Kronecker積

同義語：クロネッカー積行列のテンソル積Kronecker product

概要

前提知識: 行列, テンソル積, 固有値

2 次の行列 $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ の各成分 $a_{ij}$ を、別の行列 $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ のスカラー倍 $a_{ij}B$ に置き換えると、4 次の行列
$$ A\otimes B=\begin{pmatrix}1\cdot B&2\cdot B\\0\cdot B&3\cdot B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&-1&2&-2\\0&0&3&3\\0&0&3&-3\end{pmatrix} $$
ができる。これを $A$ と $B$ の Kronecker 積 という。Kronecker 積は、2 つの線形写像のテンソル積を基底で書いた行列であり、積・転置・逆行列と自然に両立する。とくに $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$ が成り立つので、固有多項式が 1 次式の積に分解するとき（たとえば複素数の行列なら）、$A\otimes B$ の固有値は $A$ の固有値と $B$ の固有値の積になる。この記事では、基本的な計算規則、テンソル積との関係、行列方程式を 1 本の連立 1 次方程式に直す $\operatorname{vec}$ の公式、固有値・行列式・階数の公式、半正定値性の保存を証明する。

定義

以下、$R$ は単位元をもつ可換環とし、$M_{m,n}(R)$ を $R$ の元を成分とする $m\times n$ 行列の全体、$M_n(R):=M_{n,n}(R)$ とする。

Kronecker積

$A=(a_{ij})\in M_{m,n}(R)$ と $B=(b_{kl})\in M_{p,q}(R)$ に対し、$(i,j)$ ブロックが $a_{ij}B$ である $mp\times nq$ 行列
$$ A\otimes B:=\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}B&\cdots&a_{mn}B\end{pmatrix}\in M_{mp,nq}(R) $$
を $A$ と $B$ の Kronecker 積（Kronecker product）という。

成分で書くと、$A\otimes B$ の行を組 $(i,k)$（$1\le i\le m$、$1\le k\le p$）で、列を組 $(j,l)$（$1\le j\le n$、$1\le l\le q$）で番号付けたとき、
$$ (A\otimes B)_{(i,k),(j,l)}=a_{ij}\,b_{kl} $$
であり、組 $(i,k)$ は辞書式の順に並ぶ（組 $(i,k)$ は第 $(i-1)p+k$ 行）。以下、この「組による番号付け」を断らずに使う。

順序の流儀

$(k,l)$ ブロックが $b_{kl}A$ の行列（この記事の $B\otimes A$）を $A$ と $B$ の積とよぶ流儀もある。どちらの流儀でも以下の公式は因子を入れ替えて成り立ち、2 つは行と列の並べ替えで移り合う（prop-kp-commutation）。

基本的な計算規則

計算規則

型の合う $R$ 上の行列について、次が成り立つ。

（双線形性）$(A+A')\otimes B=A\otimes B+A'\otimes B$、$A\otimes(B+B')=A\otimes B+A\otimes B'$、$(sA)\otimes B=A\otimes(sB)=s(A\otimes B)$（$s\in R$）。
（結合法則）$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes(B\otimes C)$。
（転置）$(A\otimes B)^{\top}=A^{\top}\otimes B^{\top}$。$R=\mathbb{C}$ では共役転置について $(A\otimes B)^*=A^*\otimes B^*$。
（混合積の公式）$A\in M_{m,n}(R)$、$C\in M_{n,r}(R)$、$B\in M_{p,q}(R)$、$D\in M_{q,s}(R)$ なら
$$ (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD) $$
である。
$I_m\otimes I_p=I_{mp}$ である。

成分とブロックで比べる

1・2・3・5 は成分を比べればよい（下の折りたたみ）。4 を示す。$A\otimes B$ を $p\times q$ のブロックで、$C\otimes D$ を $q\times s$ のブロックで区分けして、区分けした行列の積（行列の記事の命題「区分けした行列の積」）を使うと、左辺の $(i,j)$ ブロックは
$$ \sum_{t=1}^{n}(a_{it}B)(c_{tj}D)=\Bigl(\sum_{t=1}^{n}a_{it}c_{tj}\Bigr)BD=(AC)_{ij}\,BD $$
であり、これは右辺の $(i,j)$ ブロックである。$\square$

1・2・3・5 の確かめを開く

1：両辺の $((i,k),(j,l))$ 成分はそれぞれ $(a_{ij}+a'_{ij})b_{kl}=a_{ij}b_{kl}+a'_{ij}b_{kl}$ などで、等しい。

2：$C=(c_{tu})\in M_{r,s}(R)$ とする。$(A\otimes B)\otimes C$ の行の番号 $((i,k),t)$ と $A\otimes(B\otimes C)$ の行の番号 $(i,(k,t))$ は、どちらも第 $((i-1)p+k-1)r+t=(i-1)pr+(k-1)r+t$ 行を指し、列も同様である。対応する成分はどちらも $a_{ij}b_{kl}c_{tu}$ なので、2 つの行列は等しい。

3：$(A\otimes B)^{\top}$ の $((j,l),(i,k))$ 成分は $a_{ij}b_{kl}=(A^{\top})_{ji}(B^{\top})_{lk}$ で、これは $A^{\top}\otimes B^{\top}$ の $((j,l),(i,k))$ 成分である。共役転置では成分の複素共役 $\overline{a_{ij}b_{kl}}=\overline{a_{ij}}\,\overline{b_{kl}}$ をとればよい。

5：$((i,k),(j,l))$ 成分は $\delta_{ij}\delta_{kl}$ で、これは $(i,k)=(j,l)$ のとき $1$、それ以外で $0$ である。

混合積の公式から、正方行列についての次の性質がすぐに従う。

逆行列と跡

$A\in M_n(R)$、$B\in M_p(R)$ とする。

$A$ と $B$ が正則なら $A\otimes B$ も正則で、$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$ である。
$\operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\cdot\operatorname{tr}B$ である（$\operatorname{tr}$ は跡、すなわち対角成分の和）。

1：prop-kp-algebra の 4・5 により $(A\otimes B)(A^{-1}\otimes B^{-1})=(AA^{-1})\otimes(BB^{-1})=I_n\otimes I_p=I_{np}$ であり、逆順の積も同様に $I_{np}$ である。2：$A\otimes B$ の対角ブロックは $a_{11}B,\dots,a_{nn}B$ なので、対角成分の和は $\sum_ia_{ii}\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ である。$\square$

Kronecker 積は可換ではない（ex-kp-counterexamples の 1 行目）が、行と列の並べ替えの違いしかない。

因子の入れ替え

$m,p\ge1$ について、$mp$ 次の置換行列 $K_{m,p}$ を、第 $(k,i)$ 行（組は $1\le k\le p$、$1\le i\le m$ を辞書式に並べる）の第 $(i,k)$ 列（組は $1\le i\le m$、$1\le k\le p$ を辞書式に並べる）だけが $1$ で残りが $0$ の行列と定める。$A\in M_{m,n}(R)$、$B\in M_{p,q}(R)$ について
$$ B\otimes A=K_{m,p}\,(A\otimes B)\,K_{n,q}^{\top} $$
である。とくに $A,B$ が正方行列（$m=n$、$p=q$）なら、$B\otimes A$ と $A\otimes B$ は置換行列 $K:=K_{n,p}$ で $B\otimes A=K(A\otimes B)K^{-1}$ と相似である。

$K_{m,p}(A\otimes B)K_{n,q}^{\top}$ の第 $(k,i)$ 行・第 $(l,j)$ 列の成分は、$K_{m,p}$ がその行に $(A\otimes B)$ の第 $(i,k)$ 行を、$K_{n,q}^{\top}$ がその列に第 $(j,l)$ 列を持ってくるので、$(A\otimes B)_{(i,k),(j,l)}=a_{ij}b_{kl}$ である。これは $(B\otimes A)_{(k,i),(l,j)}=b_{kl}a_{ij}$ に等しい。置換行列は $K^{\top}=K^{-1}$ を満たす。$\square$

線形写像のテンソル積との関係

$K$ を体とし、$V,W,X,Y$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間とする。$V$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ と $W$ の基底 $w_1,\dots,w_q$ について、$v_j\otimes w_l$（$1\le j\le n$、$1\le l\le q$）は $V\otimes_KW$ の基底である（テンソル積の記事の系「自由加群とのテンソル積」）。以下、この基底を組 $(j,l)$ の辞書式の順に並べる。

テンソル積の表現行列

$X$ の基底 $x_1,\dots,x_m$、$Y$ の基底 $y_1,\dots,y_p$ をとり、線形写像 $\varphi\colon V\to X$、$\psi\colon W\to Y$ の表現行列をそれぞれ $A\in M_{m,n}(K)$、$B\in M_{p,q}(K)$ とする。このとき、線形写像 $\varphi\otimes\psi\colon V\otimes W\to X\otimes Y$ の、基底 $(v_j\otimes w_l)$ と $(x_i\otimes y_k)$ に関する表現行列は $A\otimes B$ である。

$\varphi\otimes\psi$ は $(\varphi\otimes\psi)(v\otimes w)=\varphi(v)\otimes\psi(w)$ で定まる線形写像である（テンソル積の記事の命題「テンソル積の関手性」）。$\varphi(v_j)=\sum_ia_{ij}x_i$、$\psi(w_l)=\sum_kb_{kl}y_k$ なので、テンソル積の双線形性により
$$ (\varphi\otimes\psi)(v_j\otimes w_l)=\Bigl(\sum_ia_{ij}x_i\Bigr)\otimes\Bigl(\sum_kb_{kl}y_k\Bigr)=\sum_{i,k}a_{ij}b_{kl}\,x_i\otimes y_k $$
である。よって表現行列の $((i,k),(j,l))$ 成分は $a_{ij}b_{kl}$ であり、これは $A\otimes B$ の成分である。$\square$

この見方では、prop-kp-algebra の 4（混合積の公式）は、写像の合成について $(\varphi\otimes\psi)\circ(\varphi'\otimes\psi')=(\varphi\circ\varphi')\otimes(\psi\circ\psi')$ が成り立つこと（同じ命題）を表現行列で書いたものである。

vec と行列方程式

行列 $X\in M_{m,n}(R)$ の列 $x_1,\dots,x_n$ を上から順に積み重ねた列ベクトルを
$$ \operatorname{vec}(X):=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in R^{mn} $$
と書く。$\operatorname{vec}\colon M_{m,n}(R)\to R^{mn}$ は全単射な線形写像である。

vec の公式

$A\in M_{r,m}(R)$、$X\in M_{m,n}(R)$、$B\in M_{n,s}(R)$ について
$$ \operatorname{vec}(AXB)=(B^{\top}\otimes A)\operatorname{vec}(X) $$
である。

列ごとに比べる

$B=(b_{lj})$ とする。$XB$ の第 $j$ 列は $\sum_{l=1}^{n}b_{lj}x_l$ なので、$AXB$ の第 $j$ 列は $\sum_lb_{lj}Ax_l$ である。一方、$B^{\top}\otimes A$ の $(j,l)$ ブロックは $(B^{\top})_{jl}A=b_{lj}A$ なので、$(B^{\top}\otimes A)\operatorname{vec}(X)$ を長さ $r$ のブロックに分けた第 $j$ ブロックは $\sum_lb_{lj}Ax_l$ である。両者は等しい。$\square$

たとえば、未知の行列 $X\in M_{m,n}(K)$ についての方程式 $AX+XB=C$（$A\in M_m(K)$、$B\in M_n(K)$、$C\in M_{m,n}(K)$）は、$AX=AXI_n$、$XB=I_mXB$ に prop-kp-vec を使うと、$mn$ 個の未知数の連立 1 次方程式
$$ (I_n\otimes A+B^{\top}\otimes I_m)\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C) $$
になる。これがいつ一意に解けるかは、次節の thm-kp-spectrum で分かる（cor-kp-sylvester）。

固有値・行列式・階数

固有値の公式

$K$ を体とし、$A\in M_n(K)$、$B\in M_p(K)$ の固有多項式が $K$ 上で
$$ \det(xI_n-A)=\prod_{i=1}^{n}(x-\lambda_i),\qquad\det(xI_p-B)=\prod_{k=1}^{p}(x-\mu_k) $$
と 1 次式の積に分解するとする（$K=\mathbb{C}$ ならつねに成り立つ）。このとき

$\det(xI_{np}-A\otimes B)=\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{p}(x-\lambda_i\mu_k)$ であり、
$\det\bigl(xI_{np}-(A\otimes I_p+I_n\otimes B)\bigr)=\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{p}\bigl(x-(\lambda_i+\mu_k)\bigr)$ である。
すなわち、$A\otimes B$ の固有値は重複度を込めて $\lambda_i\mu_k$ の全体、$A\otimes I_p+I_n\otimes B$ の固有値は $\lambda_i+\mu_k$ の全体である。

両方を同時に上三角化する

固有多項式が分解するので、正則行列 $S\in M_n(K)$、$U\in M_p(K)$ で、$T:=S^{-1}AS$ と $Q:=U^{-1}BU$ が上三角行列になり、対角成分がそれぞれ $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ と $\mu_1,\dots,\mu_p$ になるものがある（三角化の記事の定理「三角化可能性の判定」）。cor-kp-inverse-trace の 1 と混合積の公式により
$$ (S\otimes U)^{-1}(A\otimes B)(S\otimes U)=(S^{-1}AS)\otimes(U^{-1}BU)=T\otimes Q $$
であり、同様に $(S\otimes U)^{-1}(A\otimes I_p+I_n\otimes B)(S\otimes U)=T\otimes I_p+I_n\otimes Q$ である。
$T\otimes Q$ は上三角行列である：その $((i,k),(j,l))$ 成分は $t_{ij}q_{kl}$ で、行の番号が列の番号より後ろ、すなわち $i>j$ か「$i=j$ かつ $k>l$」なら、$t_{ij}=0$ か $q_{kl}=0$ である。同じ理由で $T\otimes I_p$ と $I_n\otimes Q$ も上三角行列である。対角成分は、$T\otimes Q$ では $t_{ii}q_{kk}=\lambda_i\mu_k$、$T\otimes I_p+I_n\otimes Q$ では $\lambda_i+\mu_k$ である。相似な行列の固有多項式は等しく（固有値の記事の命題「固有多項式の相似不変性」）、上三角行列 $N$ の固有多項式は $\prod(x-n_{ss})$ である（$xI-N$ は上三角行列で、行列式の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）。よって 1・2 が成り立つ。$\square$

$A\otimes I_p+I_n\otimes B$ を $A$ と $B$ の Kronecker 和 という。

行列方程式 $AX+XB=C$

$A\in M_m(\mathbb{C})$、$B\in M_n(\mathbb{C})$ の固有値をそれぞれ $\lambda_1,\dots,\lambda_m$、$\mu_1,\dots,\mu_n$ とする。すべての $i,k$ について $\lambda_i+\mu_k\ne0$ なら、任意の $C\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ について $AX+XB=C$ を満たす $X\in M_{m,n}(\mathbb{C})$ がただ 1 つある。ある $i,k$ で $\lambda_i+\mu_k=0$ なら、解のない $C$ が存在し、$C=O$ には $X=O$ 以外の解がある。

要点：方程式は $L\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)$、$L:=I_n\otimes A+B^{\top}\otimes I_m$ と同値であり、$L$ の固有値は thm-kp-spectrum の 2 により $\lambda_i+\mu_k$ の全体である。$\det L$ はその積なので、すべての $\lambda_i+\mu_k\ne0$ は $L$ の正則性と同値である。

詳しい証明を開く

$xI_n-B^{\top}=(xI_n-B)^{\top}$ で、転置で行列式は変わらないので（行列式の記事の命題「転置と行列式」）、$B^{\top}$ の固有値は $B$ の固有値 $\mu_k$ と同じである。prop-kp-commutation を $A$ と $I_n$、$I_m$ と $B^{\top}$ に使うと、$K:=K_{m,n}$ について $I_n\otimes A=K(A\otimes I_n)K^{-1}$、$B^{\top}\otimes I_m=K(I_m\otimes B^{\top})K^{-1}$ であり、足すと $L=K(A\otimes I_n+I_m\otimes B^{\top})K^{-1}$ である。相似な行列の固有多項式は等しいので、thm-kp-spectrum の 2 により $L$ の固有値は $\lambda_i+\mu_k$ の全体で、$\det L=\prod_{i,k}(\lambda_i+\mu_k)$ である。

すべての $\lambda_i+\mu_k\ne0$ なら $\det L\ne0$ で、$L\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)$ の解はただ 1 つである（正則行列の記事の定理「正則性の同値条件」の 2 ⇔ 4）。$\det L=0$ なら、同じ定理により $L\operatorname{vec}(X)=0$ に $0$ でない解があり（$X\ne O$ で $AX+XB=O$ となる）、$x\mapsto Lx$ は全単射でないので、次元定理により全射でもない。$\operatorname{vec}(C)$ が像に入らない $C$ について解はない。$\square$

行列式と階数は、固有多項式の分解を仮定しなくても求まる。

行列式と階数

$A\in M_n(R)$、$B\in M_p(R)$ について $\det(A\otimes B)=(\det A)^p(\det B)^n$ である。
$K$ を体とし、$A\in M_n(K)$、$B\in M_p(K)$ とする。$A\otimes B$ が正則であることと、$A$ と $B$ がともに正則であることは同値である。
$K$ を体とし、$A\in M_{m,n}(K)$、$B\in M_{p,q}(K)$ とすると、$\operatorname{rank}(A\otimes B)=\operatorname{rank}A\cdot\operatorname{rank}B$ である。

単純な因子に分解する

1：混合積の公式により $A\otimes B=(A\otimes I_p)(I_n\otimes B)$ である。$I_n\otimes B$ は対角ブロックがすべて $B$ の区分対角行列なので、行列式は $(\det B)^n$ である（行列式の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）。prop-kp-commutation により $A\otimes I_p=K_{p,n}(I_p\otimes A)K_{p,n}^{-1}$（$K_{p,n}$ は置換行列）なので、積の行列式の公式から $\det(A\otimes I_p)=\det(I_p\otimes A)=(\det A)^p$ である。
2：1 により $\det(A\otimes B)=(\det A)^p(\det B)^n$ であり、$n,p\ge1$ なので、これが $0$ でないことは $\det A\ne0$ かつ $\det B\ne0$ と同値である。正方行列の正則性は行列式が $0$ でないことと同値である（正則行列の記事の定理「正則性の同値条件」の 1 ⇔ 2）。
3：$r:=\operatorname{rank}A$、$s:=\operatorname{rank}B$ とし、正則行列 $P_1,Q_1,P_2,Q_2$ で $P_1AQ_1=E_r$、$P_2BQ_2=E_s$ とする。ここで $E_r$ は左上が $I_r$ で残りが $0$ の $m\times n$ 行列で、$E_s$ も同様である（行列の階数の記事の定理「階数による標準形」）。混合積の公式により $(P_1\otimes P_2)(A\otimes B)(Q_1\otimes Q_2)=E_r\otimes E_s$ であり、$P_1\otimes P_2$ と $Q_1\otimes Q_2$ は正則である（cor-kp-inverse-trace）。$E_r\otimes E_s$ の $0$ でない成分は、$i\le r$、$k\le s$ の $((i,k),(i,k))$ 成分の $rs$ 個で、どれも $1$ であり、互いに異なる行と列にある。よってその階数は $rs$ である。正則行列を掛けても階数は変わらないので、$\operatorname{rank}(A\otimes B)=rs$ である。$\square$

thm-kp-spectrum が使えるときは、1 は固有値の積 $\prod_{i,k}\lambda_i\mu_k=\prod_i\lambda_i^p\prod_k\mu_k^n$ としても読める。

半正定値性の保存

$F$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$A\in M_n(F)$、$B\in M_p(F)$ を半正定値な Hermite 行列（$F=\mathbb{R}$ では半正定値な実対称行列）とする。このとき $A\otimes B$ も半正定値な Hermite 行列である。$A$ と $B$ がともに正定値なら、$A\otimes B$ も正定値である。

平方根の分解を掛け合わせる

正定値行列の記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇒ 4 により、$A=C^*C$、$B=D^*D$ となる行列 $C\in M_{m,n}(F)$、$D\in M_{m',p}(F)$ がある。prop-kp-algebra の 3・4 により
$$ A\otimes B=(C^*C)\otimes(D^*D)=(C^*\otimes D^*)(C\otimes D)=(C\otimes D)^*(C\otimes D) $$
であり、これは Hermite 行列で、$x\in F^{np}$ について $x^*(A\otimes B)x=\|(C\otimes D)x\|^2\ge0$ である。$A,B$ が正定値なら、同記事の定理「正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇒ 6 により $C,D$ を正則な正方行列にとれる。このとき $C\otimes D$ は正則なので、$x\ne0$ なら $(C\otimes D)x\ne0$ で、$x^*(A\otimes B)x>0$ である。$\square$

例

Hadamard行列の Sylvester 構成

$H_2=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ は $H_2^{\top}H_2=2I_2$ を満たす。混合積の公式から
$$ (H_2\otimes H_2)^{\top}(H_2\otimes H_2)=(H_2^{\top}H_2)\otimes(H_2^{\top}H_2)=(2I_2)\otimes(2I_2)=4I_4 $$
であり、$H_2\otimes H_2$ は成分が $\pm1$ で列が互いに直交する 4 次の行列、すなわち Hadamard行列である。同じ計算で、$H_2$ の $k$ 個の Kronecker 積は $2^k$ 次の Hadamard 行列になる（Hadamard行列の記事の定理「Kronecker 積は Hadamard 行列」）。冒頭の $B$ は $H_2$ である。

格子の上の差分作用素

$T=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ は 2 点の上の 2 階差分を表し、固有値は $1$ と $3$ である。$2\times2$ の格子の点を組 $(i,k)$ で番号付けると、縦と横の差分を足した行列は Kronecker 和
$$ L=T\otimes I_2+I_2\otimes T=\begin{pmatrix}4&-1&-1&0\\-1&4&0&-1\\-1&0&4&-1\\0&-1&-1&4\end{pmatrix} $$
である。thm-kp-spectrum の 2 により、$L$ の固有値は $1+1=2$、$1+3=4$、$3+1=4$、$3+3=6$ であり、4 次の固有多項式を直接計算しなくても求まる。$n\times n$ の格子でも同様に、1 次元の差分行列の固有値の和として 2 次元の固有値が得られる。

グラフの積の固有値

グラフ $\Gamma$、$\Delta$ の隣接行列を $A_\Gamma$、$A_\Delta$ とする（隣接行列）。頂点集合 $V(\Gamma)\times V(\Delta)$ の上で、

$(v,w)\sim(v',w')$ を「$v=v'$ かつ $w\sim w'$、または $w=w'$ かつ $v\sim v'$」で定めたグラフ（直積、Cartesian product）の隣接行列は $A_\Gamma\otimes I+I\otimes A_\Delta$、
「$v\sim v'$ かつ $w\sim w'$」で定めたグラフ（Kronecker 積）の隣接行列は $A_\Gamma\otimes A_\Delta$
である（頂点を組の辞書式の順に並べる）。thm-kp-spectrum により、固有値はそれぞれ $\theta+\eta$、$\theta\eta$（$\theta$、$\eta$ は $A_\Gamma$、$A_\Delta$ の固有値）の全体である。たとえば 1 本の辺 $K_2$ の隣接行列 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の固有値は $\pm1$ で、$K_2$ の $n$ 個の直積は $n$ 次元の超立方体グラフ $Q_n$ である。定理の 2 を繰り返し使うと、$Q_n$ の固有値は $n$ 個の $\pm1$ の和、すなわち $n-2i$ が重複度 $\binom ni$（$i=0,1,\dots,n$）で現れる。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
因子の順序をそろえること	$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$	$A\otimes B=B\otimes A$
混合積の公式で $AC$ が定義されること	$A=C=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$、$B=D=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$	$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$
固有多項式が $K$ で 1 次式に分解すること	$K=\mathbb{R}$、$A=B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$	$A\otimes B$ の $K$ の中の固有値が $A$ と $B$ の $K$ の中の固有値の積であること
$B$ の半正定値性（$A$ は正定値のまま）	$A=I_2$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$	$A\otimes B$ が半正定値であること

反例：表の各行の確かめ

1 行目：$A\otimes B$ は第 $(1,1)$ 行・第 $(1,2)$ 列（第 1 行・第 2 列）だけが $1$ で、$B\otimes A$ は $b_{12}A$ が右上のブロックなので第 1 行・第 3 列だけが $1$ である。2 つは等しくない（prop-kp-commutation のとおり、行と列の並べ替えで移り合う）。
2 行目：$A\otimes B$ と $C\otimes D$ はどちらも $2\times2$ 行列で、積は定義される。$A\otimes B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ と $C\otimes D$ は等しく、積は $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ である。一方 $AC$ は $1\times2$ 行列と $1\times2$ 行列の積で定義されない。混合積の公式は「$AC$ と $BD$ が定義される」という型の条件のもとでの等式である。

3 行目と 4 行目の確かめを開く

3 行目：$A$ の固有多項式は $x^2+1$ で、実数の固有値をもたない。一方 $A\otimes A$ は反対角成分が $1,-1,-1,1$ の 4 次の行列で、固有値 $1$（固有ベクトル $(1,0,0,1)^{\top}$）と $-1$（固有ベクトル $(1,0,0,-1)^{\top}$）をもつ。実数の中だけで数えると、$A\otimes A$ の固有値は $A$ の固有値の積として説明できない。$\mathbb{C}$ の上では $A$ の固有値は $\pm i$ で、積 $i\cdot i=-1$、$i\cdot(-i)=1$ などとして thm-kp-spectrum のとおりになる。

4 行目：$A\otimes B$ は対角成分が $1,-1,1,-1$ の対角行列で、$x=(0,1,0,0)^{\top}$ で $x^{\top}(A\otimes B)x=-1< 0$ である。prop-kp-psd は両方の因子の半正定値性を仮定している。

補足

Hadamard 積との関係

$A,B\in M_n(R)$ の成分ごとの積 $A\circ B:=(a_{ij}b_{ij})$（Hadamard 積）は、$A\otimes B$ の行と列をともに $(i,i)$（$i=1,\dots,n$）の形の番号に制限した $n$ 次の主小行列である。半正定値行列の主小行列は半正定値なので、prop-kp-psd から、半正定値な Hermite 行列の Hadamard 積は半正定値であることが従う（Schurの積定理）。

文献

def-kp-main の定義は DF04 §11.2 の定義（p. 421）にあり、そこでは Kronecker product または tensor product と呼び、可換環の成分を許している。thm-kp-tensor-maps は同節の Proposition 17（p. 422）である。グラフの直積と Kronecker 積の隣接行列と固有値（ex-kp-graphs）は BH12 §1.4.6・§1.4.7 にあり、超立方体グラフの固有値もそこにある。