Feuerbachの定理

要点：1 では、$X$ が $PX=\rho_1$、$QX=\rho_2$ を満たすことを計算で確かめる。ほかに共有点 $Y$ があるとすると、三角不等式 $PY\le PQ+QY$ が等号になり、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{QY}$ が同じ向きになるので $Y=X$ である。2 も三角不等式 $PQ\le PY+YQ$ の等号から同じように示せる。内側・外側も三角不等式からわかる。

方針：$\alpha,b,c$ を解にもつ 3 次式 $f(x)=(x-\alpha)(x-b)(x-c)$ に $x=\sigma$ を 2 通りの方法で代入する。
段 1（展開）。$q=\alpha b+bc+c\alpha$ とおくと、展開して（解と係数の関係と同じ計算）
$$ f(x)=x^3-(\alpha+b+c)x^2+qx-\alpha bc=x^3-2\sigma x^2+qx-\alpha bc $$
である。$x=\sigma$ を入れて (F3) を使うと
$$ f(\sigma)=\sigma^3-2\sigma^3+q\sigma-4\varepsilon R\rho\sigma=-\sigma^3+q\sigma-4\varepsilon R\rho\sigma $$
である。
段 2（Heron の公式）。上で書き直した Heron の公式と (F2) から $\sigma f(\sigma)=\sigma(\sigma-\alpha)(\sigma-b)(\sigma-c)=S^2=\rho^2\sigma^2$ で、$\sigma>0$ で割って $f(\sigma)=\rho^2\sigma$ である。
段 3（比べる）。段 1・段 2 から $-\sigma^3+q\sigma-4\varepsilon R\rho\sigma=\rho^2\sigma$ で、$\sigma>0$ で割って整理すると $q=\sigma^2+\rho^2+4\varepsilon R\rho$ である。$\square$

方針：$NJ^2=\lvert\vec n-\vec j\rvert^2=ON^2-2\,\vec n\cdot\vec j+OJ^2$ と分け、3 つの項を $R$、$\sigma$、$\rho$ で書く。lem-feu-symmetric で $\sigma^2$ の項が消えることがわかる。以下、上の表の記号を使い、外心 $O$ を原点にとる。
段 1（内積を辺の長さで書く）。$\lvert\vec a\rvert=\lvert\vec b\rvert=\lvert\vec c\rvert=R$ で、Eulerの三角形の定理 の 2 つ目の証明と同じく $\vec a\cdot\vec b=R^2-\frac{c^2}2$、$\vec b\cdot\vec c=R^2-\frac{a^2}2$、$\vec c\cdot\vec a=R^2-\frac{b^2}2$ である（$c^2=\lvert\vec a-\vec b\rvert^2=2R^2-2\vec a\cdot\vec b$ などから）。
段 2（$ON^2$）。Euler線 の「外心と垂心の距離」により $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$ で、$N$ は $OH$ の中点なので $ON^2=\frac{OH^2}4$ である。$a^2=\alpha^2$ に注意して lem-feu-symmetric を使うと
$$ a^2+b^2+c^2=(\alpha+b+c)^2-2(\alpha b+bc+c\alpha)=4\sigma^2-2(\sigma^2+\rho^2+4\varepsilon R\rho)=2\sigma^2-2\rho^2-8\varepsilon R\rho $$
なので
$$ ON^2=\frac{9R^2-2\sigma^2+2\rho^2+8\varepsilon R\rho}4 $$
である。
段 3（$\vec n\cdot\vec j$ の準備）。段 1 から
$$ (\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec a=R^2+\Bigl(R^2-\frac{c^2}2\Bigr)+\Bigl(R^2-\frac{b^2}2\Bigr)=3R^2-\frac{b^2+c^2}2 $$
で、同じく $(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec b=3R^2-\frac{c^2+a^2}2$、$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec c=3R^2-\frac{a^2+b^2}2$ である。
段 4（$\vec n\cdot\vec j$）。(F1) と段 3 から
$$ \begin{aligned} 4\sigma\,\vec n\cdot\vec j&=(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\alpha\vec a+b\vec b+c\vec c)\\ &=3R^2(\alpha+b+c)-\frac12\bigl\{\alpha(b^2+c^2)+b(c^2+\alpha^2)+c(\alpha^2+b^2)\bigr\} \end{aligned} $$
である（$a^2=\alpha^2$ と書きかえた）。波かっこの中を $T$ とおく。$(\alpha+b+c)(\alpha b+bc+c\alpha)$ を展開すると、$\alpha^2b$ のような項が 6 つと $\alpha bc$ が 3 つ出るので、$T=(\alpha+b+c)(\alpha b+bc+c\alpha)-3\alpha bc$ である。lem-feu-symmetric と (F3) を入れると
$$ T=2\sigma(\sigma^2+\rho^2+4\varepsilon R\rho)-12\varepsilon R\rho\sigma=2\sigma(\sigma^2+\rho^2-2\varepsilon R\rho) $$
である。よって $4\sigma\,\vec n\cdot\vec j=6R^2\sigma-\sigma(\sigma^2+\rho^2-2\varepsilon R\rho)$ で、$4\sigma$ で割って
$$ \vec n\cdot\vec j=\frac32R^2-\frac{\sigma^2+\rho^2-2\varepsilon R\rho}4 $$
である。
段 5（まとめる）。(F4) と段 2・段 4 から
$$ \begin{aligned} NJ^2&=ON^2-2\,\vec n\cdot\vec j+OJ^2\\ &=\frac{9R^2-2\sigma^2+2\rho^2+8\varepsilon R\rho}4-3R^2+\frac{\sigma^2+\rho^2-2\varepsilon R\rho}2+R^2-2\varepsilon R\rho \end{aligned} $$
である。文字ごとに係数を集める。$R^2$ は $\frac94-3+1=\frac14$、$\sigma^2$ は $-\frac12+\frac12=0$、$\rho^2$ は $\frac12+\frac12=1$、$\varepsilon R\rho$ は $2-1-2=-1$ である。よって
$$ NJ^2=\frac{R^2}4-\varepsilon R\rho+\rho^2=\Bigl(\frac R2-\varepsilon\rho\Bigr)^2 $$
である。
段 6（結論）。内接円（$\varepsilon=1$）では $NI=\bigl\lvert\frac R2-r\bigr\rvert$ で、Eulerの三角形の定理 の Euler の不等式 $R\ge2r$ から $\frac R2-r\ge0$ なので $NI=\frac R2-r$ である。傍接円（$\varepsilon=-1$）では $NI_A=\frac R2+r_a$ である。$I_B$、$I_C$ は、頂点の名前を入れかえて同じ計算をすればよい。
段 7（接すること）。正三角形でなければ Euler の不等式の等号は成り立たず、$\frac R2>r$ である。九点円の半径は $\frac R2$ なので、lem-feu-tangent の 1 により九点円と内接円は内接し、2 により九点円と傍接円は外接する。正三角形では $NI=0$ で半径も等しい（$\frac R2=r$）ので、2 つの円は一致する。$\square$

方針：三角形の内心と傍心 の「接点までの長さ」と同じく、1 点から引いた 2 本の接線の長さが等しいことを使って連立方程式を作る。
段 1（接点の位置）。三角形の内心と傍心 で見たとおり、この傍接円は辺 $BC$（線分）に $P_a$ で接し、直線 $AB$ には $AB$ を $B$ の先に延ばした部分の点 $Z_a$ で、直線 $AC$ には $AC$ を $C$ の先に延ばした部分の点 $Y_a$ で接する。
段 2（接線の長さ）。1 点から円に引いた 2 本の接線の長さは等しい（方べきの定理（高校数学） の「接線の長さ」）。$B$ から：$BP_a=BZ_a=:x$。$C$ から：$CP_a=CY_a=:y$。$A$ から：$AZ_a=AY_a$。
段 3（連立方程式）。段 1 から $AZ_a=AB+BZ_a=c+x$、$AY_a=AC+CY_a=b+y$、$x+y=BP_a+P_aC=a$ である。段 2 から $c+x=b+y$ である。2 式を足すと $c+2x=a+b$ で、$x=\frac{a+b-c}2=s-c$、$y=a-x=s-b$ である。$\square$

要点：内接円と傍接円が辺 $BC$ に接する点 $P$、$P_a$ は、どちらも $M_a$ から距離 $\delta$ にあり、$\omega$ の上にある。$P$ では、内接円の半径 $IP$ は $BC$ に垂直で、$\omega$ の半径 $M_aP$ は $BC$ の上にあるので、2 つの円は直交する。(ii) により内接円は自分自身に移る。傍接円も同じである。

要点：九点円は反転の中心 $M_a$ を通るので、(i) により直線 $\ell$ に移る。九点円は直線 $M_aN$ について対称なので $\ell$ も対称で、$\ell\perp M_aN$ である。$\overrightarrow{M_aN}=\frac12\overrightarrow{OA}$ から $\ell\perp OA$ となる。さらに、垂線の足 $D_a$ の反転が $L$ になる（$M_aL\cdot M_aD_a=\delta^2$）ので、$\ell$ は $L$ を通る。

要点：二等分線 $AL$ についての折り返しは、$AB$ 向きと $AC$ 向きの単位ベクトル $\vec u$、$\vec v$ を入れかえる。よって $\ell^*$ の向きは $b\vec u-c\vec v$ で、これと $\overrightarrow{AO}$ の内積は $0$ になる。$L$、$I$、$I_A$ は折り返しの軸の上にあって動かないので、$\ell^*$ は $L$ を通り、内接円と傍接円の両方に接する。

方針：九点円を $\omega$ で反転した直線 $\ell$ が $\ell^*$ に一致することを示し、(iii) で接することを九点円に戻す。示すのは「九点円が内接円と $\angle A$ に向かい合う傍接円に接する」ことである（内接か外接かは prf-thm-feu-main で決まる）。$I_B$、$I_C$ は頂点の名前を入れかえればよい。
段 1（$b\ne c$ のとき：直線が一致する）。lem-feu-image-line の $\ell$ と lem-feu-reflected-line の $\ell^*$ は、どちらも $L$ を通り直線 $OA$ に垂直である。$L$ を通り 1 つの向きに垂直な直線はただ 1 つなので、$\ell=\ell^*$ である。
段 2（$b\ne c$ のとき：接点を戻す）。lem-feu-reflected-line により $\ell$ は内接円に接する。その接点を $T$ とする。内接円は $M_a$ を通らない（prf-lem-feu-fixed の段 2）ので $T\ne M_a$ である。(iii) を「内接円と、その点 $T$ における接線 $\ell$」に使うと、像どうし、つまり内接円（lem-feu-fixed）と九点円（$\ell$ の像。反転は 2 回で元に戻る）は $T'$ で接する。傍接円も同じである。
段 3（$b=c$ のとき）。$M_a$ は $\overrightarrow{M_aN}=\frac12\overrightarrow{OA}$（prf-lem-feu-image-line の段 3）を満たし、$b=c$ なので $A$ と $O$ はどちらも辺 $BC$ の垂直二等分線の上にある。よって $M_aN\perp BC$ で、九点円は $M_a$ で直線 $BC$ に接する。prf-lem-feu-fixed の段 1 の計算で $b=c$ とおくと、内接円と傍接円も $M_a$ で $BC$ に接する。3 つの円はどれも $M_a$ を通り、中心は $M_a$ で $BC$ に立てた垂線の上にある。2 つの円の中心間の距離は、中心が $BC$ について同じ側なら半径の差、反対側なら半径の和になるので、lem-feu-tangent により 2 つの円は接する（半径も中心も同じなら一致する）。$\square$