Bohr–Mollerupの定理

$H:=F^{\lambda}G^{1-\lambda}$ とおく。重み付きの相加相乗平均の不等式 $a^{\lambda}b^{1-\lambda}\le\lambda a+(1-\lambda)b$ は $a,b\ge0$ で成り立つ（$a$ か $b$ が $0$ なら左辺は $0$）。これを各点で使うと $0\le H\le\lambda F+(1-\lambda)G$ であり、右辺の広義積分は収束するので、$(c,d)$ を内点で 2 つに分けてそれぞれに 広義積分 の定理「広義積分の比較判定法」を使うと、$\int_c^dH$ は収束する。$A=0$ なら、$F$ は連続で $0$ 以上なので $F\equiv0$、したがって $H\equiv0$ で不等式は成り立つ。$B=0$ のときも同じである。$A,B>0$ なら、相加相乗平均の不等式を $F(t)/A$ と $G(t)/B$ に当てて
$$ \frac{H(t)}{A^{\lambda}B^{1-\lambda}}=\Bigl(\frac{F(t)}A\Bigr)^{\lambda}\Bigl(\frac{G(t)}B\Bigr)^{1-\lambda}\le\lambda\frac{F(t)}A+(1-\lambda)\frac{G(t)}B $$
を得る。両辺を $(c,d)$ で積分すると、右辺の積分は $\lambda+(1-\lambda)=1$ なので、$\int_c^dH\le A^{\lambda}B^{1-\lambda}$ である。$\square$

$\lambda=0,1$ では等号である。$0<\lambda<1$ とし、$F(t):=t^{x-1}e^{-t}$、$G(t):=t^{y-1}e^{-t}$（$t>0$）とおくと、$\int_0^\infty F=\Gamma(x)$、$\int_0^\infty G=\Gamma(y)$ であり、指数法則から
$$ F(t)^{\lambda}G(t)^{1-\lambda}=t^{\lambda(x-1)+(1-\lambda)(y-1)}e^{-t}=t^{(\lambda x+(1-\lambda)y)-1}e^{-t} $$
である。lem-bm-holder（$c=0$、$d=\infty$）により $\Gamma(\lambda x+(1-\lambda)y)=\int_0^\infty F^{\lambda}G^{1-\lambda}\le\Gamma(x)^{\lambda}\Gamma(y)^{1-\lambda}$ である。$\square$

$\varphi:=\log f$ とおくと、$\varphi$ は凸で、(i)(ii) から $\varphi(1)=0$、$\varphi(x+1)=\varphi(x)+\log x$ である。帰納法により、$0$ 以上の整数 $n$ について $\varphi(n+1)=\log n!$ である。
段 1：$(0,1]$ での挟み込み。$0< x\le1$ と正の整数 $n$ をとる。傾きの単調性を 3 点 $n< n+1< n+1+x$ に当てると $s(n,n+1)\le s(n+1,n+1+x)$ であり、$x<1$ なら 3 点 $n+1< n+1+x< n+2$ に当てると $s(n+1,n+1+x)\le s(n+1,n+2)$ である（$x=1$ なら両辺は等しい）。$s(n,n+1)=\varphi(n+1)-\varphi(n)=\log n$、$s(n+1,n+2)=\log(n+1)$ なので
$$ x\log n\le\varphi(n+1+x)-\varphi(n+1)\le x\log(n+1) $$
である。
段 2：$x$ まで戻す。(ii) を $n+1$ 回くり返すと $f(x+n+1)=(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)x\,f(x)$ なので、$\varphi(n+1+x)=\varphi(x)+\log\bigl(x(x+1)\cdots(x+n)\bigr)$ である。これと $\varphi(n+1)=\log n!$ を段 1 に代入して指数をとると
$$ a_n(x)\le f(x)\le a_n(x)\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{x},\qquad a_n(x):=\frac{n!\,n^{x}}{x(x+1)\cdots(x+n)} $$
を得る。
段 3：極限をとる。$n\to\infty$ のとき $(1+\frac1n)^x\to1$ なので、はさみうちにより $f(x)=\lim_{n\to\infty}a_n(x)$ である。右辺は $f$ によらない。$\Gamma$ も 3 条件を満たすので同じく $\Gamma(x)=\lim_na_n(x)$ であり、$0< x\le1$ で $f(x)=\Gamma(x)$ である。
段 4：すべての $x>0$ へ。$x>0$ は $x=y+m$（$0< y\le1$、$m$ は $0$ 以上の整数）と書ける。$m$ についての帰納法で $f(y+m)=\Gamma(y+m)$ を示す。$m=0$ は段 3 である。$f(y+m)=\Gamma(y+m)$ なら、(ii) と $\Gamma$ の関数等式から $f(y+m+1)=(y+m)f(y+m)=(y+m)\Gamma(y+m)=\Gamma(y+m+1)$ である。$\square$

$0< x\le1$ では prf-bm-main の段 3 である。$a_n(x)$ を同じ証明の記号とすると、
$$ a_n(x+1)=\frac{n!\,n^{x+1}}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n+1)}=a_n(x)\cdot\frac{nx}{x+n+1} $$
であり、$\frac{n}{x+n+1}\to1$ である。$a_n(x)\to\Gamma(x)$ なら $a_n(x+1)\to x\Gamma(x)=\Gamma(x+1)$ となるので、$x$ を $1$ ずつ増やす帰納法で、すべての $x>0$ について主張が成り立つ。$\square$

prf-bm-main の段 1 は、$n>a$ なら $(a,\infty)$ の中の点 $n,n+1,n+1+x,n+2$ だけを使うので、そのまま成り立つ。段 2 の不等式も $n>a$ で成り立ち、段 3 では $n\to\infty$ の極限しか使わないので、$0< x\le1$ で $f(x)=\Gamma(x)$ である。段 4 は (ii) だけを使う。$\square$

右辺を $f(x)$ とおくと、$\Gamma$ の値はすべて正なので $f>0$ である。
(i)：$f(1)=\dfrac1{C_p}\prod_{k=0}^{p-1}\Gamma\bigl(\frac{1+k}p\bigr)=\dfrac1{C_p}\prod_{j=1}^{p}\Gamma\bigl(\frac jp\bigr)=\dfrac{C_p\,\Gamma(1)}{C_p}=1$。
(ii)：$\prod_{k=0}^{p-1}\Gamma\bigl(\frac{x+1+k}p\bigr)=\prod_{j=1}^{p}\Gamma\bigl(\frac{x+j}p\bigr)$ は、$\prod_{k=0}^{p-1}\Gamma\bigl(\frac{x+k}p\bigr)$ の因子 $\Gamma\bigl(\frac xp\bigr)$ を $\Gamma\bigl(\frac xp+1\bigr)=\frac xp\Gamma\bigl(\frac xp\bigr)$ に取り替えたものなので、$\frac xp$ 倍である。よって $f(x+1)=\dfrac{p^{x}}{C_p}\cdot\dfrac xp\prod_{k=0}^{p-1}\Gamma\bigl(\frac{x+k}p\bigr)=xf(x)$。
(iii)：$\log f(x)=(x-1)\log p-\log C_p+\sum_{k=0}^{p-1}\log\Gamma\bigl(\frac{x+k}p\bigr)$ であり、各項は 1 次関数か、凸関数 $\log\Gamma$ と 1 次関数 $x\mapsto\frac{x+k}p$ の合成なので凸である。凸関数の和は凸である。
thm-bm-main により $f=\Gamma$ である。$p=2$ の場合の $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ は ベータ関数 の系「$\Gamma(\frac12)$ と三角関数の冪の積分」の 1 である。$\square$