Torricelliのラッパ

同義語：トリチェリのラッパGabrielのラッパガブリエルのラッパTorricelli's trumpetGabriel's horn

概要

前提知識: 回転体の表面積, 体積と回転体, 球の体積と表面積, 無限級数の和と収束判定

高校での出発点：無限に長いラッパ

曲線 $y=\dfrac1x$（$x\ge1$）を $x$ 軸のまわりに回すと、右へ無限に伸び、先に行くほど細くなるラッパの形の面ができる。この面で囲まれた立体の体積と、面の面積を考える。立体は無限に長いので、まず $x=1$ から $x=R$ までの部分で計算し、$R$ を大きくする。

$x=10$ までの体積

$1\le x\le10$ の部分の体積は、円板法（体積と回転体の定理「円板法」）で
$$ V(10)=\pi\int_1^{10}\Bigl(\frac1x\Bigr)^2dx=\pi\Bigl[-\frac1x\Bigr]_1^{10}=\pi\Bigl(1-\frac1{10}\Bigr)=0.9\pi $$
である。$x=100$ までなら $0.99\pi$、$x=1000$ までなら $0.999\pi$ で、$\pi$ を越えない。

$x=10$ までの面の面積

$1\le x\le10$ の部分の面の面積は、球の体積と表面積の定理「回転面の面積の公式」で
$$ S(10)=2\pi\int_1^{10}\frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}}\,dx $$
である。この積分は数値で計算すると $15.177\cdots$ である。$\sqrt{1+\frac1{x^4}}\ge1$ なので、$S(10)\ge2\pi\displaystyle\int_1^{10}\frac{dx}x=2\pi\log10=14.47\cdots$ である。$x=100$ までなら $29.65\cdots$、$x=1000$ までなら $44.11\cdots$ で、$x$ の範囲を 10 倍にするたびに約 $14.5$ ずつ増える。

体積は $\pi$ に近づくのに、面の面積は増え続ける。この記事で答える問いは次の 2 つである。

体積は本当に $\pi$ に近づき、面の面積は本当に限りなく大きくなるか。→ thm-tor-main

$y=\frac1x$ を $y=x^{-p}$ に替えると、どこが境目になるか。→ thm-tor-power

高校の計算	この記事の言葉
$\int_1^R\frac{dx}{x^2}=1-\frac1R$	体積は有限（$\pi$）
$\int_1^R\frac{dx}x=\log R$	面積は無限大
調和級数 $\sum\frac1k$ は発散する	積分の発散と同じ現象

無限に長い立体の体積と面積

ラッパの体積と面積

$p>0$ とし、曲線 $y=x^{-p}$（$x\ge1$）を $x$ 軸のまわりに回してできる面を考える。$R>1$ について、$1\le x\le R$ の部分の立体の体積を $V(R)$、面の面積を $S(R)$ とする。

$R\to\infty$ のとき $V(R)$ がある値 $V$ に近づくなら、立体の 体積は有限 で $V$ であるという。$V(R)$ が限りなく大きくなるなら、体積は無限大 という。
面積についても、$S(R)$ で同じように定める。
$p=1$、つまり $y=\frac1x$ のときの立体と面を Torricelli のラッパ（Gabriel のラッパ）という。

これは、区間の端が無限大の積分（広義積分）$\int_1^\infty$ を $\lim_{R\to\infty}\int_1^R$ で定めることと同じである（Gauss積分（高校数学）の定義「広義積分の収束」）。$V(R)$ と $S(R)$ は、円板法と回転面の面積の公式で
$$ V(R)=\pi\int_1^Rx^{-2p}\,dx,\qquad S(R)=2\pi\int_1^Rx^{-p}\sqrt{1+p^2x^{-2p-2}}\,dx $$
と書ける（$f(x)=x^{-p}$ のとき $f'(x)=-px^{-p-1}$ は $[1,R]$ で連続で、$f'^2=p^2x^{-2p-2}$）。

主定理 1：体積は $\pi$、面積は無限大

Torricelli のラッパ

$y=\dfrac1x$（$x\ge1$）を $x$ 軸のまわりに回してできる立体の体積は有限で $\pi$ であり、面の面積は無限大である。より詳しく、$R>1$ について
$$ V(R)=\pi\Bigl(1-\frac1R\Bigr),\qquad S(R)\ge2\pi\log R $$
である。

段 1（体積）。$p=1$ では $V(R)=\pi\displaystyle\int_1^R\frac{dx}{x^2}=\pi\Bigl[-\frac1x\Bigr]_1^R=\pi\Bigl(1-\frac1R\Bigr)$ である。$R\to\infty$ のとき $\frac1R\to0$ なので、$V(R)\to\pi$ である。
段 2（面積の下からのおさえ）。$x\ge1$ で $\sqrt{1+\frac1{x^4}}\ge1$ なので、被積分関数について $\dfrac1x\sqrt{1+\dfrac1{x^4}}\ge\dfrac1x$ である。積分は被積分関数の大小を保つので
$$ S(R)=2\pi\int_1^R\frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}}\,dx\ge2\pi\int_1^R\frac{dx}x=2\pi\Bigl[\log x\Bigr]_1^R=2\pi\log R $$
である。
段 3（面積は無限大）。$\log R$ は $R\to\infty$ のとき限りなく大きくなる（たとえば $R=e^n$ で $\log R=n$）。段 2 から $S(R)$ も限りなく大きくなる。$\square$

y=1/x（1≦x≦8）を x 軸のまわりに回したラッパの形の面（左）と、回す前のグラフ（右）
左は x=1 から R までの面積 S(R) が 2π log R より上にあって増え続ける様子、右は体積 V(R) が π に近づく様子を表すグラフ
図 2 の左で、$S(R)$ と $2\pi\log R$ の差は $R$ が大きくなってもほとんど変わらず（$R=10,100,1000$ で $0.710$、$0.710$、$0.710$）、どちらも同じ速さで増える。右の $V(R)$ は $\pi$ の線に下から近づく。
段 2 の $\int_1^R\frac{dx}x=\log R$ が限りなく大きくなることは、調和級数 $1+\frac12+\frac13+\cdots$ が発散すること（無限級数の和と収束判定の命題「調和級数は発散する」）と同じ現象である。$\frac1x$ のグラフの下の面積と、幅 $1$ の長方形の面積の和 $\sum\frac1k$ を比べると、どちらも限りなく大きくなる（積分と和の類似）。

主定理 2：$y=x^{-p}$ での境目

$y=\frac1x$ では「体積は有限、面積は無限大」になった。指数 $p$ を変えると、それぞれがいつ有限になるかが決まる。まず、もとになる積分を調べる。

$x^{-q}$ の積分

$q>0$ とする。$R\to\infty$ のとき、$\displaystyle\int_1^Rx^{-q}\,dx$ は $q>1$ なら $\dfrac1{q-1}$ に近づき、$q\le1$ なら限りなく大きくなる。

$q\ne1$ なら $\displaystyle\int_1^Rx^{-q}\,dx=\Bigl[\frac{x^{1-q}}{1-q}\Bigr]_1^R=\frac{R^{1-q}-1}{1-q}$ である。$q>1$ なら $1-q<0$ で $R^{1-q}\to0$ なので、積分は $\dfrac{-1}{1-q}=\dfrac1{q-1}$ に近づく。$0< q<1$ なら $1-q>0$ で $R^{1-q}$ は限りなく大きくなるので、積分も限りなく大きくなる。$q=1$ なら積分は $\log R$ で、限りなく大きくなる。$\square$

体積と面積が有限になる境目

$p>0$ とし、$y=x^{-p}$（$x\ge1$）を $x$ 軸のまわりに回す。
(1) 立体の体積が有限 $\iff p>\dfrac12$。このとき体積は $\dfrac{\pi}{2p-1}$ である。
(2) 面の面積が有限 $\iff p>1$。
したがって、$\dfrac12< p\le1$ のとき「体積は有限で、面積は無限大」になる。

段 1（体積）。$V(R)=\pi\displaystyle\int_1^Rx^{-2p}\,dx$ なので、lem-tor-power を $q=2p$ で使うと、$2p>1$ なら $V(R)\to\dfrac\pi{2p-1}$、$2p\le1$ なら $V(R)$ は限りなく大きくなる。
段 2（面積を挟む）。$x\ge1$ では $x^{-2p-2}\le1$ なので
$$ 1\le\sqrt{1+p^2x^{-2p-2}}\le\sqrt{1+p^2} $$
である。各辺に $x^{-p}>0$ を掛けて $1$ から $R$ まで積分すると
$$ 2\pi\int_1^Rx^{-p}\,dx\le S(R)\le2\pi\sqrt{1+p^2}\int_1^Rx^{-p}\,dx $$
である。
段 3（$p\le1$）。lem-tor-power を $q=p$ で使うと、左辺は限りなく大きくなるので、$S(R)$ も限りなく大きくなる。
段 4（$p>1$）。$S(R)$ は $R$ について増加する（$R$ を大きくすると、正の関数を積分する範囲が広がる）。段 2 の右辺は、lem-tor-power の計算から $2\pi\sqrt{1+p^2}\cdot\dfrac{1-R^{1-p}}{p-1}$ で、これは $M=\dfrac{2\pi\sqrt{1+p^2}}{p-1}$ 以下である。よって数列 $S(2),S(3),S(4),\ldots$ は増加し、上に有界なので、無限級数の和と収束判定の定理「単調有界数列の収束」により、ある値 $L$ に近づく。$R$ が整数でないときも、$R$ 以下で最大の整数を $n$ とすると $S(n)\le S(R)\le S(n+1)$ で、両側が $L$ に近づくので $S(R)\to L$ である。よって面積は有限である。$\square$

段 4 では、$S(R)$ の値そのものは求めずに、増加して上に有界であることだけから極限があると結論した。$S(R)$ の積分は、$p=2$ などでも原始関数を簡単には書けない。

$p$	体積	面の面積	$x\le10^6$ までの面積（数値）
$0.4$	無限大	無限大	$41679$
$0.5$	無限大	無限大	$12554$
$0.75$	$2\pi$	無限大	$770.1$
$1$	$\pi$	無限大	$87.52$
$1.5$	$\frac\pi2$	有限（$13.62\cdots$）	$13.61$
$2$	$\frac\pi3$	有限（$7.612\cdots$）	$7.612$

表の最後の列は、$x$ を $10^6$ で止めたときの数値である。止める場所をさらに遠くにすると、$p\le1$ の行は増え続け、$p>1$ の行はほとんど変わらない。ただし、数値だけでは有限か無限大かは決まらない（$p=1$ の行も $10^6$ までなら $87.5$ にすぎない）。決めているのは主定理 2 の証明である。

塗料のパラドックス

Wei26 は、このラッパについて「中を $\pi$ 立方単位の塗料で満たせるのに、表面を覆うには無限の量の塗料が要る」という言い方を紹介している。面積が無限大の面の内側を塗料で満たせるのは、矛盾ではないのだろうか。

一定の厚さで外側を塗る

ラッパの外側に、厚さ $d>0$ の塗料の層を一様に付けるとする。$x$ の位置での層の断面は、内径 $\frac1x$、外径 $\frac1x+d$ の円環で、$x=1$ から $X$ までの層の体積は、円板法と同じ考え方で
$$ \pi\int_1^X\Bigl\{\Bigl(\frac1x+d\Bigr)^2-\frac1{x^2}\Bigr\}dx=\pi\int_1^X\Bigl(\frac{2d}x+d^2\Bigr)dx=\pi\bigl(2d\log X+d^2(X-1)\bigr) $$
である。$d=0.01$ では $X=10$ で $0.148$、$X=1000$ で $0.748$、$X=10^6$ で $315.0$ で、$X\to\infty$ のとき限りなく大きくなる。厚さがどんなに薄くても一定なら、外側を塗るには無限の量の塗料が要る。

一方、内側を満たす $\pi$ の塗料は、どこでも同じ厚さの層にはなっていない。$x$ の位置でのラッパの半径は $\frac1x$ なので、$x>\frac1d$ の所では、厚さ $d$ の層はもう中に入りきらない。中を満たした塗料が面に触れている部分の「厚さ」は、奥へ行くほど $0$ に近づく。
「塗料の量 $\approx$ 面積 $\times$ 厚さ」という見積もりは、厚さが一定で、面の曲がり方に比べて薄いときの近似である。中を満たした塗料はこの前提を満たさないので、面積が無限大でも体積が有限であることと矛盾しない。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
回す範囲が $x\ge1$（$0< x\le1$ にする）	$y=\frac1x$（$0< x\le1$）	体積は有限（体積も無限大）
$p>\frac12$（主定理 2 (1)）	$p=0.4$	体積は有限（体積も無限大）
面積を回転面の公式で計算する（円柱で近似する）	$p=1.5$ で $2\pi\int x^{-p}dx$	面積の値（$4\pi=12.57$ になり、$13.62$ と合わない）
「体積が有限なら面積も有限」と考える	$p=1$（主定理 1）	その考え（体積 $\pi$、面積は無限大）

反例の確認

$0<\varepsilon\le x\le1$ の部分の体積は $\pi\displaystyle\int_\varepsilon^1\frac{dx}{x^2}=\pi\Bigl(\frac1\varepsilon-1\Bigr)$ で、$\varepsilon\to+0$ のとき限りなく大きくなる。グラフが $y$ 軸に沿って限りなく高くなるので、半径が大きすぎて体積が有限にならない。面の面積も無限大である。$\sqrt{1+\frac1{x^4}}\ge\frac1{x^2}$ なので、$\varepsilon\le x\le1$ の部分の面積は $2\pi\displaystyle\int_\varepsilon^1\frac1x\cdot\frac1{x^2}\,dx=\pi\Bigl(\frac1{\varepsilon^2}-1\Bigr)$ 以上で、これも限りなく大きくなる。
$p=0.4$ では $2p=0.8\le1$ なので、lem-tor-power により体積は無限大である。
面の面積を円柱の帯で近似して $2\pi\int_1^\infty x^{-p}dx$ とすると、$p=1.5$ で $\dfrac{2\pi}{0.5}=4\pi=12.566$ になる。正しい値は $13.62\cdots$ で、合わない。体積と回転体の注意「同じ近似で表面積を求めると誤る」のとおり、傾きの分 $\sqrt{1+f'^2}$ を落としている。この場合、近似でも「有限」という結論は変わらないが、値は誤る。

大学数学で見る

「有限の体積で無限の面積」は、積分 $\int_1^\infty\frac{dx}{x^q}$ が $q>1$ で収束し $q\le1$ で発散するという、広義積分の最も基本的な判定（広義積分）を回転体に当てはめたものである。体積は半径の 2 乗 $x^{-2p}$、面積はほぼ半径そのもの $x^{-p}$ の積分なので、境目が $p=\frac12$ と $p=1$ に分かれる。
同じことは級数でも起こる。$\sum\frac1{k^2}$ は収束し（Basel問題）、$\sum\frac1k$ は発散する。半径 $\frac1k$、厚さ $1$ の円板を並べた立体は、体積 $\pi\sum\frac1{k^2}$ が有限で、側面の面積 $2\pi\sum\frac1k$ が無限大である。