Noether正規化定理

$F$ の全次数を $D$、$D$ 次の部分を $F_D\neq0$ とする。$F(Y_1+\lambda_1X_n,\dots,Y_{n-1}+\lambda_{n-1}X_n,X_n)$ の $X_n^D$ の係数は $F_D(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},1)$ であり、$X_n$ の次数は $D$ 以下である。$F_D$ は斉次なので $F_D(X)=X_n^DF_D(X_1/X_n,\dots,X_{n-1}/X_n,1)$ が $k(X)$ で成り立ち、$h(\Lambda):=F_D(\Lambda_1,\dots,\Lambda_{n-1},1)$ は $0$ でない多項式である。多項式環 の定理「無限体上の多項式の非零点」により $h(\lambda)\neq0$ となる $\lambda\in k^{n-1}$ がある。$h(\lambda)$ で割れば $a_n$ は $B=k[b_1,\dots,b_{n-1}]$ 上のモニック多項式の根であり、以下は prf-nn-main と同じである。$b_i$ は $a_1,\dots,a_n$ の一次結合で、$B$ に帰納法を当てると $z_j$ は $b_1,\dots,b_{n-1}$ の一次結合、したがって $a_1,\dots,a_n$ の一次結合である（$n=1$ で $a_1$ が代数的なときは $d=0$ で、一次式の条件は空である）。

座標と有限性（1）：$0$ でない $f\in\mathfrak p$ の全次数を $m$、$m$ 次の斉次部分を $f_m$ とする。多項式環 の定理「無限体上の多項式の非零点」により $f_m(v)\ne0$ となる $v\in\mathbb{C}^n$ がある。$v$ を最後の基底ベクトルとする一次の座標をとって $f_m(v)$ で割ると、$f$ は $z_n$ について $m$ 次のモニックな多項式で、$z_n^{m-k}$ の係数は $z_1,\dots,z_{n-1}$ の全次数 $k$ 以下の多項式になる。$\mathfrak p\cap\mathbb{C}[z_1,\dots,z_{n-1}]$ は素イデアルで、$0$ でなければ $z_1,\dots,z_{n-1}$ だけの一次変換で同じことを繰り返す。この変換は先に得た関係式の形（モニックで、係数の全次数の上限）を保つ。$\mathfrak p\cap\mathbb{C}[z_1,\dots,z_\nu]=0$ となった所で止めると、$\mathfrak p\ne0$ なので $\nu< n$ であり、$\nu< j\le n$ の各 $j$ について、$z_j$ について $m_j$ 次のモニックで $z_j^{m_j-k}$ の係数が $z_1,\dots,z_{j-1}$ の全次数 $k$ 以下の多項式である $P_j\in\mathfrak p$ が得られる。$\mathfrak p\cap S=0$ なので $S\to B$ は単射で、整拡大 の系「有限生成と有限性」と補題「有限性の推移性」により $B$ は $S$ 上有限である。増大度（6）：$V(\mathfrak p)$ の点で $t=z_j$、$w=(z_1,\dots,z_{j-1})$ とすると $t^{m}+\sum_{k=1}^{m}a_k(w)t^{m-k}=0$、$|a_k(w)|\le A(1+|w|)^k$ である（$m=m_j$）。$r=|t|/(1+|w|)\ge1$ なら $r^m\le mA\,r^{m-1}$ なので $r\le\max(1,mA)$ であり、$j$ についての帰納法で 6 を得る。6 と 1 は、あとで $z_{\nu+1},\dots,z_n$ だけを一次変換しても保たれる。原始元（2 の前半）：$L:=\operatorname{Frac}B$ とする。$S\setminus\{0\}$ で $B$ を局所化した環は $K$ 上有限次元の整域なので体であり、$L$ に等しい。よって $\mu$ は有限で、標数 $0$ なので $L/K$ は分離拡大であり、原始元定理により $L=K(\eta)$ と書ける。$\eta$ の最小多項式は $\mu$ 次で根が相異なるので、根の行き先に応じて、$L$ から $K$ の代数閉包への $K$ 上の埋め込み $\sigma_1,\dots,\sigma_\mu$ がちょうど $\mu$ 個ある。$L=K(\bar z_{\nu+1},\dots,\bar z_n)$ なので、$k\ne l$ なら $\sigma_k(\bar z_j)\ne\sigma_l(\bar z_j)$ となる $j$ があり、$c\in\mathbb{C}^{n-\nu}$ で $\sum_jc_j(\sigma_k-\sigma_l)(\bar z_j)=0$ となるものの全体は真の部分空間で、ある $0$ でない一次形式 $\ell_{kl}$ の零点に含まれる。$\prod_{k\ne l}\ell_{kl}$ は $0$ でない多項式なので、同じ定理によりどの $\ell_{kl}$ も消えない $c\ne0$ がある。$\sum_jc_j\bar z_j$ の $\mu$ 個の像 $\sigma_k(\cdot)$ は相異なるので、その最小多項式は $\mu$ 次で、これは $L$ の原始元である。$\sum_jc_jz_j$ を新しい $z_{\nu+1}$ とする $z_{\nu+1},\dots,z_n$ の一次変換をとる。係数（2 の後半）：$\theta$ は $S$ 上整なので、あるモニックな $g\in S[t]$ で $g(\theta)=0$ であり、$Q$ は $K[t]$ で $g$ を割る。よって $Q$ の根 $\lambda_k=\sigma_k(\theta)$ は $S$ 上整で、$Q$ の係数はその基本対称式なので $S$ 上整である（整拡大 の命題「整な元の和と積」）。$S$ は一意分解整域で整閉なので（整拡大 の例「一意分解整域は整閉」）、$Q\in S[t]$ である。$B\subset L$ で $Q(\theta)=0$ なので $Q(z',z_{\nu+1})\in\mathfrak p$ である。$\Delta=\prod_{k< l}(\lambda_k-\lambda_l)^2$ は 判別式 の定理「判別式は係数の多項式である」により $S$ に属し、根が相異なるので $0$ でない。分母の除去（3）：$\bar z_j=\sum_{l=0}^{\mu-1}a_l\theta^l$（$a_l\in K$）と書き、$\sigma_k$ を当てると $\sigma_k(\bar z_j)=\sum_la_l\lambda_k^l$ である。係数行列 $Y=(\lambda_k^l)$ の行列式 $D$ は $D^2=\Delta$ を満たす（Vandermonde行列式）。Cramerの公式により $Da_l$ は $\lambda_k$ と $\sigma_k(\bar z_j)$ の整数係数の多項式で、これらは $S$ 上整なので $Da_l$ も整であり、$\Delta a_l=D\cdot Da_l$ は $K$ に属する $S$ 上整な元なので $S$ に属する。$h_j:=\sum_l\Delta a_lt^l$ とおけば $\Delta\bar z_j=h_j(\theta)$ である。局所化（4）：3 により $B[1/\Delta]=S[1/\Delta][\theta]$ で、$t\mapsto\theta$ は全射である。核の元をモニックな $Q$ で割った余りは $\mu$ 次未満で $\theta$ を根にもつので、最小性から $0$ であり、核は $(Q)$ である。点の数え上げ（5）：$z\in V(\mathfrak p)$、$\Delta(z')\ne0$ なら、2 と 3 により $z_{\nu+1}$ は $Q(z',t)$ の根で、$z_j=h_j(z',z_{\nu+1})/\Delta(z')$ である。逆に $q\in\mathfrak p$ に対し、$q$ の $z_{\nu+1}$ に $t$、$z_j$（$j\ge\nu+2$）に $h_j(z',t)/\Delta$ を代入して $\Delta$ の冪で分母を払った多項式 $R_q\in S[t]$ は $\theta$ を根にもつので、4 により $R_q=QH$（$H\in S[1/\Delta][t]$）と書ける。$\Delta(b)\ne0$、$Q(b,\lambda)=0$ で値をとれば、上の点で $q=0$ である。判別式は係数の多項式なので $\Delta(b)$ は $Q(b,t)$ の判別式であり、$0$ でないので根は $\mu$ 個で相異なる。$\square$