構造層

同義語：structure sheaf

概要

前提知識: 可換環, 局所化, Zariski位相, 層, 茎
構造層は、空間の各開集合にその上の「関数」のなす環を対応させる環の層であり、空間とあわせて環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ をなすときの $\mathcal{O}_X$ をいう。可微分多様体なら滑らかな関数の層、複素多様体なら正則関数の層が構造層である。代数幾何学で最も基本的なのは、可換環 $A$ の素スペクトル $X=\operatorname{Spec}A$ の上の構造層である。これは基本開集合 $D(f)$ に局所化 $A_f$ を、点 $\mathfrak{p}$ の近くに局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ を対応させ、大域的な切断として $A$ 自身を取り戻す層であり、$(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O}_X)$ がアフィンスキームである。本記事では $\operatorname{Spec}A$ の構造層を扱う。環は乗法の単位元 $1$ をもつ可換環とし、零環も許す。

定義

$A$ を可換環、$X=\operatorname{Spec}A$ をその素イデアル全体に Zariski位相を入れた空間とする。$f\in A$ に対し $D(f):=\{\mathfrak{p}\in X\mid f\notin\mathfrak{p}\}$ を基本開集合という。基本開集合の全体は $X$ の開基をなし、$D(f)\cap D(g)=D(fg)$ であり、$D(g)\subset D(f)$ であることと、ある $m\ge1$ と $c\in A$ について $g^m=cf$ となることは同値である（アフィンスキームの記事の命題「Zariski位相の基本性質」の 5〜7）。$\mathfrak{p}\in X$ に対し、$A_{\mathfrak{p}}=\{a/s\mid a\in A,\ s\notin\mathfrak{p}\}$ は $\mathfrak{p}$ における局所化である。

素スペクトルの構造層

$X=\operatorname{Spec}A$ の開集合 $U$ に対し、$\mathcal{O}_X(U)$ を、各点 $\mathfrak{p}\in U$ に元 $s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}$ を対応させる写像
$$ s\colon U\longrightarrow\coprod_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}} $$
であって、局所的に分数で書けるもの全体の集合とする。ここで局所的に分数で書けるとは、各 $\mathfrak{p}\in U$ について、$\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset U$ と $a,g\in A$ があって、すべての $\mathfrak{q}\in W$ について $g\notin\mathfrak{q}$ かつ $s(\mathfrak{q})=a/g\in A_{\mathfrak{q}}$ となることをいう。$\mathcal{O}_X(U)$ に各点ごとの加法と乗法を入れ、開集合 $V\subset U$ への制限を写像の制限で定める。こうして得られる可換環の層 $\mathcal{O}_X$ を $\operatorname{Spec}A$ の 構造層（structure sheaf）という。$\mathcal{O}_X(U)$ の元を $U$ 上の切断という。

$\mathcal{O}_X(U)$ が可換環であり、$\mathcal{O}_X$ が環の前層で層の条件を満たすことは、分数の和と積が $(ah+bg)/(gh)$、$ab/(gh)$ と書けることと、条件が各点の近くだけで決まることから従う（アフィンスキームの記事の命題「構造層が層であること」）。$\mathcal{O}_X(\emptyset)$ は一元からなる零環である。$A$ の元 $a$ は、各点で $a/1\in A_{\mathfrak{p}}$ をとる大域的な切断を与える。
構造層の中心的な性質は、基本開集合の上の切断が局所化で与えられることである。

基本開集合上の切断環

$f\in A$ に対し、写像
$$ \psi_f\colon A_f\longrightarrow\mathcal{O}_X(D(f)),\qquad\frac{a}{f^n}\longmapsto\Bigl(\mathfrak{p}\mapsto\frac{a}{f^n}\in A_{\mathfrak{p}}\Bigr) $$
は環の同型である。とくに $f=1$ とすると、大域切断の環について $\Gamma(X,\mathcal{O}_X):=\mathcal{O}_X(X)\cong A$ である。

定理の証明の所在

証明はアフィンスキームの記事の定理「基本開集合の上の切断」が所有する（Har77 Chapter II, §2、Liu02 Chapter 2, §3）。筋：$\mathfrak{p}\in D(f)$ では $f\notin\mathfrak{p}$ なので $a/f^n$ は $A_{\mathfrak{p}}$ で意味をもつ。単射性は、各 $\mathfrak{p}\in D(f)$ で $a/f^n=0$ なら $a$ の零化イデアル $\operatorname{Ann}(a)$ が $D(f)$ のどの点にも含まれず、$f$ がその根基に入って $f^la=0$ となることによる。全射性は、切断を有限個の $D(h_i)$ の上の分数 $a_i/h_i$ で表し（$D(f)$ の準コンパクト性）、重なりで一致するように分母をそろえたうえで、$f^m=\sum_ib_ih_i$ と「1 の分割」に当たる式を作って $a=\sum_ib_ia_i$ で貼り合わせることによる。

この定理により、構造層は「$D(f)$ に $A_f$ を対応させる」ことで特徴づけられる。そのためには、基本開集合の間の制限写像が局所化の間の自然な写像になっていることを確かめておく必要がある。

基本開集合の間の制限

$f,g\in A$ で $D(g)\subset D(f)$ とする。

$f/1$ は $A_g$ の単元であり、$A\to A_g$ と両立する環準同型 $\rho^f_g\colon A_f\to A_g$ がただ 1 つ存在する。$g^m=cf$ と書くと $\rho^f_g(a/f^n)=ac^n/g^{mn}$ である。
$\psi_g\circ\rho^f_g=\operatorname{res}\circ\psi_f$ である。ここで $\operatorname{res}\colon\mathcal{O}_X(D(f))\to\mathcal{O}_X(D(g))$ は制限写像である。
$D(h)\subset D(g)\subset D(f)$ なら $\rho^g_h\circ\rho^f_g=\rho^f_h$ であり、$\rho^f_f=\mathrm{id}$ である。
$D(f)=D(g)$ なら $\rho^f_g$ は同型である。したがって環 $A_f$ は、開集合 $D(f)$ だけで標準的な同型を除いて定まり、元 $f$ の選び方によらない。

1：$D(g)\subset D(f)$ なので $g^m=cf$ となる $m\ge1$、$c\in A$ がある。$A_g$ では $(f/1)(c/g^m)=cf/g^m=1$ なので $f/1$ は単元である。局所化の記事の命題「局所化の普遍性」により、$f$ を単元に写す環準同型 $A\to A_g$ は $A_f$ を経由してただ 1 通りに分解するので、$\rho^f_g$ がただ 1 つ存在する。$\rho^f_g(1/f)=(f/1)^{-1}=c/g^m$ なので $\rho^f_g(a/f^n)=(a/1)(c/g^m)^n=ac^n/g^{mn}$ である。
2：$a/f^n\in A_f$ と $\mathfrak{p}\in D(g)$ をとる。$\operatorname{res}(\psi_f(a/f^n))$ の $\mathfrak{p}$ での値は $a/f^n\in A_{\mathfrak{p}}$、$\psi_g(\rho^f_g(a/f^n))$ の $\mathfrak{p}$ での値は $ac^n/g^{mn}\in A_{\mathfrak{p}}$ である。$f^nc^n=g^{mn}$ なので、$A_{\mathfrak{p}}$ で $a/f^n=ac^n/(f^nc^n)=ac^n/g^{mn}$ となり（$f,g\notin\mathfrak{p}$ だから両辺の分母は $A_{\mathfrak{p}}$ の単元である）、2 つの切断はすべての点で一致する。
3：$\rho^g_h\circ\rho^f_g$ と $\rho^f_h$ はどちらも $A\to A_h$ と両立する環準同型 $A_f\to A_h$ なので、1 の一意性により等しい。$\rho^f_f=\mathrm{id}$ も同じ一意性による。
4：$D(f)=D(g)$ なら $\rho^f_g$ と $\rho^g_f$ がともに定まり、3 により $\rho^g_f\circ\rho^f_g=\rho^f_f=\mathrm{id}$、$\rho^f_g\circ\rho^g_f=\mathrm{id}$ である。$\square$

たとえば $D(f)=D(f^2)$ であり、4 の同型 $A_f\to A_{f^2}$ は $a/f^n\mapsto af^n/f^{2n}$ で与えられる。

基本開集合の上の層としての記述

thm-structure-sheaf-basic-open と prop-structure-sheaf-restriction により、基本開集合に $D(f)\mapsto A_f$、包含 $D(g)\subset D(f)$ に $\rho^f_g$ を対応させるデータは、開基 $\{D(f)\}$ の上の層（基底上の層）をなす。一般に、開基の上の層は $X$ 上の層に同型を除いてただ 1 通りに延長され、延長は $\mathcal{O}_X(U)=\varprojlim_{D(f)\subset U}A_f$（射影極限）で与えられる（Stacks の Sheaves on Spaces の章の節「Bases and sheaves」）。構造層はこの延長として定義することもでき、Stacks は Schemes の章の節「Affine schemes」でこちらを定義に採る。本記事の定義は延長を具体的な「局所的に分数で書ける関数」として書き下したものである。

直感

$A$ の元 $a$ を $\operatorname{Spec}A$ 上の「関数」とみると、点 $\mathfrak{p}$ での値は剰余体 $\kappa(\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ における $a$ の像である。$a$ が消えない場所 $D(f)$ の上では $f$ で割ってよいので、そこでの関数は分数 $a/f^n$ であり、これが $\mathcal{O}_X(D(f))=A_f$ の意味である。点 $\mathfrak{p}$ のごく近くでは $\mathfrak{p}$ に属さないどの元でも割ってよいので、点での関数の芽の環は $A_{\mathfrak{p}}$ になる。ただし構造層の切断は値の集まり以上の情報をもつ。値は剰余体でとるが、切断そのものは局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の元を各点に指定するので、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ に入る「無限小の部分」、とくに冪零元を覚えている（ex-structure-sheaf-dual-numbers）。位相空間 $\operatorname{Spec}A$ は $A$ を冪零根基で割った環の情報しかもたないが、構造層まで込めれば環 $A$ そのものが大域切断として復元される。

例と反例

整数環のスペクトル

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の点は $(0)$ と素数 $p$ に対する $(p)$ で、空でない開集合は有限個の閉点 $(p_1),\dots,(p_r)$ を除いた集合 $U$ に限る（Zariski位相の記事の例「整数環のスペクトル」）。$U=D(p_1\cdots p_r)$ なので、thm-structure-sheaf-basic-open により
$$ \mathcal{O}_X(U)\cong\mathbb{Z}[1/(p_1\cdots p_r)]=\Bigl\{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\Bigm|b\text{ の素因数は }p_1,\dots,p_r\text{ のどれか}\Bigr\} $$
である。とくに $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{Z}$、$\mathcal{O}_X(D(6))=\mathbb{Z}[1/6]$ である。切断 $1/6\in\mathcal{O}_X(D(6))$ は点 $(5)$ では $\mathbb{Z}_{(5)}$ の元として意味をもつが、$(2),(3)\notin D(6)$ なのでそこでは定義されない。茎は $\mathcal{O}_{X,(p)}\cong\mathbb{Z}_{(p)}$、$\mathcal{O}_{X,(0)}\cong\mathbb{Q}$、剰余体は $\kappa((p))=\mathbb{F}_p$、$\kappa((0))=\mathbb{Q}$ である（thm-structure-sheaf-stalk）。整数 $a$ の点 $(p)$ での値は $a\bmod p$ である。

体上のアフィン直線

$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[x]$ とする。$k[x]$ は単項イデアル整域なので、空でない開集合は有限個の閉点を除いた集合であり、除く閉点がモニックな既約多項式 $q_1,\dots,q_r$ に対応するなら $U=D(q_1\cdots q_r)$ である。よって
$$ \mathcal{O}_X(U)\cong k[x]_{q_1\cdots q_r} $$
は、分母の既約因子が $q_1,\dots,q_r$ のどれかであるような有理関数の環である。たとえば $1/x\in\mathcal{O}_X(D(x))=k[x,x^{-1}]$ は $D(x)$ 上の切断だが、$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k[x]$ に属さないので大域切断には延びない。$k$ が代数閉体なら閉点は $a\in k$ に対応する $(x-a)$ で、$\mathcal{O}_X(U)$ は $U$ の閉点で極をもたない有理関数の環、茎 $\mathcal{O}_{X,(x-a)}=k[x]_{(x-a)}$ は $a$ で極をもたない有理関数の環、生成点 $(0)$ での茎は有理関数体 $k(x)$ である。

反例：値がすべて 0 だが 0 でない切断

$k$ を体、$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とする。$\varepsilon$ は冪零なのですべての素イデアルに属し、$A/(\varepsilon)\cong k$ は体なので、$X=\operatorname{Spec}A$ は一点 $\mathfrak{m}=(\varepsilon)$ からなる。thm-structure-sheaf-basic-open により $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\cong A$ であり、$\varepsilon$ は $0$ でない大域切断である。しかし唯一の点での値、すなわち $\kappa(\mathfrak{m})=A/\mathfrak{m}\cong k$ における像は $0$ である。
この例は「すべての点での値が $0$」を満たすが「切断が $0$」を満たさず、関数についての含意「すべての点で値が $0$ の関数は $0$ である」を構造層の切断について破る。一般に $a\in A$ の値がすべての点で $0$ であることは、$a$ がすべての素イデアルに属すること、すなわち $a$ が冪零であることと同値である（冪零根基の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」）。$\operatorname{Spec}k$ と $\operatorname{Spec}A$ は位相空間としてはともに一点で区別できないが、構造層によって区別される（アフィンスキームの記事の例「二重数環：一点だが一点のスペクトルではない」）。

反例：基本開集合でない開集合

$k$ を体、$A=k[x,y]$、$X=\operatorname{Spec}A$、$U:=D(x)\cup D(y)$（原点に当たる閉点 $(x,y)$ を除いた開集合）とする。層の条件と thm-structure-sheaf-basic-open から $\mathcal{O}_X(U)$ は $A_x$ と $A_y$ の $A_{xy}$ における「共通部分」として計算でき、制限写像 $A=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to\mathcal{O}_X(U)$ は同型である（アフィンスキームの記事の例「反例：原点を除いた平面はアフィンでない」）。
一方 $U$ は基本開集合でない。$U=D(f)$ なら、制限写像 $A\to\mathcal{O}_X(D(f))$ は prop-structure-sheaf-restriction により局所化 $A\to A_f$ と同一視され、それが同型なので $f/1$ の逆元はある $a/1$ に等しい。整域 $A$ では $A\to A_f$ は単射なので $af=1$、すなわち $f$ は単元となり $D(f)=X\ne U$ である。これは矛盾である。この例は「$U$ 上の切断の環が $A$ の局所化である」を満たすが「$U$ が基本開集合である」を満たさず、開集合がその上の切断の環で決まるわけではないことを示す。一般の開集合の上の切断は局所化 $A_f$ で書けるとは限らず、基本開集合の上の切断から層の条件で組み立てる必要がある。

可微分多様体の構造層

可微分多様体 $M$ の開集合 $U$ に $U$ 上の滑らかな実数値関数の環 $C^\infty(U)$ を対応させると、環の層 $C^\infty_M$ が得られ、$(M,C^\infty_M)$ は局所環付き空間である（環付き空間の記事の例「可微分多様体の構造層」）。点 $x$ での茎は関数の芽の環で、$x$ で値が $0$ の芽からなる極大イデアルをただ 1 つもつ局所環である。この構造層は $\operatorname{Spec}$ の構造層とは違い、「すべての点で値が $0$ の関数は $0$」を満たす。すなわち、ex-structure-sheaf-dual-numbers のような冪零な切断は現れない。

性質

茎と局所環付き空間

構造層の茎

$\mathfrak{p}\in X=\operatorname{Spec}A$ に対し、芽をその点での値に送る写像
$$ \mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}\longrightarrow A_{\mathfrak{p}},\qquad(U,s)\longmapsto s(\mathfrak{p}) $$
は環の同型である。とくに $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}$ は極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ をもつ局所環であり、$(X,\mathcal{O}_X)$ は局所環付き空間である。

茎の同型の証明の所在

証明は環付き空間の記事の命題「アフィンスキームの茎」が所有する（Har77 Chapter II, §2）。茎の記事の例「アフィンスキームの構造層の茎」は、$\mathfrak{p}$ を含む基本開集合 $D(f)$（$f\notin\mathfrak{p}$）が近傍基をなすことから、茎を帰納極限 $\varinjlim_{f\notin\mathfrak{p}}A_f$ として計算し、それが $A_{\mathfrak{p}}$ に一致することを示している。$A_{\mathfrak{p}}$ が極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ をもつ局所環であることは局所化の記事の系「素イデアルにおける局所化の局所性」による。

茎が局所環なので、各点 $\mathfrak{p}$ に剰余体 $\kappa(\mathfrak{p}):=\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}/\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ が定まり、これは整域 $A/\mathfrak{p}$ の商体に同型である（剰余体の記事）。切断 $s\in\mathcal{O}_X(U)$ の点 $\mathfrak{p}\in U$ での値 $s(\mathfrak{p})\bmod\mathfrak{p}$ とは、$s(\mathfrak{p})$ の $\kappa(\mathfrak{p})$ における像のことである。点ごとに値の住む体が違う（$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ では $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_3,\dots,\mathbb{Q}$）ことが、通常の関数との大きな違いである。

単元と値

関数が「どの点でも $0$ にならない」ことと可逆であることの関係は、構造層でもそのまま成り立つ。

切断が単元であるための条件

$U\subset X=\operatorname{Spec}A$ を開集合、$s\in\mathcal{O}_X(U)$ とする。次は同値である。

$s$ は環 $\mathcal{O}_X(U)$ の単元である。
すべての $\mathfrak{p}\in U$ について、$s(\mathfrak{p})$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の単元である。
すべての $\mathfrak{p}\in U$ について、$s$ の $\mathfrak{p}$ での値は $\kappa(\mathfrak{p})$ で $0$ でない。
とくに $a\in A$ について、$a$ が単元であることと、どの素イデアルにも属さない（$D(a)=X$）ことは同値である。

1 ⇒ 2：$st=1$ なら、各点で $s(\mathfrak{p})t(\mathfrak{p})=1$ である。
2 ⇔ 3：局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ では、単元でない元の全体が極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ に一致する（局所環の記事の命題「局所環の特徴づけ」）。よって $s(\mathfrak{p})$ が単元であることは $s(\mathfrak{p})\notin\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$、すなわち値が $0$ でないことと同値である。
2 ⇒ 1：各 $\mathfrak{p}\in U$ について $t(\mathfrak{p}):=s(\mathfrak{p})^{-1}\in A_{\mathfrak{p}}$ とおき、$t$ が局所的に分数で書けることを示せばよい（そうすれば $t\in\mathcal{O}_X(U)$ で $st=1$）。$\mathfrak{p}\in U$ をとり、$\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset U$ と $a,g\in A$ で、$W$ のすべての点 $\mathfrak{q}$ について $g\notin\mathfrak{q}$ かつ $s(\mathfrak{q})=a/g$ となるものをとる。$s(\mathfrak{p})=a/g$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の単元なので $a/g\notin\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$、したがって $a\notin\mathfrak{p}$ である（$a\in\mathfrak{p}$ なら $a/g\in\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$）。開近傍 $W':=W\cap D(a)$ の各点 $\mathfrak{q}$ では $a,g\notin\mathfrak{q}$ なので $g/a\in A_{\mathfrak{q}}$ が意味をもち、$(a/g)(g/a)=1$ だから $t(\mathfrak{q})=g/a$ である。よって $t$ は $\mathfrak{p}$ の近くで 1 つの分数 $g/a$ で書ける。
最後の主張：$a\in A=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$（thm-structure-sheaf-basic-open）に 1 ⇔ 2 を適用する。$a/1$ が $A_{\mathfrak{p}}$ の単元であることは $a\notin\mathfrak{p}$ と同値である（$a\notin\mathfrak{p}$ なら $1/a$ が逆元、$a\in\mathfrak{p}$ なら $a/1\in\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$）。$A=0$ のときは $X=\emptyset$ で、両辺とも成り立つ。$\square$

最後の主張は、真のイデアル $(a)$ が極大イデアルに含まれることからも直接わかる（極大イデアルの記事の系「単元と極大イデアル」）。命題の要点は、この「値が消えなければ割れる」という性質が、大域切断だけでなくすべての開集合の上の切断について成り立つことである。

整域のスペクトルの構造層

$A$ が整域なら、構造層の切断はすべて商体の元として実現され、層の構造は商体の部分環の共通部分で書ける。

整域のスペクトルの切断

$A$ を整域、$K=\operatorname{Frac}(A)$ をその商体、$X=\operatorname{Spec}A$、$\eta=(0)\in X$ とする。各 $\mathfrak{p}\in X$ について $A_{\mathfrak{p}}$ を $K$ の部分環とみなす。

空でない開集合 $U$ について、$s\mapsto s(\eta)$ は環の同型
$$ \mathcal{O}_X(U)\xrightarrow{\ \sim\ }\bigcap_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\subset K $$
を与え、しかもすべての $\mathfrak{p}\in U$ について $s(\mathfrak{p})=s(\eta)$（$K$ の元として）である。空でない開集合 $V\subset U$ への制限は、この同型のもとで包含写像 $\bigcap_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\subset\bigcap_{\mathfrak{p}\in V}A_{\mathfrak{p}}$ にあたる。
$\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}=A$ である。ここで $\mathfrak{m}$ は $A$ の極大イデアル全体を動く。とくに $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\cong\bigcap_{\mathfrak{p}\in X}A_{\mathfrak{p}}=A$ である。

準備：$A$ は整域なので、$A_{\mathfrak{p}}\to K$、$a/s\mapsto a/s$ は単射であり（$A_{\mathfrak{p}}$ で $a/s=0$ なら $ua=0$ となる $u\notin\mathfrak{p}$ があり、$u\ne0$ なので $a=0$）、$A_{\eta}=K$ である。また $(0)$ は素イデアルで、空でない開集合 $X\setminus V(I)$ では $V(I)\ne X=V((0))$ から $I\ne0$、したがって $\eta\notin V(I)$ となるので、$\eta$ は空でないすべての開集合に属する（Zariski位相の記事の例「反例：Hausdorff でないスペクトル」と同じ議論）。
1：$s\in\mathcal{O}_X(U)$ と $\mathfrak{p}\in U$ をとる。定義により $\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset U$ と $a,g\in A$ があって、$W$ の各点 $\mathfrak{q}$ で $g\notin\mathfrak{q}$、$s(\mathfrak{q})=a/g$ である。$W$ は空でない開集合なので $\eta\in W$ であり、$s(\eta)=a/g=s(\mathfrak{p})$ が $K$ の元として成り立つ。したがって $s$ は $s(\eta)$ だけで決まり、$s(\eta)=s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}$ がすべての $\mathfrak{p}\in U$ で成り立つ。よって $s\mapsto s(\eta)$ は単射で、像は $\bigcap_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}$ に含まれる。この写像は各点ごとの演算の定義から環準同型である。
逆に $x\in\bigcap_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}$ をとり、すべての $\mathfrak{p}\in U$ について $s(\mathfrak{p}):=x\in A_{\mathfrak{p}}$ とおく。$\mathfrak{p}\in U$ に対し $x\in A_{\mathfrak{p}}$ なので $x=a/g$（$a\in A$、$g\notin\mathfrak{p}$）と書ける。開近傍 $W:=U\cap D(g)$ の各点 $\mathfrak{q}$ では $g\notin\mathfrak{q}$ であり、$A_{\mathfrak{q}}\subset K$ の中で $s(\mathfrak{q})=x=a/g$ である。よって $s\in\mathcal{O}_X(U)$ で $s(\eta)=x$ であり、写像は全射である。制限 $s\mapsto s|_V$ は $V\ni\eta$ での値を変えないので、包含写像にあたる。
2：$A\subset\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}$ は明らかである。逆に $x\in\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}$ とし、$I:=\{a\in A\mid ax\in A\}$ とおくと、$I$ は $A$ のイデアルである。各極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $x=b/s$（$b\in A$、$s\notin\mathfrak{m}$）と書けるので $sx=b\in A$、すなわち $s\in I\setminus\mathfrak{m}$ である。よって $I$ はどの極大イデアルにも含まれず、$I=A$（真のイデアルは極大イデアルに含まれる。極大イデアルの記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）、とくに $1\in I$ で $x\in A$ である。最後に、$X$ は $\eta$ を含むので空でなく、1 を $U=X$ に適用すると $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\cong\bigcap_{\mathfrak{p}\in X}A_{\mathfrak{p}}$ であり、$A\subset\bigcap_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}\subset\bigcap_{\mathfrak{m}}A_{\mathfrak{m}}=A$ である。$\square$

2 の後半は、$A$ が整域の場合に thm-structure-sheaf-basic-open の $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\cong A$ を別の筋で確かめたものである（一般の環の場合の証明はアフィンスキームの記事にある）。1 は $\operatorname{Spec}A$ の構造層が「$K$ の元のうち $U$ のどの点でも分母が消えないもの」の層であることを表し、ex-structure-sheaf-spec-z の $\mathbb{Z}[1/(p_1\cdots p_r)]=\bigcap_{p\ne p_1,\dots,p_r}\mathbb{Z}_{(p)}$ や、ex-structure-sheaf-affine-line の「極をもたない有理関数」はこの形である。茎について言えば、生成点 $\eta$ における茎は $A_{(0)}=K$ であり（thm-structure-sheaf-stalk）、すべての制限写像と芽への写像は $K$ の部分環の包含になる。整域でない環では構造層の切断はこのように 1 つの体の中には収まらない。たとえば $A=k[x,y]/(xy)$ では $\mathcal{O}_X(D(\bar x))\cong k[x,x^{-1}]$ と $\mathcal{O}_X(D(\bar y))\cong k[y,y^{-1}]$ がそれぞれ別の既約成分の関数を表し、$D(\bar x)\cap D(\bar y)=D(\bar x\bar y)=D(0)=\emptyset$ である。

環準同型と開集合への制限

環準同型 $\varphi\colon A\to B$ は、連続写像 $\varphi^*\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$、$\mathfrak{q}\mapsto\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ と、構造層の射 $\varphi^\sharp\colon\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}\to\varphi^*_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B}$ を定める。基本開集合の上では $(\varphi^*)^{-1}(D(a))=D(\varphi(a))$ であり、$\varphi^\sharp$ は局所化の準同型 $A_a\to B_{\varphi(a)}$、$x/a^n\mapsto\varphi(x)/\varphi(a)^n$ にあたる。こうしてアフィンスキームの射が得られ、可換環の圏とアフィンスキームの圏は反同値になる（アフィンスキームの記事の命題「環準同型が定める射」と系「可換環の圏とアフィンスキームの圏の反同値」）。また $f\in A$ について、$D(f)$ に構造層を制限した局所環付き空間 $(D(f),\mathcal{O}_X|_{D(f)})$ は $\operatorname{Spec}A_f$ と同型である（同記事の命題「基本開集合はアフィン」）。

補足

スキーム $X$ の構造層 $\mathcal{O}_X$ は、アフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ の上で本記事の構造層に一致する環の層であり、スキームはアフィンスキームを構造層ごと貼り合わせたものである。構造層の上の加群の層（$\mathcal{O}_X$ 加群）が代数幾何学の主な研究対象で、$A$ 加群 $M$ に対して本記事の定義の $A_{\mathfrak{p}}$ を $M_{\mathfrak{p}}$ に置き換えた層 $\widetilde{M}$ が準連接層の局所的な形である（$\widetilde{A}=\mathcal{O}_X$）。局所的に $\mathcal{O}_X^{\oplus n}$ と同型な層が局所自由層、とくに $n=1$ のものが可逆層である。局所 Noether なスキームの構造層は連接層である。構造層の定義は位相空間を景に置き換えても意味をもち、エタール位相での構造層の茎は狭義Hensel局所環になる。