Noether正規化定理

$F$ に現れるどの変数の指数よりも大きい整数 $D\ge2$ をとり、$w_i:=D^i$（$1\le i\le n-1$）とする。$F$ の項 $cX^e=cX_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}$ を代入すると
$$ c\,(Y_1+X_n^{D})^{e_1}\cdots(Y_{n-1}+X_n^{D^{n-1}})^{e_{n-1}}X_n^{e_n} =c\,X_n^{\,\omega(e)}+(X_n\text{ について次数}< \omega(e)\text{ の項}) $$
となる。ここで $\omega(e):=e_n+e_1D+e_2D^2+\cdots+e_{n-1}D^{n-1}$ である。$0\le e_i< D$ なので、$\omega(e)$ は $(e_n,e_1,\dots,e_{n-1})$ を各桁とする $D$ 進表示であり、相異なる $e$ に対して相異なる。$F$ の項のうち $\omega(e)$ が最大のものはただ一つであり、その係数を $c$、$N:=\omega(e)$ とすると、$X_n^N$ の係数は $c$ だけで、他の項は $X_n$ について $N$ 次未満である。$\square$

1． $A=k[a_1,\dots,a_n]$ の生成元の個数 $n$ に関する帰納法で、$d\le n$ の Noether 正規化を作る。$a_1,\dots,a_n$ が $k$ 上代数的に独立なら、$z_i=a_i$（$d=n$）とすればよい。$n=0$ のときは $A=k$ で、空の族（$d=0$）をとる。
$a_1,\dots,a_n$（$n\ge1$）が代数的に独立でないとすると、$0$ でない $F\in k[X_1,\dots,X_n]$ で $F(a_1,\dots,a_n)=0$ となるものがある。lem-nn-weighted の $w_i$ をとり、$b_i:=a_i-a_n^{w_i}$（$1\le i\le n-1$）、$B:=k[b_1,\dots,b_{n-1}]\subset A$ とおく。$G$ を補題の多項式とすると
$$ G(b_1,\dots,b_{n-1},a_n)=F(a_1,\dots,a_n)=0 $$
であり、$G=cX_n^N+(\text{低次})$、$c\in k^\times$ を $c$ で割ると、$a_n$ は係数が $B$ に属するモニック多項式の根になる。$N=0$ なら $G=c$ となって $A$ の中で $c=0$ となり、$A\neq0$ に反するので $N\ge1$ である。よって $a_n$ は $B$ 上整である。$a_i=b_i+a_n^{w_i}$ なので $A=B[a_n]$ であり、整拡大 の系「有限生成と有限性」の 1 により $A$ は $B$ 上有限である。$B$ は $n-1$ 個の元で生成され、$1\neq0$ を含むので $0$ でない。帰納法の仮定から、$B$ は $d\le n-1$ 個の代数的に独立な元 $z_1,\dots,z_d$ による Noether 正規化をもつ。$B$ は $k[z_1,\dots,z_d]$ 上有限、$A$ は $B$ 上有限なので、整拡大 の補題「有限性の推移性」により $A$ は $k[z_1,\dots,z_d]$ 上有限である。
2． $k[z_1,\dots,z_d]\subset A$ は有限、したがって整な拡大である（整拡大 の系「有限生成と有限性」の 2）。整拡大 の系「整拡大と Krull 次元」により $\dim A=\dim k[z_1,\dots,z_d]$ であり、$k[z_1,\dots,z_d]$ は $d$ 変数の多項式環なので、Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 1 により次元は $d$ である。
3． $L:=\operatorname{Frac}(A)$、$K:=k(z_1,\dots,z_d)\subset L$ とする。$A$ の各元は $k[z_1,\dots,z_d]$ 上整なので $K$ 上代数的であり、$K$ 上代数的な元の全体は $L$ の部分体をなすから、それは $A$ を含む最小の体 $L$ 全体である。よって $L/K$ は代数拡大であり、$z_1,\dots,z_d$ は $L$ の $k$ 上の超越基底である。超越次数 の定理「超越基底の濃度の一意性」により $\operatorname{trdeg}_kL=d$ である。$\square$

要点：prf-nn-main で $b_i:=a_i-\lambda_ia_n$（$\lambda_i\in k$）とずらす。$F$ の最高次の斉次部分 $F_D$ について $F_D(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},1)\neq0$ となる $\lambda$ を選べば、関係式は $a_n$ についてモニックにでき、$b_i$ は $a$ の一次式なので、帰納法で得る $z_j$ も一次式になる。

1 は 整拡大 の定理「lying over と going up」の 1 である。2：$\mathfrak{q}\cap P=\mathfrak{m}$ なら、$A/\mathfrak{q}$ は体 $P/\mathfrak{m}$ 上整な整域なので、整拡大 の命題「体であることの判定」により体であり、$\mathfrak{q}$ は極大である。$A$ は $P$ 上有限なので $A/\mathfrak{m}A$ は体 $P/\mathfrak{m}$ 上有限次元であり、その次元を $r$ とする。$\mathfrak{m}$ の上にある相異なる極大イデアル $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_s$ はどれも $\mathfrak{m}A$ を含み、中国剰余定理により $A/\mathfrak{m}A\to\prod_iA/\mathfrak{q}_i$ は全射なので、$s\le r$ である。$\square$

$K$ の Noether 正規化 $z_1,\dots,z_d$ をとる。$K$ は $P=k[z_1,\dots,z_d]$ 上整な体なので、整拡大 の命題「体であることの判定」により $P$ は体である。$d\ge1$ なら $z_1$ は $P$ で可逆でない（$z_1Q(z)=1$ の両辺の $z_1$ についての次数が合わない）ので、$d=0$ である。よって $K$ は $k$ 上有限次元である。$\square$