円充填定理

$\lvert c-c'\rvert< r+r'$ とする。$c=c'$ なら内部は明らかに交わる。$c\ne c'$ なら、$\max(0,\lvert c-c'\rvert-r')< s'<\min(r,\lvert c-c'\rvert)$ となる $s'$ がとれ（左辺は右辺より小さい）、点 $c+s'\frac{c'-c}{\lvert c'-c\rvert}$ は $c$ から $s'< r$、$c'$ から $\lvert c-c'\rvert-s'< r'$ の距離にあるので、両方の内部にある。逆に $\lvert c-c'\rvert\ge r+r'$ なら、両方の内部の点 $x$ があれば $\lvert c-c'\rvert\le\lvert x-c\rvert+\lvert x-c'\rvert< r+r'$ となり矛盾する。$x\in D(c,r)\cap D(c',r')$ なら $\lvert c-c'\rvert\le\lvert x-c\rvert+\lvert x-c'\rvert\le r+r'$ なので、共通部分があれば $\lvert c-c'\rvert=r+r'$ で、三角不等式の等号から $x$ は線分 $cc'$ の上の $\lvert x-c\rvert=r$ の点である。$\square$

辺 $uw$ の接点を $t_{uw}$ とすると、lem-cpk-two により線分 $c_uc_w$ は $D_u$ の半径 $R_{uw}:=[c_u,t_{uw}]$ と $D_w$ の半径 $R_{wu}:=[t_{uw},c_w]$ をつないだものである。
段 1（接点は相異なる）。$u$ の相異なる隣接頂点 $w,w'$ で $t_{uw}=t_{uw'}=:t$ とすると、$\nu:=(t-c_u)/\lvert t-c_u\rvert$ について $c_w=t+r_w\nu$、$c_{w'}=t+r_{w'}\nu$ であり、小さい $\varepsilon>0$ で $t+\varepsilon\nu$ は $D_w$ と $D_{w'}$ の両方の内部に入って矛盾する。よって $D_u$ の半径 $R_{uw}$（$w$ は隣接頂点）は相異なり、$c_u$ でしか交わらない。
段 2（辺どうしは端点でしか交わらない）。相異なる辺 $e=uw$ と $e'$ の共通の点 $z$ をとる。$z$ は $e$ のある半径 $R_{aa'}$（$\{a,a'\}=\{u,w\}$）と $e'$ のある半径 $R_{bb'}$ にのる。$a=b$ なら、$a'\ne b'$（$a'=b'$ なら $e=e'$）なので段 1 により $z=c_a$ で、$z$ は $e,e'$ の共通の端点である。$a\ne b$ なら $z\in D_a\cap D_b$ なので $z=t_{ab}$ である。$z$ は $D_a$ の境界の点で半径 $R_{aa'}$ にのるので $z=t_{aa'}$ であり、段 1 により $a'=b$ となる。同じく $b'=a$ で、$e=e'$ となって矛盾する。
段 3（辺はほかの中心を通らない）。$c_k$ が $e\subset D_u\cup D_w$（$k\ne u,w$）の点なら、たとえば $c_k\in D_u$ で、$D_k$ の内部の小さい円板は $D_u$ の内部と交わり矛盾する。$\square$

thm-cpk-koebe により円充填で表し、thm-cpk-planar の描画をとる。$\square$

操作の回数についての帰納法で、各段階のグラフを接触グラフにもつ円充填 $\mathcal{P}$ を作る。1 頂点なら円板 1 つでよい。以下、新しい円板は既にある円板のうち指定した円板とだけ接し、ほかとは交わらないように置く。
操作 1。$\bigcup\mathcal{P}$ は有界なので、それから離れた円板を置けばよい。
操作 2。$D_u=D(c_u,r_u)$ の境界の点で、ほかの円板に属さない点 $t$ をとる（lem-cpk-two により、ほかの円板と $D_u$ の共通部分は高々 1 点ずつなので、そのような点は有限個を除いてすべてである）。$t$ からほかの円板の和集合までの距離を $\delta>0$ とし、$0<\rho<\delta/2$ について、中心 $t+\rho\frac{t-c_u}{r_u}$、半径 $\rho$ の円板を加える。中心と $c_u$ の距離は $r_u+\rho$ なので $D_u$ と $t$ で接し、円板は $t$ を中心とする半径 $2\rho<\delta$ の円板に含まれるので、ほかの円板とは交わらない。
操作 3。$D_u$ と $D_w$ の接点を $t$ とする。まず $t$ はほかの円板 $D_k$ に属さない。実際、$t\in D_k$ なら lem-cpk-two により $D_k$ は $D_u$ とも $D_w$ とも $t$ で接するので、$c_k$ は $t$ から $t-c_u$ の向きにも $t-c_w$ の向きにも $r_k$ だけ進んだ点になるが、この 2 つの向きは逆向きなので矛盾する。$t$ からほかの円板の和集合までの距離を $\delta>0$ とする。座標を、$t$ が原点、$c_u=(-a,0)$、$c_w=(b,0)$（$a=r_u$、$b=r_w$）となるようにとる。$\rho>0$ について
$$ c(\rho):=\Bigl(\frac{(a-b)\rho}{a+b},\ \frac{2\sqrt{ab\rho(a+b+\rho)}}{a+b}\Bigr) $$
とおくと、$\lvert c(\rho)-c_u\rvert=a+\rho$、$\lvert c(\rho)-c_w\rvert=b+\rho$ である。実際、$c(\rho)=(x,y)$ と書くと $(a+b)(x+a)=a(a+b)+(a-b)\rho$ なので
$$ (a+b)^2\bigl((x+a)^2+y^2\bigr)=\bigl(a(a+b)+(a-b)\rho\bigr)^2+4ab\rho(a+b+\rho)=(a+b)^2(a+\rho)^2 $$
であり（右の等号は展開して $\rho$ の各次の係数を比べる）、$c_w$ については $(a+b)(b-x)=b(a+b)+(b-a)\rho$ と $y$ が $a,b$ について対称であることから、$a$ と $b$ を入れかえた同じ計算になる。$\rho\to0$ で $\lvert c(\rho)\rvert+\rho\to0$ なので、$\lvert c(\rho)\rvert+\rho<\delta$ となる $\rho$ をとり、円板 $D(c(\rho),\rho)$ を加える。これは $D_u$・$D_w$ と接し、原点を中心とする半径 $\delta$ 未満の円板に含まれるので、ほかの円板とは交わらない。
いずれの操作でも、新しい円板はほかの円板と内部が交わらず、指定した円板とだけ交わるので、新しい族は円充填で、接触グラフは操作後のグラフである。誘導部分グラフについては、定義の後に述べたとおり円板を取り除けばよい。$\square$

森は、各連結成分を 1 頂点から操作 2 で作り、成分を操作 1 で加えれば得られる。
三角形分割のグラフ $G$ が thm-cpk-ear の操作で作れることを、頂点の数 $n\ge3$ についての帰納法で示す。$n=3$ なら $G=K_3$ で、1 頂点から操作 2・操作 3 で作れる。$n\ge4$ とする。凸多角形に描いた $G$ は外平面グラフで、多角形の周がすべての頂点を通る閉路なので 2-連結である。外平面グラフ の補題「次数 2 の頂点が 2 つある」により、次数 $2$ の頂点 $x$ がある。$x$ の辺は多角形の 2 辺 $xa,xb$ だけである。$x$ を含む三角形は $x$ を頂点とし（$x$ は凸多角形の角の点なので、ほかの頂点の凸結合にならない）、$x$ での 2 辺は $G$ の辺なので、この三角形は $xab$ で、$ab$ は $G$ の辺（多角形の辺か対角線）である。$xab$ を除いた残りの三角形は、$x$ を除いた頂点の凸包（凸多角形）を交わらない対角線で分けたものになっている。帰納法の仮定により $G-x$ は操作で作れ、$G$ は $G-x$ に操作 3（辺 $ab$）を施して得られる。$\square$

余弦定理により
$$ \cos\alpha=\frac{(x+y)^2+(x+z)^2-(y+z)^2}{2(x+y)(x+z)}=\frac{(x+y)(x+z)-2yz}{(x+y)(x+z)} $$
である（分子は $2x^2+2xy+2xz-2yz$）。$\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}=\frac{2}{(1+x/y)(1+x/z)}$ は $x$ について狭義に減少し、$y,z$ のそれぞれについて狭義に増加する。$\arccos$ は狭義に減少するので主張を得る。同次性は式から明らかである。$\square$

$t_v:=r_v/r'_v$ とおき、$M:=\max_vt_v$ とする。$M>1$ と仮定して矛盾を導く（これが示されれば、$r$ と $r'$ を入れかえて $r'_v/r_v\le1$ も分かり、$r=r'$ となる）。外側の 3 頂点では $t=1$ なので、$t_v=M$ となる頂点はどれも内部の頂点である。
段 1（最大の頂点の隣も最大）。$t_v=M$ となる内部の頂点 $v$ をとる。$v$ を含む内側の面 $vuw$ について、lem-cpk-angle の同次性と単調性から
$$ \alpha(r'_v;r'_u,r'_w)=\alpha(Mr'_v;Mr'_u,Mr'_w)=\alpha(r_v;Mr'_u,Mr'_w)\ge\alpha(r_v;r_u,r_w) $$
である（$r_u\le Mr'_u$、$r_w\le Mr'_w$）。$y,z$ について別々に狭義に増加するので、等号は $r_u=Mr'_u$ かつ $r_w=Mr'_w$ のときだけである。$v$ を含む内側の面すべてで和をとると左辺の和は $2\pi$、右辺の和も $2\pi$ なので、すべての面で等号が成り立つ。$v$ から出る各辺 $vu$ はある面の境界にのり（Die25 Lemma 4.2.2、p. 97）、$v$ は外側の面の境界にないのでその面は内側の面 $vuw$ である。よって $v$ の隣接頂点はすべて $t=M$ を満たす。
段 2（外側へ伝わる）。$G$ は連結なので、$t_v=M$ の内部の頂点 $v$ から $v_1$ への道 $v=w_0,w_1,\dots,w_k=v_1$ がある。$w_j$ を道で最初に現れる外側の頂点とすると、$w_0,\dots,w_{j-1}$ は内部の頂点で、段 1 をくり返して $t_{w_0}=\cdots=t_{w_j}=M$ を得る。しかし $t_{w_j}=1< M$ なので矛盾する。 $\square$