符号付き測度

1：$n>m$ について $E_n:=\emptyset$ として可算加法性を使う（$\nu(\emptyset)=0$）。
2：1 から $\nu(F)=\nu(E)+\nu(F\setminus E)$ であり、右辺の 2 項はどちらも $-\infty$ でない。$\nu(E)=\infty$ なら $\nu(F)=\infty$ となるので、$\nu(E)$ は実数である。同様に $\nu(F\setminus E)$ も実数で、等式を移項すればよい。
3：$U:=\bigcup_nE_n$ とし、$I_+:=\{n\mid\nu(E_n)>0\}$、$I_-:=\{n\mid\nu(E_n) < 0\}$ とおく。$U_\pm:=\bigcup_{n\in I_\pm}E_n\subset U$ の値は 2 により実数であり、可算加法性から $\sum_{n\in I_+}\nu(E_n)=\nu(U_+)$、$\sum_{n\in I_-}|\nu(E_n)|=-\nu(U_-)$ である（正の項だけの級数、負の項だけの級数として収束する）。よって $\sum_n|\nu(E_n)|=\nu(U_+)-\nu(U_-) < \infty$ である。
4：$D_1:=E_1$、$D_n:=E_n\setminus E_{n-1}$（$n\ge2$）とおくと、$D_n$ は互いに交わらず、$D_1\cup\cdots\cup D_n=E_n$、$\bigcup_nD_n=\bigcup_nE_n$ である。ある $D_k$ で $\nu(D_k)=\infty$ なら、1 により $n\ge k$ で $\nu(E_n)=\infty$ であり、可算加法性により $\nu(\bigcup_nE_n)=\infty$ である。そうでなければ、1 により $\nu(E_n)$ は $\sum_k\nu(D_k)$ の第 $n$ 部分和であり、可算加法性の右辺の意味から $\nu(\bigcup_nE_n)=\lim_n\nu(E_n)$ である。
5：2 によりすべての $\nu(E_n)$ と $\nu(\bigcap_nE_n)$ は実数である。増加列 $E_1\setminus E_n$ に 4 を使い、2 で $\nu(E_1\setminus E_n)=\nu(E_1)-\nu(E_n)$、$\nu(E_1\setminus\bigcap_nE_n)=\nu(E_1)-\nu(\bigcap_nE_n)$ と書き直せばよい。$\square$

1：$F\subset E$ が可測なら、$F\cap N\subset N$ なので $\nu(F\cap N)\le0$、$F\cap P\subset E\cap P$ と $(E\cap P)\setminus(F\cap P)\subset P$ から $\nu(F\cap P)\le\nu(E\cap P)$ である（lem-sm-basic の 1）。よって $\nu(F)=\nu(F\cap P)+\nu(F\cap N)\le\nu(E\cap P)$ であり、$F:=E\cap P$ で等号が成り立つ。$\nu^-$ も同様である。
2：Hahn 分解 $(P,N)$ を 1 つとる（Hahn分解定理 の定理「Hahn分解定理」）。$P$ は正集合なので $E\mapsto\nu(E\cap P)$ は $[0,\infty]$ に値をとり、$\nu$ の可算加法性から測度である。$\nu^-$ も同様で、$\nu^-(X)=-\nu(N)$ は、$\nu$ が $-\infty$ をとらないので有限である。$\nu(E)=\nu(E\cap P)+\nu(E\cap N)=\nu^+(E)-\nu^-(E)$ であり、$\nu^+(N)=0$、$\nu^-(P)=0$ なので互いに特異である。
3：$F\subset E$ が可測なら $\nu(F)=\alpha(F)-\beta(F)\le\alpha(F)\le\alpha(E)$、$-\nu(F)=\beta(F)-\alpha(F)\le\beta(E)$ である（$\beta(F)$ は有限）。上限をとればよい。
4：$A,B$ を $\alpha\perp\beta$ を与える集合とする。可測集合 $C\subset A$ では $\beta(C)=0$ なので $\nu(C)=\alpha(C)\ge0$、$C\subset B$ では $\alpha(C)=0$ なので $\nu(C)=-\beta(C)\le0$ である。よって $(A,B)$ は $\nu$ の Hahn 分解であり、1 により $\nu^+(E)=\nu(E\cap A)=\alpha(E\cap A)=\alpha(E)$ である（$\alpha(E\cap B)=0$）。同様に $\nu^-=\beta$ である。$\square$

1：各 $i$ で $|\nu(E_i)|=|\nu^+(E_i)-\nu^-(E_i)|\le\nu^+(E_i)+\nu^-(E_i)$ なので、和は $|\nu|(E)$ 以下である。Hahn 分解 $(P,N)$ について、分割 $E\cap P$、$E\cap N$ では thm-sm-jordan の 1 により $|\nu(E\cap P)|+|\nu(E\cap N)|=\nu^+(E)+\nu^-(E)$ となり、上限に達する。2 は 1 で $m=1$ とした場合である。
3：$|\nu|(E)=0$ なら、可測集合 $C\subset E$ について 2 により $|\nu(C)|\le|\nu|(C)\le|\nu|(E)=0$ である。逆に $E$ が $\nu$-零集合なら、$\nu^\pm(E)$ の定義の上限に現れる値はすべて $0$ である。
4：2 から $|\nu(F)|\le|\nu|(F)\le|\nu|(X)$ なので $s\le|\nu|(X)$ である。thm-sm-jordan の 1 により $\nu^+(X)=\nu(P)\le s$、$\nu^-(X)=-\nu(N)\le s$ なので $|\nu|(X)\le2s$ である。$\nu^\pm$ は有限なので $s < \infty$ である。$\square$

1：線形性は $\nu^\pm$ についての積分の線形性（Lebesgue積分 の定理「積分の線形性と単調性」）による。不等式は
$$ \Bigl|\int f\,d\nu^+-\int f\,d\nu^-\Bigr|\le\int|f|\,d\nu^++\int|f|\,d\nu^-=\int|f|\,d|\nu| $$
である。
2：$|g|\le1$ なら、1 を $g1_E$ に使って $\bigl|\int_Eg\,d\nu\bigr|\le|\nu|(E)$ である（$\nu$ は有限なので $g1_E$ は $\nu$-可積分）。Hahn 分解 $(P,N)$ について $g:=1_P-1_N$ とおくと、$\nu^+(N)=0$、$\nu^-(P)=0$ から
$$ \int_Eg\,d\nu=\nu^+(E\cap P)-\nu^-(E\cap P)-\nu^+(E\cap N)+\nu^-(E\cap N)=\nu^+(E)+\nu^-(E)=|\nu|(E) $$
となり、上限に達する。
3：ex-sm-jordan-examples の 1 により $\nu^\pm=f^\pm\mu$、$|\nu|=|f|\mu$ である。Radon–Nikodymの定理 の命題「密度で定まる測度」の 2 により、非負の可測関数 $h$ について $\int h\,d\nu^\pm=\int hf^\pm\,d\mu$、$\int h\,d|\nu|=\int h|f|\,d\mu$ である。$h=|g|$ とすれば前半が、$h=g^+,g^-$ として差をとれば後半が従う。$\square$

1：有限な符号付き測度の和とスカラー倍の可算加法性は、収束する級数の和とスカラー倍が収束することから従う。prop-sm-variation の 4 により $\|\nu\| < \infty$ である。同じ命題の 1 により、互いに交わらない有限個の $E_i$ で $X$ を分けたとき
$$ \sum_i|(\nu_1+\nu_2)(E_i)|\le\sum_i|\nu_1(E_i)|+\sum_i|\nu_2(E_i)|\le\|\nu_1\|+\|\nu_2\| $$
なので、分割について上限をとって $\|\nu_1+\nu_2\|\le\|\nu_1\|+\|\nu_2\|$ を得る。$\|c\nu\|=|c|\,\|\nu\|$ も同じ式からわかる。$\|\nu\|=0$ なら、同じ命題の 2 によりすべての $E$ で $\nu(E)=0$ である。
2：$(\nu_j)$ を Cauchy 列とする。prop-sm-variation の 2 から、すべての $E$ について
$$ |\nu_j(E)-\nu_k(E)|\le|\nu_j-\nu_k|(E)\le\|\nu_j-\nu_k\| $$
なので、$\nu_j(E)$ は $E$ について一様に Cauchy 列であり、極限 $\nu(E):=\lim_j\nu_j(E)$ が定まる。$\varepsilon>0$ に対し、$j,k\ge m$ で $\|\nu_j-\nu_k\|\le\varepsilon$ となる $m$ をとると、$k\to\infty$ として、$j\ge m$ ですべての $E$ について $|\nu_j(E)-\nu(E)|\le\varepsilon$ である。
$\nu$ が可算加法的であることを示す。$\nu(\emptyset)=0$ と有限加法性は、$\nu_j$ の同じ性質の極限から従う。互いに交わらない $E_1,E_2,\ldots$ について $E:=\bigcup_nE_n$、$R_n:=\bigcup_{k>n}E_k$ とおくと、有限加法性から $\nu(E)-\sum_{k\le n}\nu(E_k)=\nu(R_n)$ であり、
$$ |\nu(R_n)|\le|\nu(R_n)-\nu_m(R_n)|+|\nu_m(R_n)|\le\varepsilon+|\nu_m(R_n)| $$
である。$R_n$ は減少して $\bigcap_nR_n=\emptyset$ なので、lem-sm-basic の 5 により $\nu_m(R_n)\to0$ であり、$\limsup_n|\nu(R_n)|\le\varepsilon$ となる。$\varepsilon$ は任意なので $\sum_n\nu(E_n)=\nu(E)$ である。よって $\nu\in\mathcal{M}(X,\mathcal{S})$ である。
最後に、$X$ を互いに交わらない有限個の $E_1,\ldots,E_r$ に分けると、$j\ge m$ について
$$ \sum_{i=1}^r|\nu_j(E_i)-\nu(E_i)|=\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^r|(\nu_j-\nu_k)(E_i)|\le\sup_{k\ge m}\|\nu_j-\nu_k\|\le\varepsilon $$
であり、分割について上限をとって $\|\nu_j-\nu\|\le\varepsilon$ を得る。$\square$