絶対値を含む関数のグラフ

$y=\lvert x-1\rvert+\lvert x-3\rvert$ のグラフをかく。絶対値の中身 $x-1$、$x-3$ の符号が変わるのは $x=1$、$x=3$ なので、数直線を 3 つに分ける。
(1) $x<1$ のとき。$x-1<0$、$x-3<0$ なので
$$ y=-(x-1)-(x-3)=-2x+4 $$
である。
(2) $1\le x\le3$ のとき。$x-1\ge0$、$x-3\le0$ なので
$$ y=(x-1)-(x-3)=2 $$
である。$x$ によらず一定である。
(3) $x>3$ のとき。$x-1>0$、$x-3>0$ なので
$$ y=(x-1)+(x-3)=2x-4 $$
である。
3 つの直線の部分をつなぐと、図 1 の折れ線になる。$x=1$ では (1) の式で $-2+4=2$、(2) の式で $2$ と値がそろい、$x=3$ でも (2) の式で $2$、(3) の式で $6-4=2$ とそろうので、グラフは切れずにつながっている。傾きは左から $-2$、$0$、$2$ と、$x=1$ と $x=3$ で $2$ ずつ増える。

$y=\lvert x^2-4\rvert$ のグラフをかく。$x^2-4=(x+2)(x-2)$ は、$x\le-2$ と $x\ge2$ で $0$ 以上、$-2< x<2$ で負である。したがって
$$ y=\begin{cases}x^2-4&(x\le-2,\ x\ge2)\\-(x^2-4)=4-x^2&(-2< x<2)\end{cases} $$
である。$-2< x<2$ の部分は、放物線 $y=x^2-4$ の $x$ 軸より下の部分を、$x$ 軸に関して上に折り返した形 $y=4-x^2$ になる。たとえば $x=0$ では $y=\lvert-4\rvert=4$、$x=1$ では $y=\lvert-3\rvert=3$、$x=3$ では $y=\lvert5\rvert=5$ である。

$f(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ とする。$y=f(x)$ は頂点 $(1,-4)$ の放物線で、$x$ 軸と $x=-1$、$x=3$ で交わる。
(1) $y=\lvert f(x)\rvert$。$f(x)<0$ となるのは $-1< x<3$ なので、この部分を $x$ 軸で折り返す。
$$ y=\begin{cases}x^2-2x-3&(x\le-1,\ x\ge3)\\-x^2+2x+3&(-1< x<3)\end{cases} $$
である。折り返した部分の頂点は $(1,4)$ で、たとえば $x=0$ では $y=\lvert-3\rvert=3$ である（図 2）。
(2) $y=f(\lvert x\rvert)=\lvert x\rvert^2-2\lvert x\rvert-3=x^2-2\lvert x\rvert-3$。$x\ge0$ では $y=x^2-2x-3$ そのもので、頂点 $(1,-4)$、$x$ 軸との共有点 $(3,0)$ をもつ。$x<0$ では、それを $y$ 軸で折り返した $y=x^2+2x-3$ で、頂点 $(-1,-4)$、$x$ 軸との共有点 $(-3,0)$ をもつ。$x=0$ では $y=-3$ である（図 3）。もとの放物線の $x<0$ の部分（$x$ 軸との共有点 $(-1,0)$ を含む）は使われない。
同じ $x=-2$ で比べると、$\lvert f(-2)\rvert=\lvert5\rvert=5$、$f(\lvert-2\rvert)=f(2)=-3$ で、値が違う。

$y=\bigl\lvert\lvert x\rvert-1\bigr\rvert$ のグラフをかく。
段 1。$g(x)=\lvert x\rvert-1$ とする。これは $f(x)=x-1$ に対する $f(\lvert x\rvert)$ なので、thm-abg-fold (2) により、直線 $y=x-1$ の $x\ge0$ の部分（点 $(0,-1)$ から右上へのびる半直線）と、それを $y$ 軸で折り返した部分からなる V 字形である。頂点は $(0,-1)$ で、$x$ 軸とは $x=\pm1$ で交わる。
段 2。$y=\lvert g(x)\rvert$ は、thm-abg-fold (1) により、段 1 の V 字形の $x$ 軸より下の部分（$-1< x<1$）を上へ折り返したものである。折り返した部分は頂点 $(0,1)$ の逆 V 字になり、全体は W 字形になる。
値を確かめると、$x=-2,-1,-\dfrac12,0,\dfrac12,1,2$ で $y=1,0,\dfrac12,1,\dfrac12,0,1$ である。
先に (1) を使っても同じ W 字形になる。

$\lvert y\rvert=4-x^2$ の表す図形は、放物線 $y=4-x^2$ の $x$ 軸より上の部分と、それを $x$ 軸で下へ写した部分を合わせた、レンズのような閉じた曲線である。$\lvert y\rvert\ge0$ なので、$4-x^2\ge0$、つまり $-2\le x\le2$ でしか点がない。この範囲で $y=4-x^2$ または $y=-(4-x^2)$ である。図形は、放物線 $y=4-x^2$ の $x$ 軸より上の部分（$-2\le x\le2$）と、それを $x$ 軸で下へ写した部分 $y=x^2-4$（$-2\le x\le2$）を合わせた曲線になる。$x=0$ では $y=\pm4$ の 2 点がある。

1. 定数 $p$ に対し $y=\lvert x-p\rvert$ は、$I_0=(-\infty,p]$ で $-x+p$、$I_1=[p,\infty)$ で $x-p$ なので、$k=1$、$p_1=p$ の折れ線の関数である。傾きは $m_0=-1$、$m_1=1$ で、$p$ での傾きの増え方は $1-(-1)=2$ である。
2. ex-abg-start-sum の $y=\lvert x-1\rvert+\lvert x-3\rvert$ は、$p_1=1$、$p_2=3$、傾き $-2,0,2$ の折れ線の関数である。
3. ガウス記号 $y=[x]$（$x$ を超えない最大の整数）は、区間 $[0,1)$ で $0$、$[1,2)$ で $1$ で、$x=1$ で値が跳ぶ。グラフが切れているので、折れ線の関数ではない（区切り方によらないことは ex-abg-cx-jump で確かめる）。

$g(x)=\lvert x+1\rvert+2\lvert x-2\rvert$ では、$p_1=-1$、$p_2=2$、$c_1=1$、$c_2=2$、$\beta=0$ である。lem-abg-slope により傾きは
$$ m_0=0-(1+2)=-3,\qquad m_1=0+1-2=-1,\qquad m_2=0+(1+2)=3 $$
である。傾きの増え方は $x=-1$ で $2=2c_1$、$x=2$ で $4=2c_2$ である。

$x\le0$ で $f(x)=-x$、$0\le x\le1$ で $f(x)=2x$、$x\ge1$ で $f(x)=2$ とする。$x=0$ では $-0=2\cdot0=0$、$x=1$ では $2\cdot1=2$ と値がそろうので、$p_1=0$、$p_2=1$、傾き $m_0=-1$、$m_1=2$、$m_2=0$ の折れ線の関数である。thm-abg-sum の数を計算すると
$$ c_1=\frac{2-(-1)}2=\frac32,\qquad c_2=\frac{0-2}2=-1,\qquad\beta=\frac{-1+0}2=-\frac12,\qquad\alpha=f(0)-\Bigl(\frac32\cdot0+(-1)\cdot1\Bigr)=0+1=1 $$
なので
$$ \boxed{f(x)=1-\frac12x+\frac32\lvert x\rvert-\lvert x-1\rvert} $$
である。$x=-1$ で右辺は $1+\dfrac12+\dfrac32-2=1=f(-1)$、$x=\dfrac12$ で $1-\dfrac14+\dfrac34-\dfrac12=1=f\bigl(\tfrac12\bigr)$、$x=2$ で $1-1+3-1=2=f(2)$ となり、たしかに一致する（図 4）。

$x\le0$ で $0$、$0\le x\le1$ で $x$、$x\ge1$ で $1$ をとる関数 $r(x)$ を考える（$0$ から $1$ へ一定の傾きで上る坂）。$p_1=0$、$p_2=1$、傾きは $0,1,0$ で、thm-abg-sum から
$$ r(x)=\frac{1+\lvert x\rvert-\lvert x-1\rvert}2 $$
となる。

$\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert=5$ を解く。
(1) 場合分けで解く。$x\le-2$ では $\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert=-(x-1)-(x+2)=-2x-1$ で、$-2x-1=5$ から $x=-3$ である。これは $x\le-2$ を満たす。$-2\le x\le1$ では $(1-x)+(x+2)=3$ で、$3=5$ は成り立たないので解はない。$x\ge1$ では $(x-1)+(x+2)=2x+1$ で、$2x+1=5$ から $x=2$ である。これは $x\ge1$ を満たす。よって解は
$$ x=-3,\quad x=2 $$
である。
(2) グラフで見る。$y=\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert$ は、lem-abg-slope により $x=-2$、$x=1$ で折れ、傾きが $-2$、$0$、$2$ の折れ線である。$-2\le x\le1$ で高さ $3$ の平らな底をもつ。直線 $y=5$ は、底より上の高さで左右の斜めの部分と 1 回ずつ交わる（図 5）。交点の $x$ 座標が (1) の解 $-3$ と $2$ である。
同じグラフから、不等式 $\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert<5$ の解は、グラフが直線 $y=5$ より下にある範囲 $-3< x<2$ だと読める。

$\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert=k$ の実数解の個数を、$k$ の値で分類する。ex-abg-equation (2) のグラフと直線 $y=k$ の共有点を数えればよい。

$k>3$ のとき、左の部分 $y=-2x-1$（$x\le-2$）と右の部分 $y=2x+1$（$x\ge1$）はそれぞれ $3$ 以上のすべての値を 1 回ずつとるので、解はちょうど $2$ 個で、$-2x-1=k$ と $2x+1=k$ を解いて $x=-\dfrac{k+1}2$ と $x=\dfrac{k-1}2$ である。$k=5$ で $-3$ と $2$ になる。

ex-abg-compare の $f(x)=x^2-2x-3$ で、$x=-2$ での値は $\lvert f(-2)\rvert=5$、$f(\lvert-2\rvert)=-3$ だった。$x=0$ では $\lvert f(0)\rvert=3$、$f(\lvert0\rvert)=-3$ である。$y=\lvert f(x)\rvert$ のグラフは $x$ 軸より下に出ないが、$y=f(\lvert x\rvert)$ のグラフは $-3< x<3$ で $x$ 軸より下にある。図 2 と図 3 は別のグラフである。

ガウス記号 $[x]$ は $\alpha+\beta x+\sum_{i=1}^kc_i\lvert x-p_i\rvert$ の形に書けない。この形の関数 $g$ は、$x$ を $1$ に近づけると $g(x)$ が $g(1)$ に近づくが、$[x]$ は $x$ を左から $1$ に近づけても値が $0$ のままで、$[1]=1$ に近づかないからである。thm-abg-sum により、折れ線の関数はどれもこの形に書けるので、$[x]$ は（どう区切っても）折れ線の関数ではない。

$\lvert x^2-4\rvert$ は $\alpha+\beta x+\sum_{i=1}^kc_i\lvert x-p_i\rvert$ の形に書けない。この形の関数は、lem-abg-slope により右端の区間 $[p_k,\infty)$ で 1 次式だが、$\lvert x^2-4\rvert$ は $x\ge2$ で $x^2-4$ で、どこまで右へ行っても 1 次式にならないからである。thm-abg-fold でグラフはかけるが、thm-abg-sum は使えない関数である。

$x$ から最も近い整数までの距離を $d(x)$ とする。$d(0)=0$、$d\bigl(\tfrac14\bigr)=\tfrac14$、$d\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12$、$d\bigl(\tfrac34\bigr)=\tfrac14$、$d(1)=0$ で、グラフは傾き $1$ と $-1$ の線分が交互に続く三角波である。どの有限の範囲に限っても折れ線だが、折れる点は $\ldots,-\dfrac12,0,\dfrac12,1,\dfrac32,\ldots$ と無限にある。
$d$ は有限個の $\lvert x-p_i\rvert$ と 1 次式の和では書けない。書けたとすると、ex-abg-cx-square と同じく右端の区間 $[p_k,\infty)$ で 1 次式になるが、$d$ はどこまで右へ行っても折れ続けるからである。