合：$V=W\cap Y$ は $X$ の空でない開集合で $V\subset\overline{A}$ なので、$A$ は $X$ で疎でない。
$Y$ が稠密な場合：$W\ne\emptyset$ である。$W\subset\overline{A}$ を示す。$x\in W$ と、$x$ を含む開集合 $O$ をとる。$O\cap W$ は空でない開集合なので稠密な $Y$ と交わり、点 $z\in O\cap W\cap Y=O\cap V$ がある。$z\in V\subset\overline{A}$ で $O$ は $z$ を含む開集合なので、$O\cap A\ne\emptyset$ である。$O$ は任意なので $x\in\overline{A}$ である。よって空でない開集合 $W$ が $\overline{A}$ に含まれ、$A$ は $X$ で疎でない。$\square$

$f$ は連続なので $f^{-1}(\overline{B})$ は $f^{-1}(B)$ を含む閉集合であり、$\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline{B})$ である。$U$ を $\overline{f^{-1}(B)}$ に含まれる開集合とすると、$f(U)\subset\overline{B}$ で、$f$ が開写像なので $f(U)$ は $Y$ の開集合である。$B$ は疎なので $f(U)=\emptyset$、したがって $U=\emptyset$ である。よって $f^{-1}(B)$ は疎である。
直積：射影 $p\colon X\times Z\to X$ は連続な開写像であり（開写像 の記事の定理「射影は開写像である」）、$A\times Z=p^{-1}(A)$ である。
同相写像 $h\colon X\to Y$ について、$h(A)=(h^{-1})^{-1}(A)$ であり、$h^{-1}$ は連続な開写像なので、$A$ が疎なら $h(A)$ も疎である。$\square$