H空間

要点：$\mu'(y,e')=f(\mu(g(y),e))$ を、$R$ で $f(g(y))$ に、さらに $f\circ g\simeq\mathrm{id}_Y$ で $y$ に変形する。

要点：$X\vee X$ の上で単位元のホモトピー $R,L$ を貼り合わせたホモトピーを、対 $(X\times X,X\vee X)$ のホモトピー拡張性質で $X\times X$ 全体へ延ばし、その終点を $\mu'$ とする。

要点：ループ $f,g$ について、$t\mapsto\mu(f(t),g(t))$ は $f\cdot g$ とも $g\cdot f$ とも端点を止めてホモトピックである。$(f,g)$ を $(f\cdot c,c\cdot g)$ と $(c\cdot f,g\cdot c)$（$c$ は定値ループ）に変形してから $\mu$ を合成し、単位元のホモトピーで $\mu(f,e)$ を $f$ に、$\mu(e,g)$ を $g$ に戻す。

$\mu^*$ は環準同型で次数を保ち、$\theta$ は次数付き代数の同型なので、$\Delta$ は次数を保つ代数の準同型である。
$\varepsilon\colon H^*\to R$ を、$H^0=R\cdot1$ への射影（正の次数の成分を $0$ にする写像）とする。$i_1,i_2\colon X\to X\times X$ を $i_1(x):=(x,e)$、$i_2(x):=(e,x)$ とし、$c_e\colon X\to X$ を $e$ への定値写像とする。$c_e$ は 1 点を経由するので、$c_e^*$ は正の次数で $0$ であり、$c_e^*(1)=1$ である。すなわち $c_e^*(b)=\varepsilon(b)\cdot1$ である。$p_1\circ i_1=\mathrm{id}$、$p_2\circ i_1=c_e$ なので、カップ積の自然性から
$$ i_1^*\theta(a\otimes b)=a\smile c_e^*b=\varepsilon(b)\,a $$
となる。同様に $i_2^*\theta(a\otimes b)=\varepsilon(a)\,b$ である。
H 空間の定義により $\mu\circ i_1\simeq\mathrm{id}_X$ なので $i_1^*\mu^*=\mathrm{id}$ であり、$\alpha\in H^n$ について
$$ \alpha=i_1^*\theta(\Delta\alpha)=(\mathrm{id}\otimes\varepsilon)(\Delta\alpha) $$
である（$H^*\otimes_RR=H^*$ と同一視した）。$\Delta\alpha$ を $\bigoplus_{p+q=n}H^p\otimes_RH^q$ の成分に分けると、$H^n\otimes_RH^0=H^n\otimes R\cdot1$ の成分は $a\otimes1$ の形であり、$\mathrm{id}\otimes\varepsilon$ はこの成分だけを $a$ として残してほかの成分を $0$ にする。よって $a=\alpha$、すなわち $H^n\otimes H^0$ の成分は $\alpha\otimes1$ である。$i_2$ を使えば、同じく $H^0\otimes H^n$ の成分は $1\otimes\alpha$ である。$n>0$ なら、残りの成分は $p,q>0$ の $H^p\otimes H^q$ にある。$\square$

要点：H 空間の構造があるとすると、hsp-thm-coproduct により最低次の生成元は原始元で、$\Delta$ は代数の準同型である。1 では $0=\Delta(u^2)=2\,u\otimes u$、2 では $0=\Delta(\alpha^{n+1})$ の $\alpha\otimes\alpha^n$ の係数 $n+1$、3 では $\mathbb{Z}/2$ 係数で $\binom{n+1}{i}$ がすべて偶数であることが要求され、どれも成り立たない。

生成元の選び方。 次数 $d>0$ について、$\bigoplus_{0< j< d}A^j$ が生成する部分代数の次数 $d$ の部分を $D^d$ とし、$D^d$ の $A^d$ での補空間の基底を選ぶ。選んだ元を、次数が減らない順に $z_1,z_2,\dots$ と並べる（各次数に有限個）。次数に関する帰納法で、$A$ は $z_1,z_2,\dots$ で生成される。$A_n$ を $z_1,\dots,z_n$ が生成する部分代数とする。$A_{n-1}$ の次数 $|z_n|$ の部分は、$D^{|z_n|}$ と、$z_n$ より前に選んだ同じ次数の元で張られるので、$z_n\notin A_{n-1}$ である。また、$\Delta(z_n)$ の $z_n\otimes1+1\otimes z_n$ 以外の項は、正で $|z_n|$ より小さい次数の元のテンソルであり、そのような元は $z_n$ より前の生成元で書けるので、$\Delta(A_n)\subset A_n\otimes A_n$ である。
帰納法の形。 $|z_n|$ が奇数なら、次数付き可換性から $z_n^2=-z_n^2$、標数が $2$ でないので $z_n^2=0$ である。次数付き可換性により、$A_{n-1}\otimes B_n\to A_n$、$a\otimes b\mapsto ab$ は代数の準同型である。ここで $B_n$ は、$|z_n|$ が偶数なら $F[z_n]$、奇数なら $\Lambda_F[z_n]$ である。これは全射なので、単射を示せば $A_n\cong A_{n-1}\otimes B_n$ となり、$n$ に関する帰納法と $A=\bigcup_nA_n$ から定理が従う。
補助の商。 $I\subset A_n$ を、$z_n^2$ と $A_{n-1}$ の正の次数の元とが生成するイデアルとする。$I$ の次数 $|z_n|$ の元は、正の次数の $a\in A_{n-1}$ と次数 $<|z_n|$ の元（これは $A_{n-1}$ に入る）の積の和なので $A_{n-1}$ に入る。よって $z_n\notin I$ であり、$A_n/I$ での像 $\bar z_n$ は $0$ でない。また $\bar z_n^2=0$ である。代数の準同型 $q\colon A_n\otimes A_n\to A_n\otimes(A_n/I)$ を $\mathrm{id}\otimes(\text{商写像})$ とする。$a\in A_{n-1}$ については、$\Delta(A_{n-1})\subset A_{n-1}\otimes A_{n-1}$ と余積の形（斉次元ごとに見る）から、$\Delta(a)-a\otimes1$ は $A_{n-1}\otimes\bigl(\bigoplus_{j>0}A_{n-1}^j\bigr)$ に入るので $q$ で消え、$q\Delta(a)=a\otimes1$ である。同様に $q\Delta(z_n)=z_n\otimes1+1\otimes\bar z_n$ である。
偶数次の場合。 核の $0$ でない斉次元があるとして、$\sum_{i=0}^ma_i\otimes z_n^i$（$a_i\in A_{n-1}$、$a_m\ne0$）と書いたときの $m$ が最小のものをとる。$m=0$ なら $a_0=0$ となるので $m\ge1$ である。$z_n\otimes1$ と $1\otimes\bar z_n$ は可換で $(1\otimes\bar z_n)^2=0$ なので、$(z_n\otimes1+1\otimes\bar z_n)^i=z_n^i\otimes1+i\,z_n^{i-1}\otimes\bar z_n$ である。関係式 $\sum_ia_iz_n^i=0$ に代数の準同型 $q\Delta$ を施すと
$$ 0=\sum_i(a_i\otimes1)(z_n^i\otimes1+i\,z_n^{i-1}\otimes\bar z_n)=\Bigl(\sum_ia_iz_n^i\Bigr)\otimes1+\Bigl(\sum_{i\ge1}i\,a_iz_n^{i-1}\Bigr)\otimes\bar z_n $$
となる。第 1 項は $0$ で、$\bar z_n\ne0$ なので（体の上のテンソル積では $u\otimes v=0$、$v\ne0$ なら $u=0$）、$\sum_{i\ge1}i\,a_iz_n^{i-1}=0$ である。標数が $0$ なので $m\,a_m\ne0$ であり、これは $z_n$ の冪が $m-1$ までの核の $0$ でない元を与える（$m=1$ なら $a_1=0$ を意味する）。どちらも $m$ の最小性または $a_m\ne0$ に反する。
奇数次の場合。 核の元 $a_0\otimes1+a_1\otimes z_n$ で $a_1\ne0$ のものがあるとする（$a_1=0$ なら $a_0=0$）。$a_0+a_1z_n=0$ に $q\Delta$ を施すと、$0=(a_0+a_1z_n)\otimes1+a_1\otimes\bar z_n=a_1\otimes\bar z_n$ となり、$a_1=0$ が従って矛盾する。$\square$

要点：$H^*(X;\mathbb{Q})$ に Hopf の定理を当てる。有限 CW 複体ならコホモロジーは有限次元なので多項式の生成元はなく、外積代数の Poincaré 多項式 $\prod_i(1+t^{|x_i|})$ に $t=-1$ を代入すると $0$ になる。