Kan複体

$n\geq2$、$0\leq k\leq n$ とし、ホーン $\Lambda^n_k\to\operatorname{Sing}X$、つまり連続写像 $\sigma_j\colon\lvert\Delta^{n-1}\rvert\to X$（$j\neq k$）で $d_i\sigma_j=d_{j-1}\sigma_i$ を満たす族をとる。
段 1（ホーンの実現）．$\lvert\Delta^n\rvert$ の部分集合
$$ H=\{t\in\lvert\Delta^n\rvert\mid\text{ある }j\neq k\text{ で }t_j=0\} $$
を考える。$H$ は閉集合 $\{t_j=0\}$（$j\neq k$）の有限個の和である。$\{t_j=0\}$ の上で $f_0=\sigma_j\circ\lvert\delta^j\rvert^{-1}$ と定めると、$\{t_i=0\}\cap\{t_j=0\}$（$i< j$）の上で $2$ つの定義は一致する。これは等式 $d_i\sigma_j=d_{j-1}\sigma_i$ を、$\lvert\delta^j\rvert\circ\lvert\delta^i\rvert=\lvert\delta^i\rvert\circ\lvert\delta^{j-1}\rvert$ が $\lvert\Delta^{n-2}\rvert$ をこの共通部分へ同相に写すことと合わせて読み替えたものである。有限個の閉集合の上で連続で共通部分で一致する写像は連続なので（貼り合わせの補題）、連続写像 $f_0\colon H\to X$ が得られる。
段 2（レトラクション）．$c(t)=\min_{j\neq k}t_j$ とおき、$r\colon\lvert\Delta^n\rvert\to H$ を
$$ r(t)_j=t_j-c(t)\quad(j\neq k),\qquad r(t)_k=t_k+n\,c(t) $$
で定める。成分の和は $1-n\,c+n\,c=1$、成分は $0$ 以上で、$j\neq k$ の成分の最小値は $0$ なので $r(t)\in H$ である。$c$ は連続なので $r$ も連続であり、$t\in H$ なら $c(t)=0$ で $r(t)=t$ となる。つまり $r$ は $\lvert\Delta^n\rvert$ から $H$ へのレトラクションである。
段 3（延長）．$\sigma=f_0\circ r\colon\lvert\Delta^n\rvert\to X$ は連続で、$H$ の上では $f_0$ に一致する。よって $j\neq k$ について $d_j\sigma=\sigma\circ\lvert\delta^j\rvert=\sigma_j$ であり、$\sigma$ はホーンの延長である。$n=1$ の場合は定義の直後の注意のとおりである。$\blacksquare$

脈体 の補題「脈体への写像は辺と三角形で決まる」により、ホーン $\Lambda^n_k\to N(\mathcal C)$ は対象 $c_0,\ldots,c_n$ と、ホーンに含まれる辺の射 $e_{ab}\colon c_a\to c_b$ で、ホーンに含まれる三角形ごとに $e_{bc}e_{ab}=e_{ac}$（合成を並べて書く）を満たすものであり、延長とは足りない辺と関係を補って関手 $[n]\to\mathcal C$ にすることである。
亜群なら Kan 複体であること：内側のホーンと $n\geq4$ のホーンは、どの圏の脈体でもただ 1 通りに埋まる（脈体 の命題「脈体のホーンと境界の充填」）。残りは $n=2,3$ の外側のホーンである。

• $n=2$、$k=0$：$e_{01},e_{02}$ が与えられ、$e_{12}e_{01}=e_{02}$ となる $e_{12}$ が要る。$e_{12}=e_{02}e_{01}^{-1}$ がただ 1 つの解である。$k=2$ も同様に $e_{01}=e_{12}^{-1}e_{02}$ である。
• $n=3$、$k=0$：すべての辺はあり、足りないのは三角形 $\{1,2,3\}$ の関係 $e_{23}e_{12}=e_{13}$ である。他の三角形の関係 $e_{02}=e_{12}e_{01}$、$e_{03}=e_{23}e_{02}$、$e_{03}=e_{13}e_{01}$ から $e_{13}e_{01}=e_{23}e_{12}e_{01}$ となり、右から $e_{01}^{-1}$ を掛ければよい。$k=3$ では足りないのは $\{0,1,2\}$ の関係で、$e_{23}e_{02}=e_{03}=e_{13}e_{01}=e_{23}e_{12}e_{01}$ に左から $e_{23}^{-1}$ を掛ければ $e_{02}=e_{12}e_{01}$ を得る。$n=3$ ではすべての辺がホーンにあるので延長は一意である。
  Kan 複体なら亜群であること：射 $f\colon x\to y$ をとる。辺 $e_{01}=f$、$e_{02}=\mathrm{id}_x$ の外側のホーン $\Lambda^2_0$ の延長から、$e_{12}\circ f=\mathrm{id}_x$ となる $e_{12}\colon y\to x$ が得られる。辺 $e_{12}=f$、$e_{02}=\mathrm{id}_y$ の外側のホーン $\Lambda^2_2$（頂点 $0$ を $y$、$1$ を $x$、$2$ を $y$ とする）の延長から、$f\circ e_{01}=\mathrm{id}_y$ となる $e_{01}\colon y\to x$ が得られる。左逆と右逆をもつ射は可逆である（$e_{12}=e_{12}\circ(f\circ e_{01})=(e_{12}\circ f)\circ e_{01}=e_{01}$）。$\blacksquare$

反射律：退化した辺 $s_0x$ は $x$ から $x$ への辺である。
対称律：辺 $f\colon x\to y$ に対し、$d_2=f$、$d_1=s_0x$ で決まるホーン $\Lambda^2_0\to X$ を延ばした $2$ 単体 $\sigma$ をとると、$d_0\sigma$ は $y$ から $x$ への辺である。
推移律：辺 $f\colon x\to y$ と $g\colon y\to z$ に対し、$d_2=f$、$d_0=g$ で決まるホーン $\Lambda^2_1\to X$ を延ばした $2$ 単体 $\tau$ をとると、$d_1\tau$ は $x$ から $z$ への辺である。$\blacksquare$

$hX$ の射は辺の類の合成なので、各辺 $f\colon x\to y$ の類 $[f]$ が可逆であることを示せばよい。$d_2=f$、$d_1=s_0x$ のホーン $\Lambda^2_0$ を延ばした $2$ 単体 $\sigma$ の関係から $[s_0x]=[d_0\sigma]\circ[f]$、つまり $[d_0\sigma]\circ[f]=\mathrm{id}_x$ である。$d_0=f$、$d_1=s_0y$ のホーン $\Lambda^2_2$ を延ばした $2$ 単体 $\sigma'$ の関係から $\mathrm{id}_y=[f]\circ[d_2\sigma']$ である。左逆と右逆をもつので $[f]$ は可逆である。$\blacksquare$