正規分布（高校数学）

方針：Gauss 積分 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi$ に、置換積分で帰着させる。
準備（対称な区間から両側の広義積分へ）。この記事の広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty}$ は、$\int_{-\infty}^0$ と $\int_0^\infty$ がそれぞれ収束するときの和である（確率密度関数と連続型確率変数）。被積分関数 $g$ が $0$ 以上のときは、ある点 $a$ を中心とする区間の積分 $\int_{a-R}^{a+R}g$ が $R\to\infty$ で有限の値 $L$ に近づけば、$\int_a^{a+R}g$ と $\int_{a-R}^{a}g$ はどちらも $R$ について増加し、$L$ 以下に押さえられるので収束し（上に有界な増加関数は収束する。本記事では証明しない）、両側の和は $L$ になる。区切りの点を $a$ から $0$ に変えても値は変わらない。以下の段 1〜3、prf-nrm-symmetry の段 2、prf-nrm-moments の分散の段では、被積分関数がどれも $0$ 以上なので、対称な区間の極限から $\int_{-\infty}^{\infty}$ の値を出してよい。
段 1（Gauss 積分）。Gauss積分（高校数学） で $\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt\pi}2$ を証明している。$e^{-t^2}$ は偶関数なので、$t=-s$ と置換すると $\int_{-R}^0e^{-t^2}\,dt=\int_0^Re^{-s^2}\,ds$ である。よって $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,dt=2\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\sqrt\pi$ である。
段 2（$\varphi$ の積分）。$x=\sqrt2\,t$ と置換すると、$dx=\sqrt2\,dt$、$\frac{x^2}2=t^2$ なので
$$ \int_{-R}^{R}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt2\int_{-R/\sqrt2}^{R/\sqrt2}e^{-t^2}\,dt $$
である。$R\to\infty$ とすると右辺は $\sqrt2\cdot\sqrt\pi=\sqrt{2\pi}$ に近づく。両辺を $\sqrt{2\pi}$ で割って $\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\,dx=1$ を得る。
段 3（一般の $\mu$、$\sigma$）。$x=\mu+\sigma t$ と置換すると、$dx=\sigma\,dt$、$\frac{x-\mu}\sigma=t$ なので
$$ \int_{\mu-\sigma R}^{\mu+\sigma R}\frac1\sigma\varphi\Bigl(\frac{x-\mu}\sigma\Bigr)dx=\int_{-R}^{R}\varphi(t)\,dt $$
であり、$R\to\infty$ として段 2 から $1$ を得る。$\square$

方針：$\varphi'(x)=-x\varphi(x)$、$\varphi''(x)=(x^2-1)\varphi(x)$ を計算し、$\varphi(x)>0$ を使って符号を調べる。2 は 1 を平行移動と拡大で移したものとして扱う。
段 1（1 階微分）。$(e^{-x^2/2})'=-xe^{-x^2/2}$（連鎖律（高校数学））なので $\varphi'(x)=-x\varphi(x)$ である。$\varphi(x)>0$ だから、$\varphi'(x)$ の符号は $-x$ の符号と同じで、$x<0$ で正、$x>0$ で負である。よって $\varphi$ は $x<0$ で増加、$x>0$ で減少し、$x=0$ で最大値 $\varphi(0)=\frac1{\sqrt{2\pi}}$ をとる。$\varphi(-x)=\varphi(x)$ は $(-x)^2=x^2$ から出る。
段 2（2 階微分）。積の微分により $\varphi''(x)=-\varphi(x)-x\varphi'(x)=-\varphi(x)+x^2\varphi(x)=(x^2-1)\varphi(x)$ である。符号は $x^2-1$ と同じで、$|x|>1$ で正（下に凸）、$|x|<1$ で負（上に凸）である。$x=\pm1$ の前後で符号が変わるので、変曲点は $x=\pm1$ である。
段 3（$N(\mu,\sigma^2)$）。$f(x)=\frac1\sigma\varphi(s)$、$s=\frac{x-\mu}\sigma$ である。$\frac{ds}{dx}=\frac1\sigma$ なので、$f'(x)=\frac1{\sigma^2}\varphi'(s)$、$f''(x)=\frac1{\sigma^3}\varphi''(s)$ である。$\sigma>0$ なので $f'$、$f''$ の符号はそれぞれ $\varphi'(s)$、$\varphi''(s)$ と同じである。段 1・段 2 から、$f$ は $s<0$（$x<\mu$）で増加、$s>0$（$x>\mu$）で減少し、変曲点は $s=\pm1$、すなわち $x=\mu\pm\sigma$ である。対称性は $f(\mu+d)=\frac1\sigma\varphi\bigl(\frac d\sigma\bigr)=\frac1\sigma\varphi\bigl(-\frac d\sigma\bigr)=f(\mu-d)$ から出る。$\square$

方針：まず $a>0$ の場合に、$c\le aX+b\le d$ を $X$ の不等式に直して置換積分し、$aX+b$ の密度を求める。$a<0$ の場合は、$-X$ が $N(-\mu,\sigma^2)$ に従うことを示して $a>0$ の場合に帰着させる。$f$ を $N(\mu,\sigma^2)$ の密度とする。
段 1（$a>0$）。$c\le d$ とする。$a>0$ なので、$c\le aX+b\le d$ は $\frac{c-b}a\le X\le\frac{d-b}a$ と同じであり
$$ P(c\le aX+b\le d)=\int_{(c-b)/a}^{(d-b)/a}f(x)\,dx $$
である。$x=\frac{y-b}a$ と置換すると、$dx=\frac1a\,dy$ で、積分区間は $c\le y\le d$ に変わる。
$$ \frac{y-b}a-\mu=\frac{y-(a\mu+b)}a $$
なので、$f\bigl(\frac{y-b}a\bigr)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\Bigl(-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2a^2\sigma^2}\Bigr)$ である。よって
$$ P(c\le aX+b\le d)=\int_c^d\frac1{\sqrt{2\pi}\,a\sigma}\exp\Bigl(-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}\Bigr)dy $$
となる。被積分関数は、平均 $a\mu+b$、標準偏差 $a\sigma$ の正規分布の密度である（def-nrm-normal の $\mu$ を $a\mu+b$、$\sigma$ を $a\sigma>0$ に替えたもの）。したがって $aX+b$ は $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ に従う。
段 2（$-X$）。$c\le-X\le d$ は $-d\le X\le-c$ と同じなので、$x=-y$ と置換して
$$ P(c\le-X\le d)=\int_{-d}^{-c}f(x)\,dx=\int_c^df(-y)\,dy $$
である（$dx=-dy$ で、積分の上端と下端が入れ替わる分の符号と打ち消し合う）。$(-y-\mu)^2=(y-(-\mu))^2$ なので、$f(-y)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\bigl(-\frac{(y-(-\mu))^2}{2\sigma^2}\bigr)$ は $N(-\mu,\sigma^2)$ の密度である。よって $-X$ は $N(-\mu,\sigma^2)$ に従う。
段 3（$a<0$）。$aX+b=(-a)(-X)+b$ で、$-a>0$ である。段 2 から $-X$ は $N(-\mu,\sigma^2)$ に従うので、段 1 を $-X$ と $-a$ に使うと、$aX+b$ は $N\bigl((-a)(-\mu)+b,\ (-a)^2\sigma^2\bigr)=N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ に従う。
段 4（1〜3）。1 は $a=\frac1\sigma$、$b=-\frac\mu\sigma$ の場合で、$a\mu+b=0$、$a^2\sigma^2=1$ である。2 は $a=\sigma$、$b=\mu$ を $Z$（$N(0,1)$、つまり平均 $0$、標準偏差 $1$）に使った場合で、$a\cdot0+b=\mu$、$a^2\cdot1=\sigma^2$ である。3 は、$\sigma>0$ なので $c\le X\le d$ と $\frac{c-\mu}\sigma\le\frac{X-\mu}\sigma\le\frac{d-\mu}\sigma$ が同じ事象であることと、1 による。$\square$

方針：$\varphi$ が偶関数であることを、置換 $x=-t$ で積分に使う。
段 1（$-z$ から $0$ まで）。$x=-t$ と置換すると $dx=-dt$ で、$x=-z$ のとき $t=z$、$x=0$ のとき $t=0$ なので
$$ P(-z\le Z\le0)=\int_{-z}^0\varphi(x)\,dx=\int_z^0\varphi(-t)(-dt)=\int_0^z\varphi(t)\,dt=u(z) $$
である（$\varphi(-t)=\varphi(t)$ を使った）。
段 2（半分ずつ）。段 1 と同じ置換を $-R\le x\le0$ で行うと $\int_{-R}^0\varphi=\int_0^R\varphi$ であり、prop-nrm-total から両方を足した $R\to\infty$ の極限は $1$ なので、$P(Z\le0)=P(Z\ge0)=0.5$ である。
段 3（はしの部分）。$P(Z\ge z)=P(Z\ge0)-P(0\le Z< z)=0.5-u(z)$ である（1 点の確率は $0$ なので、$<$ と $\le$ は区別しなくてよい）。$P(Z\le-z)=P(Z\le0)-P(-z< Z\le0)=0.5-u(z)$ である。最後の式は、$P(-z\le Z\le z)=P(-z\le Z\le0)+P(0< Z\le z)=u(z)+u(z)$ である（第 1 項は段 1、第 2 項は $u(z)$ の定義による）。$\square$

thm-nrm-linear の 3 で $c=\mu-k\sigma$、$d=\mu+k\sigma$ とすると、$\frac{c-\mu}\sigma=-k$、$\frac{d-\mu}\sigma=k$ なので、左辺は $P(-k\le Z\le k)$ である。prop-nrm-symmetry により、これは $2u(k)$ に等しい。$\mu$、$\sigma$ は途中で消えている。数値は $u(1)=0.341344\ldots$、$u(2)=0.477249\ldots$、$u(3)=0.498650\ldots$（数値積分）の 2 倍である。$\square$

方針：$x\varphi(x)$ には原始関数 $-\varphi(x)$ がある（prop-nrm-shape の証明の段 1 の $\varphi'=-x\varphi$）。これで $E(Z)$ を計算し、$V(Z)$ は部分積分で $\int\varphi=1$ に帰着させる。広義積分なので、$[-R,R]$ で計算してから $R\to\infty$ とする。
段 1（$R\varphi(R)\to0$）。$y\ge0$ のとき $e^y\ge1+y$（曲線の凹凸と接線 の接線の不等式）なので、$y=\frac{R^2}2$ として $e^{R^2/2}\ge1+\frac{R^2}2>\frac{R^2}2$ である。よって $R>0$ で
$$ 0< R\,e^{-R^2/2}< R\cdot\frac2{R^2}=\frac2R $$
であり、$R\to\infty$ で $R\varphi(R)=\frac{Re^{-R^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\to0$ である（はさみうちの原理）。$\varphi(R)\to0$ も同じ評価から出る。
段 2（期待値）。$(-\varphi)'=x\varphi$ なので、$\int_0^Rx\varphi(x)\,dx=\varphi(0)-\varphi(R)$ であり、$R\to\infty$ で $\varphi(0)$ に近づく。$x\varphi(x)$ は 奇関数 なので $\int_{-R}^0x\varphi(x)\,dx=-(\varphi(0)-\varphi(R))$ で、両方の広義積分が収束し、和は $0$ である。よって $E(Z)=0$ である。
段 3（分散）。$E(Z)=0$ なので $V(Z)=\int x^2\varphi(x)\,dx$ である。$x^2\varphi(x)=x\cdot x\varphi(x)$ と見て、$x\varphi(x)=(-\varphi(x))'$ を使って 部分積分 すると
$$ \int_{-R}^Rx^2\varphi(x)\,dx=\Bigl[-x\varphi(x)\Bigr]_{-R}^R+\int_{-R}^R\varphi(x)\,dx=-2R\varphi(R)+\int_{-R}^R\varphi(x)\,dx $$
である（$\varphi(-R)=\varphi(R)$ を使った）。$R\to\infty$ とすると、段 1 と prop-nrm-total から右辺は $0+1=1$ に近づく。よって $V(Z)=1$ である。
段 4（一般の場合）。thm-nrm-linear の 2 により、$X$ は $\mu+\sigma Z$ と同じ分布に従う。期待値と分散は分布だけで決まるので、1 次式の期待値と分散の公式（確率密度関数と連続型確率変数 で証明）から $E(X)=\mu+\sigma\cdot0=\mu$、$V(X)=\sigma^2\cdot1=\sigma^2$ である。$\square$