Kaplanskyの稠密性定理

強作用素位相は半ノルム $p_x(T)=\|Tx\|$ の族が定める局所凸位相なので、$\varphi$ の原点での連続性から、$x_1,\dots,x_m\in H$ と $\delta>0$ があって、$\max_k\|Tx_k\|< \delta$ なら $|\varphi(T)|< 1$ である。$t>0$ について $tT$ に当てると、$\max_k\|Tx_k\|=0$ なら $|\varphi(T)|< 1/t$ がすべての $t$ で成り立つので $\varphi(T)=0$ であり、そうでなければ $T$ を $\delta T/(2\max_k\|Tx_k\|)$ に替えて

$\displaystyle |\varphi(T)|\le\frac{2}{\delta}\max_k\|Tx_k\|\le\frac2\delta\Bigl(\sum_{k=1}^m\|Tx_k\|^2\Bigr)^{1/2}$

を得る。$H^m$ を内積 $\langle(\xi_k),(\eta_k)\rangle:=\sum_k\langle\xi_k,\eta_k\rangle$ の Hilbert 空間とし、$L:=\{(Tx_1,\dots,Tx_m)\mid T\in B(H)\}$ とおく。上の評価から、$(Tx_k)_k\mapsto\varphi(T)$ は $L$ 上の矛盾なく定まる有界線形汎関数で（$Tx_k=T'x_k$ がすべての $k$ で成り立てば $\varphi(T-T')=0$）、$L$ の閉包へ連続に延び、閉包の直交補空間の上で $0$ とおけば $H^m$ 上の有界線形汎関数 $\psi$ になる。Riesz表現定理 により $\psi(\xi)=\langle\xi,(y_k)\rangle$ となる $(y_k)\in H^m$ があり、$\varphi(T)=\psi((Tx_k)_k)=\sum_k\langle Tx_k,y_k\rangle$ である。右辺の各項は弱作用素位相について連続である。$\square$

弱作用素位相は強作用素位相より粗いので $\overline K^{s}\subset\overline K^{w}$ である。逆に $T_0\notin\overline K^{s}$ とする。強作用素位相の基本近傍 $\{T\mid\|(T-T_0)x_k\|< \varepsilon\ (k=1,\dots,m)\}$ は凸なので、$\overline K^{s}$ と交わらない $T_0$ の凸な開近傍 $U$ がある。$B(H)$ を強作用素位相をもつ実位相ベクトル空間とみて、Hahn–Banachの定理 の定理「Hahn–Banachの定理（第一幾何形）」を開凸集合 $U$ と凸集合 $K$ に当てると、強作用素位相で連続な実線形汎関数 $u$ と $\alpha\in\mathbb R$ があって、$T\in U$ なら $u(T)< \alpha$、$T\in K$ なら $u(T)\ge\alpha$ である。同じ記事の補題「実部と複素線形汎関数」により $\varphi(T):=u(T)-iu(iT)$ は強作用素位相で連続な複素線形汎関数で $u=\operatorname{Re}\varphi$ であり、lem-kd-functionals により $\varphi$、したがって $u$ は弱作用素位相でも連続である。よって $\{T\mid u(T)< \alpha\}$ は $K$ と交わらない $T_0$ の弱作用素位相での開近傍であり、$T_0\notin\overline K^{w}$ である。$\square$

段 0（ノルム閉包への帰着）。 $C$ を $A$ のノルムでの閉包とする。$C$ はノルムで閉じた $*$-部分代数で、$\overline A^{s}$ はノルムで閉じているので（lem-kd-closure）$A\subset C\subset\overline A^{s}$、したがって $\overline C^{s}=\overline A^{s}$ である。$T\in(C)_1$ をノルムで $T_n\to T$（$T_n\in A$）と近似し、$T_n':=T_n/\max\{1,\|T_n\|\}$ とおくと $T_n'\in(A)_1$ で、$\|T_n\|\le1+\|T_n-T\|$ から $\|T_n'-T\|\le\|T_n'-T_n\|+\|T_n-T\|\le2\|T_n-T\|\to0$ である。$T$ が自己共役なら $T_n$ を $\frac12(T_n+T_n^*)$ に替えておけばよい。よって $(A)_1$、$(A_{\mathrm{sa}})_1$ はそれぞれ $(C)_1$、$(C_{\mathrm{sa}})_1$ でノルム稠密、とくに強稠密であり、$C$ について 1・2 が示せれば $A$ についても 1・2 が成り立つ。3 は、段 3 の議論を $A$ についての 1 に直接当てて得る（段 3 で使うのは 1 と、$\overline A^{s}$ がノルムで閉じた $*$-部分代数であることだけである）。以下 $A$ はノルムで閉じているとする。このとき、自己共役な $S\in A$ と、$\sigma(S)\cup\{0\}$ 上の連続関数 $h$ で $h(0)=0$ を満たすものについて $h(S)\in A$ である。実際、$\sigma(S)\cup\{0\}$ の上で $h$ に一様収束する多項式 $p_n$ をとり（Weierstrassの近似定理）、$p_n-p_n(0)$ に替えると、定数項のない多項式 $p_n(S)\in A$ が $h(S)$ にノルム収束する（連続汎関数計算 の定理「連続汎関数計算」の 2）。同じ理由で、自己共役な $S\in\overline A^{s}$ について $h(S)\in\overline A^{s}$ である。

段 1（自己共役の場合）。 $B\in(\overline A^{s})_{\mathrm{sa}}$、$\|B\|\le1$ とする。自己共役なので $\sigma(B)\subset\mathbb R$ であり（連続汎関数計算 の系「スペクトルによる元の判定」）、$|\lambda|\le\|B\|$ と合わせて $\sigma(B)\subset[-1,1]$ なので $C_0:=g(B)$ が定まり、段 0 により $C_0\in(\overline A^{s})_{\mathrm{sa}}$ であり、合成則（連続汎関数計算 の命題「連続汎関数計算の基本性質」の 3）により $f(C_0)=(f\circ g)(B)=B$ である。lem-kd-closure により $C_0\in\overline A^{w}$ なので、$A$ の有向点族 $A_i$ で $C_0$ に弱作用素位相で収束するものがあり、随伴の弱連続性から $\frac12(A_i+A_i^*)\to\frac12(C_0+C_0^*)=C_0$ も弱作用素位相で成り立つ。よって $C_0$ は凸集合 $A_{\mathrm{sa}}$ の弱作用素位相での閉包に入り、lem-kd-convex により強作用素位相での閉包に入る。$S_j\in A_{\mathrm{sa}}$、$S_j\to C_0$（強作用素位相）とすると、lem-kd-cayley-type により $f(S_j)\to f(C_0)=B$ である。段 0 により $f(S_j)\in A$ であり、$f(S_j)$ は自己共役で $\|f(S_j)\|\le1$ なので、$B$ は $(A_{\mathrm{sa}})_1$ の強作用素位相での閉包に入る。これが 1 である。

段 2（一般の場合）。 $T\in(\overline A^{s})_1$ とする。$H\oplus H$ 上の有界作用素を $2\times2$ の作用素行列で表し、$A$ の元を成分とする行列の全体 $M_2(A)$ を考える。$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}a^*&c^*\\b^*&d^*\end{pmatrix}$ なので $M_2(A)$ は $B(H\oplus H)$ の $*$-部分代数である。作用素行列の有向点族が強作用素位相で収束することは、4 つの成分がそれぞれ強作用素位相で収束することと同値である。とくに、1 つの成分だけが $\overline A^{s}$ の元で残りが $0$ の行列は $M_2(A)$ の強閉包に入り、強閉包は部分空間なので、成分がすべて $\overline A^{s}$ に入る行列も強閉包に入る。lem-kd-closure により $T^*\in\overline A^{s}$ なので

$\displaystyle X:=\begin{pmatrix}0&T\\T^*&0\end{pmatrix}$

は $M_2(A)$ の強閉包の自己共役な元で、$\|X(x,y)\|^2=\|Ty\|^2+\|T^*x\|^2\le\|T\|^2(\|x\|^2+\|y\|^2)$ から $\|X\|\le1$ である。段 0・段 1 で任意の $*$-部分代数について示した 1 を $M_2(A)$ に当てると、$\|Y_i\|\le1$ の自己共役な $Y_i\in M_2(A)$ で $Y_i\to X$（強作用素位相）となるものがある。$Y_i$ の $(1,2)$ 成分を $b_i\in A$ とすると、$b_iy$ は $Y_i(0,y)$ の第 1 成分なので $\|b_i\|\le\|Y_i\|\le1$ であり、$b_iy\to Ty$ である。これが 2 である。

段 3（正の場合）。 $B\in(\overline A^{s})_+$、$\|B\|\le1$ とする。$\sigma(B)\subset[0,1]$ なので平方根 $B^{1/2}$ が定まり（連続汎関数計算 の命題「正の元の平方根と正部分・負部分」）、$\sqrt0=0$ なので段 0 により $B^{1/2}\in(\overline A^{s})_{\mathrm{sa}}$、$\|B^{1/2}\|\le1$ である。1 により $S_j\in(A_{\mathrm{sa}})_1$、$S_j\to B^{1/2}$ がとれ、lem-kd-product により $S_j^2\to B$ である。$S_j^2\in A$ は自己共役で、スペクトル写像定理から $\sigma(S_j^2)=\{t^2\mid t\in\sigma(S_j)\}\subset[0,1]$ なので $S_j^2\in(A_+)_1$ である。これが 3 である。$\square$