非推移的なサイコロ

同義語：Efronのサイコロnontransitive dice

概要

前提知識: 確率の定義と条件付き確率, 確率変数の期待値と分散, 場合の数の数え方の体系

高校での出発点：どちらのサイコロが強いか

2 人がそれぞれ自分のサイコロを 1 回ずつ振り、大きい目を出した方が勝つ。使うサイコロは普通の $1$ から $6$ の目のものではなく、6 つの面に好きな数を書いたものとする。どちらのサイコロが「強い」かは、勝つ確率を比べれば分かる。まず 2 組を計算してみる。

$A=(0,0,4,4,4,4)$ と $B=(3,3,3,3,3,3)$ の対戦

サイコロ $A$ の 6 つの面には $0,0,4,4,4,4$、サイコロ $B$ の 6 つの面にはすべて $3$ が書いてあるとする。どの面も確率 $\dfrac16$ で出て、2 つのサイコロの目は互いに独立であるとする。
(1) $A$ と $B$ の目の組は $6\times6=36$ 通りあり、どれも確率 $\dfrac1{36}$ で起こる。
(2) $B$ の目はいつも $3$ なので、$A$ が勝つのは $A$ の目が $4$ のとき、$B$ が勝つのは $A$ の目が $0$ のときである。$3$ と同じ数は $A$ にないので、引き分けはない。
(3) $A$ の目が $4$ になる組は、$A$ の $4$ の面 $4$ つと $B$ の面 $6$ つの組で $4\times6=24$ 通りある。よって
$$ P(A\text{ が勝つ})=\frac{24}{36}=\frac23,\qquad P(B\text{ が勝つ})=\frac{12}{36}=\frac13 $$
である。$A$ は $B$ より強い。

$B=(3,3,3,3,3,3)$ と $C=(2,2,2,2,6,6)$ の対戦

サイコロ $C$ の面には $2,2,2,2,6,6$ が書いてあるとする。$B$ の目はいつも $3$ なので、$B$ が勝つのは $C$ の目が $2$ のとき、$C$ が勝つのは $C$ の目が $6$ のときである。$C$ の目が $2$ になる確率は $\dfrac46=\dfrac23$ なので
$$ P(B\text{ が勝つ})=\frac23,\qquad P(C\text{ が勝つ})=\frac13 $$
である。$B$ は $C$ より強い。

ex-ntd-start-ab と ex-ntd-start-bc から、$A$ は $B$ より強く、$B$ は $C$ より強い。数の大小なら「$a>b$ かつ $b>c$ ならば $a>c$」なので、$A$ は $C$ よりさらに強いと予想したくなる。ところが実際に計算すると、$C$ の方が $A$ より勝ちやすい（ex-ntd-ac-bd）。さらに $D=(1,1,1,5,5,5)$ というサイコロを加えると、$A$ は $B$ に、$B$ は $C$ に、$C$ は $D$ に、$D$ は $A$ に、どれも確率 $\dfrac23$ で勝つ輪ができる（図 1）。このような組を 非推移的なサイコロ という。
4 つのサイコロ A、B、C、D と、勝ちやすい向きの矢印。どの矢印の組でも、矢印の根元のサイコロが確率 2/3 で勝つ
この記事で答える問いは次の 4 つである。

「強い」はどのように定めるか。どんな性質があるか。→ def-ntd-strong、prop-ntd-asym
図 1 の輪は本当にできるか。相手が先にサイコロを選ぶと、後から選ぶ人は何ができるか。→ thm-ntd-main、cor-ntd-choose
期待値で強さを比べると、どうなるか。→ thm-ntd-mean

期待値がすべて等しいサイコロや、2 回振った和で比べる場合には何が起こるか。→ ex-ntd-mean5、ex-ntd-cx-sum

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
$36$ 通りの目の組のうち勝つ組を数える	勝つ確率 $P(X>Y)$	独立な確率変数の大小の確率
「$X$ の方が勝ちやすい」	$X$ は $Y$ より強い	集合の上の 2 項関係
$a>b$、$b>c$ から $a>c$	推移的	推移律（順序の条件の 1 つ）
期待値の大小で比べる	期待値で比べる強さ	実数値の関数による比較

言葉の準備：勝つ確率と「強い」

この記事の「サイコロ」は、6 つの面に実数を 1 つずつ書いたもので、面の数の並び $X=(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ で表す。同じ数を何度書いてもよい。

サイコロの対戦と「強い」

2 つのサイコロ $X=(x_1,\ldots,x_6)$、$Y=(y_1,\ldots,y_6)$ を 1 回ずつ振る。次を仮定する。
(R1) どちらのサイコロも、6 つの面が同じ確率 $\dfrac16$ で出る。
(R2) 2 つのサイコロの目は互いに独立である。
このとき $X$ の目が $Y$ の目より大きい確率を $P(X>Y)$ と書く。$P(X>Y)>P(Y>X)$ のとき、$X$ は $Y$ より強い という。$P(X>Y)=P(Y>X)$ のとき、$X$ と $Y$ は互角であるという。

条件 (i)(ii) のもとでは、目の組 $(x_i,y_j)$（$i,j=1,\ldots,6$）の $36$ 通りがどれも確率 $\dfrac16\cdot\dfrac16=\dfrac1{36}$ で起こる（独立な試行の確率は積になる。確率の定義と条件付き確率）。したがって
$$ P(X>Y)=\frac{(x_i>y_j\text{ となる組 }(i,j)\text{ の個数})}{36} $$
である。$6\times6$ のます目を描き、行に $X$ の目、列に $Y$ の目を並べて、$X$ が勝つますに印をつけて数えればよい。
引き分け（$x_i=y_j$）の確率を $P(X=Y)$ と書くと、どの組も「$X$ の勝ち」「$Y$ の勝ち」「引き分け」のどれか 1 つなので
$$ P(X>Y)+P(Y>X)+P(X=Y)=1 $$
である。引き分けが起こらない（$X$ と $Y$ に共通の数がない）ときは $P(Y>X)=1-P(X>Y)$ なので、「$X$ は $Y$ より強い」は $P(X>Y)>\dfrac12$ と同じである。この記事の 4 つのサイコロ $A,B,C,D$ は、どの 2 つにも共通の数がないので、引き分けは起こらない。

ます目を数える

$C=(2,2,2,2,6,6)$ と $D=(1,1,1,5,5,5)$ の $36$ 個のますのうち、$C$ が勝つのは、$C$ の目が $6$ の $2\times6=12$ ますと、$C$ の目が $2$ で $D$ の目が $1$ の $4\times3=12$ ますで、合わせて $24$ ますである。$P(C>D)=\dfrac{24}{36}=\dfrac23$ で、$C$ は $D$ より強い。
普通のサイコロ $(1,2,3,4,5,6)$ を 2 つ振ると、$36$ ますのうち引き分けが $6$ ます、残りの $30$ ますは対角線の上と下に $15$ ますずつ分かれる。$P(X>Y)=P(Y>X)=\dfrac{15}{36}$ で、2 つは互角である。

「強い」には、数の大小と同じ性質が 1 つある。

「強い」は向きをもつ

どのサイコロ $X$ も $X$ 自身より強くない。また、$X$ が $Y$ より強いならば、$Y$ は $X$ より強くない。

$Y$ として $X$ と同じ面をもつサイコロをとる。$X$ が勝つ組は $x_i>x_j$ となる組 $(i,j)$、$Y$ が勝つ組は $x_i< x_j$ となる組 $(i,j)$ である。組 $(i,j)$ を $(j,i)$ に入れ替えると、前者と後者が 1 対 1 に対応するので、個数が等しく、$P(X>Y)=P(Y>X)$ である。等しい数の一方が他方より大きいことはないので、$X$ は $X$ 自身より強くない。
$X$ が $Y$ より強いとは $P(X>Y)>P(Y>X)$ のことである。$Y$ が $X$ より強いとは $P(Y>X)>P(X>Y)$ のことである。実数 $p,q$ について $p>q$ と $q>p$ は同時には成り立たないので、2 つは同時には成り立たない。$\square$

数の大小にはもう 1 つ、次の性質がある。

推移的

いくつかのものの間の関係「$X$ は $Y$ より強い」が 推移的 であるとは、次が成り立つことをいう：$X$ が $Y$ より強く、$Y$ が $Z$ より強いならば、$X$ は $Z$ より強い。

実数の大小 $a>b$ は推移的である（$a>b$、$b>c$ なら $a-c=(a-b)+(b-c)>0$）。サイコロの「強い」が推移的でないことを示すのが、次の節の主定理である。

主定理：4 つのサイコロの輪

4 つのサイコロの輪

4 つのサイコロ
$$ A=(0,0,4,4,4,4),\quad B=(3,3,3,3,3,3),\quad C=(2,2,2,2,6,6),\quad D=(1,1,1,5,5,5) $$
について、def-ntd-strong の条件 (i)(ii) のもとで
$$ P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)=\frac23 $$
である。したがって $A$ は $B$ より、$B$ は $C$ より、$C$ は $D$ より、$D$ は $A$ より強い。

方針：4 組のそれぞれで、勝ち負けを決めるのがどちらのサイコロの目かを見て、場合に分ける。4 つのサイコロは共通の数をもたないので、どの組でも引き分けはない。
段 1（$A$ と $B$）。$B$ の目はいつも $3$ である。$A$ の目が $4$ なら $A$ が勝ち、$0$ なら $B$ が勝つ。よって
$$ P(A>B)=P(A\text{ の目が }4)=\frac46=\frac23 $$
である（ex-ntd-start-ab と同じ計算）。
段 2（$B$ と $C$）。$B$ の目はいつも $3$ である。$C$ の目が $2$ なら $B$ が勝ち、$6$ なら $C$ が勝つ。よって
$$ P(B>C)=P(C\text{ の目が }2)=\frac46=\frac23 $$
である。
段 3（$C$ と $D$）。$C$ の目で場合に分ける。$C$ の目が $6$ なら、$D$ の目は $1$ か $5$ なので必ず $C$ が勝つ。$C$ の目が $2$ なら、$D$ の目が $1$ のときだけ $C$ が勝つ。2 つのサイコロの目は独立なので（条件 (ii)）、「$C$ の目が $2$ かつ $D$ の目が $1$」の確率は積 $\dfrac46\cdot\dfrac36$ である。2 つの場合は同時には起こらないので、確率を足して
$$ P(C>D)=\underbrace{\frac26}_{C\text{ の目が }6}+\underbrace{\frac46\cdot\frac36}_{C\text{ が }2,\ D\text{ が }1}=\frac13+\frac13=\frac23 $$
である。
段 4（$D$ と $A$）。$D$ の目で場合に分ける。$D$ の目が $5$ なら、$A$ の目は $0$ か $4$ なので必ず $D$ が勝つ。$D$ の目が $1$ なら、$A$ の目が $0$ のときだけ $D$ が勝つ。段 3 と同じく独立性から
$$ P(D>A)=\underbrace{\frac36}_{D\text{ の目が }5}+\underbrace{\frac36\cdot\frac26}_{D\text{ が }1,\ A\text{ が }0}=\frac12+\frac16=\frac23 $$
である。
どの組でも引き分けはないので、負ける方の確率は $1-\dfrac23=\dfrac13$ で、勝つ確率 $\dfrac23$ より小さい。よって 4 つの「強い」が成り立つ。$\square$

図 2 は、4 組の対戦の $6\times6$ のます目で、勝つますに○をつけたものである。どの組でも○は $24$ 個で、$\dfrac{24}{36}=\dfrac23$ になっている。
4 組の対戦の 6×6 のます目。行は矢印の根元のサイコロの目、列は相手の目で、○は行のサイコロが勝つます。どの組も ○ は 24 個
主定理から、推移性が成り立たないことがすぐに分かる。

「強い」は推移的でない

サイコロの「強い」は推移的でない。

推移的だと仮定して矛盾を導く。thm-ntd-main より $A$ は $B$ より強く、$B$ は $C$ より強いので、推移性から $A$ は $C$ より強い。$C$ は $D$ より強いので、もう一度推移性を使うと $A$ は $D$ より強い。一方 thm-ntd-main より $D$ は $A$ より強い。これは prop-ntd-asym（$A$ が $D$ より強いなら $D$ は $A$ より強くない）に反する。$\square$

輪があるので、4 つの中に「ほかのどれよりも強いサイコロ」はない。この事実は、次のような遊びに使える。

後から選ぶ人は $\frac23$ で勝てる

2 人の一方（相手）が $A,B,C,D$ から 1 つを先に選び、もう一方（自分）が残りの 3 つから 1 つを選んで対戦する。自分は次の表のように選べば、相手がどれを選んでも、確率 $\dfrac23$ で勝つ。

相手が選ぶ	$A$	$B$	$C$	$D$
自分が選ぶ	$D$	$A$	$B$	$C$
自分が勝つ確率	$P(D>A)=\frac23$	$P(A>B)=\frac23$	$P(B>C)=\frac23$	$P(C>D)=\frac23$

表の各列は、thm-ntd-main の 4 つの等式のどれかである。相手が $A$ を選べば、図 1 の輪で $A$ に矢印を向けている $D$ を選ぶ。ほかの列も同じく、相手のサイコロに矢印を向けているサイコロを選ぶ。$\square$

この遊びが GS06 の §5.1 の練習問題 42 の問いである（サイコロの目の数と $\dfrac23$ もそこにある）。後から選ぶ方が有利になるのは、「いちばん強いサイコロ」がないからである。先に選ぶ人は、どれを選んでも負けやすい相手を残してしまう。
輪をつくらない 2 組は、どうなっているだろうか。

輪に入らない 2 組

$A$ と $C$。$A$ の目で場合に分ける。$A$ の目が $0$ なら必ず負ける。$A$ の目が $4$ なら、$C$ の目が $2$ のときだけ勝つ。よって
$$ P(A>C)=\frac46\cdot\frac46=\frac{16}{36}=\frac49,\qquad P(C>A)=1-\frac49=\frac59 $$
で、$C$ は $A$ より強い。ex-ntd-start-ab と ex-ntd-start-bc で予想した「$A$ は $C$ より強い」は外れた。
$B$ と $D$。$B$ の目はいつも $3$ なので、$D$ の目が $1$ なら $B$ の勝ち、$5$ なら $D$ の勝ちで
$$ P(B>D)=P(D>B)=\frac36=\frac12 $$
である。$B$ と $D$ は互角である。

ex-ntd-ac-bd (2) のように、4 つのサイコロの中には互角の組もある。4 つの中の 6 組の関係をまとめると、$A\to B\to C\to D\to A$ の輪と、$C\to A$（$\frac59$）、$B$ と $D$ は互角、となる（次の節の図 3）。

期待値で比べると推移的になる

サイコロの強さを比べるもう 1 つの自然な方法は、目の期待値（平均）を比べることである。サイコロ $X=(x_1,\ldots,x_6)$ の目の期待値は
$$ E[X]=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_6}6 $$
である（確率変数の期待値と分散）。

4 つのサイコロの期待値

$$ E[A]=\frac{0+0+4\cdot4}6=\frac83,\quad E[B]=\frac{3\cdot6}6=3,\quad E[C]=\frac{2\cdot4+6\cdot2}6=\frac{10}3,\quad E[D]=\frac{1\cdot3+5\cdot3}6=3 $$
である。期待値の大きい順に並べると $C$、$B$ と $D$（同じ $3$）、$A$ となる。

期待値で比べる強さは推移的

サイコロ $X,Y,Z$ について、$E[X]>E[Y]$ かつ $E[Y]>E[Z]$ ならば $E[X]>E[Z]$ である。つまり「期待値が大きい」という関係は推移的である。

$E[X]$、$E[Y]$、$E[Z]$ は 3 つの実数である。$E[X]-E[Z]=(E[X]-E[Y])+(E[Y]-E[Z])$ で、右辺の 2 つの項はどちらも正なので、左辺も正である。$\square$

証明は実数の大小の推移性そのものである。同じ理由で、各サイコロに 1 つの実数（点数）を対応させ、点数の大小で比べる方法は、どんな点数を使っても推移的になる。cor-ntd-nontransitive と合わせると、次のことが分かる。

勝ちやすさを 1 つの点数では表せない

4 つのサイコロ $A,B,C,D$ に実数 $s(A),s(B),s(C),s(D)$ を対応させて、「$X$ が $Y$ より強い」と「$s(X)>s(Y)$」がどの 2 つについても一致するようにすることはできない。

そのような $s$ があると仮定する。thm-ntd-main より $s(A)>s(B)$、$s(B)>s(C)$、$s(C)>s(D)$、$s(D)>s(A)$ である。実数の大小の推移性から、はじめの 3 つより $s(A)>s(D)$ となり、4 つ目の $s(D)>s(A)$ と両立しない。$\square$

特に、期待値は勝ちやすさを表す点数にならない。図 3 は、4 つのサイコロを期待値の位置に並べ、「強い」の矢印を描いたものである。
4 つのサイコロを期待値の位置（横軸）に置き、強い方から弱い方へ矢印を描いた図。期待値の小さい A から大きい方の B へ矢印が出ていて、期待値の大小と矢印の向きが一致しない

期待値が小さい方が強い組

$E[A]=\dfrac83<3=E[B]$ だが、thm-ntd-main より $A$ は $B$ より強い（勝つ確率 $\dfrac23$）。$A$ の目は $0$ か $4$ で、$B$ の $3$ に対して「$4$ なら勝ち、$0$ なら負け」が決まるだけである。$A$ が負けるときの目 $0$ は $3$ より $3$ も小さく、これが期待値を下げているが、勝ち負けには「どれだけ小さいか」は関係しない。
一方、$E[C]=\dfrac{10}3>\dfrac83=E[A]$ で $C$ は $A$ より強く（ex-ntd-ac-bd）、この組では期待値の大小と強さが一致する。期待値の大小と強さは、一致する組も一致しない組もある。

ex-ntd-ev-mismatch の説明が、非推移性の仕組みでもある。勝ち負けは「相手の目より大きいか小さいか」だけで決まり、差の大きさは使われない。4 つのサイコロの勝ち方を見直すと、

$A$ は、$4$ の面の多さで $B$ に勝つ。
$B$ は、$C$ の $2$ の面の多さにつけこんで勝つ。
$C$ は、$6$ の面で必ず勝ち、$2$ の面でも $D$ の $1$ には勝つ。
$D$ は、$5$ の面で必ず勝ち、$1$ の面でも $A$ の $0$ には勝つ。
と、組ごとに違う面が勝ちを稼いでいる。1 つの点数で比べると、どの組でも同じ物差しを使うことになり、このような「相性」は表せない。
期待値がすべて等しいサイコロでも輪ができる。

期待値がどれも $5$ の 3 つのサイコロ

$$ F=(2,2,4,4,9,9),\quad G=(1,1,6,6,8,8),\quad H=(3,3,5,5,7,7) $$
とする。期待値は
$$ E[F]=\frac{2(2+4+9)}6=5,\quad E[G]=\frac{2(1+6+8)}6=5,\quad E[H]=\frac{2(3+5+7)}6=5 $$
で、3 つとも等しい。どの面の数も $3$ つのサイコロの間で重ならないので、引き分けはない。
(1) $F$ と $G$。$F$ の目で場合に分ける。$F$ の目が $9$ なら必ず勝つ。$F$ の目が $4$ なら、$G$ の目が $1$ のときだけ勝つ。$F$ の目が $2$ なら、$G$ の目が $1$ のときだけ勝つ。よって
$$ P(F>G)=\frac26+\frac26\cdot\frac26+\frac26\cdot\frac26=\frac13+\frac19+\frac19=\frac59 $$
で、$F$ は $G$ より強い。
(2) 同じように場合に分けると、$P(G>H)=\dfrac59$、$P(H>F)=\dfrac59$ である（計算は下に畳む）。

$P(G>H)$ と $P(H>F)$ の計算を開く

$G$ と $H$：$G$ の目が $8$ なら必ず勝つ（$H$ の最大は $7$）。$G$ の目が $6$ なら、$H$ の目が $3$ か $5$ のとき勝つ。$G$ の目が $1$ なら必ず負ける。よって $P(G>H)=\dfrac26+\dfrac26\cdot\dfrac46=\dfrac13+\dfrac29=\dfrac59$ である。

$H$ と $F$：$H$ の目が $3$ なら、$F$ の目が $2$ のとき勝つ。$H$ の目が $5$ なら、$F$ の目が $2$ か $4$ のとき勝つ。$H$ の目が $7$ でも、$F$ の目が $2$ か $4$ のとき勝ち、$9$ には負ける。よって $P(H>F)=\dfrac26\cdot\dfrac26+\dfrac26\cdot\dfrac46+\dfrac26\cdot\dfrac46=\dfrac19+\dfrac29+\dfrac29=\dfrac59$ である。

$F$ は $G$ に、$G$ は $H$ に、$H$ は $F$ に、どれも確率 $\dfrac59$ で勝つ（図 4）。期待値が同じでも、勝ちやすさには向きがあり、しかも輪になる。

期待値がどれも 5 の 3 つのサイコロ F、G、H の輪。どの矢印でも根元のサイコロが確率 5/9 で勝つ

例と反例：よくある推論が崩れる例

「強い」について、数の大小からの類推で立てたくなる推論と、それが崩れる例を並べる。

立てたくなる推論（仮定）	反例	成り立たなくなること
強さは推移的	$A,B,C$（ex-ntd-ac-bd）	$A$ は $B$ に、$B$ は $C$ に勝ちやすいが、$C$ が $A$ に確率 $\frac59$ で勝つ
期待値が大きい方が強い	$A$ と $B$（ex-ntd-ev-mismatch）	$E[A]< E[B]$ なのに $A$ が確率 $\frac23$ で勝つ
期待値が等しければ互角	$F$ と $G$（ex-ntd-mean5）	期待値はともに $5$ だが、$F$ が確率 $\frac59$ で勝つ
1 回で強ければ 2 回の目の和でも強い	$A$ と $B$（ex-ntd-cx-sum）	2 回の和で比べると $B$ が確率 $\frac59$ で勝つ
def-ntd-strong の条件 (i) を外す（面の出方が偏る）	偏った $A$（ex-ntd-cx-biased）	主定理の $P(A>B)=\frac23$ が崩れ、$A$ と $B$ が互角になる

反例：2 回振った目の和で比べる

ルールを変えて、各自が自分のサイコロを 2 回振り、目の和が大きい方を勝ちとする。2 回の目は互いに独立で、2 人の間も独立とする。
(1) $B$ の和はいつも $3+3=6$ である。
(2) $A$ の和は、2 回とも $0$ なら $0$、$0$ と $4$ が 1 回ずつなら $4$、2 回とも $4$ なら $8$ である。$A$ の 1 回の目が $0$ になる確率は $\dfrac13$、$4$ になる確率は $\dfrac23$ なので
$$ P(\text{和}=0)=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\quad P(\text{和}=4)=2\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac49,\quad P(\text{和}=8)=\left(\frac23\right)^2=\frac49 $$
である（和が $4$ になるのは「$0$ のあと $4$」と「$4$ のあと $0$」の 2 通り）。
(3) $A$ が勝つのは和が $8$ のときだけなので、$A$ が勝つ確率は $\dfrac49$、$B$ が勝つ確率は $\dfrac19+\dfrac49=\dfrac59$ である。
1 回の勝負では $A$ が確率 $\dfrac23$ で勝つのに、2 回の和の勝負では $B$ の方が強い（図 5）。$A$ が 1 回の勝負に勝つには $4$ が 1 回出ればよいが、和で勝つには $4$ が 2 回とも出る必要がある。

A と B を 2 回ずつ振ったときの目の和の分布。B の和はいつも 6 で、A の和が 6 を超えるのは 8 になる確率 4/9 のときだけ
2 回の和で比べると、4 つのサイコロの輪も消える。

2 回の和で比べたときの 4 つのサイコロ

2 回の目の和で比べると、$C$ は $B$ に、$C$ は $D$ に、$D$ は $A$ に、どれも確率 $\dfrac59$ で勝ち、$B$ は $A$ に確率 $\dfrac59$ で勝つ（ex-ntd-cx-sum）。$C$ と $A$ では $C$ が勝ち、$B$ と $D$ は互角である。強い順に $C$、$B$ と $D$（互角）、$A$ と並び、輪はない。

残りの組の計算を開く

和の分布は、$C$ が $4,8,12$ をそれぞれ確率 $\dfrac49,\dfrac49,\dfrac19$ でとり、$D$ が $2,6,10$ をそれぞれ確率 $\dfrac14,\dfrac12,\dfrac14$ でとる（ex-ntd-cx-sum (2) と同じ数え方）。

$C$ と $B$：$C$ の和が $8$ か $12$ なら勝つので $\dfrac49+\dfrac19=\dfrac59$。

$C$ と $D$：$C$ の和が $4$ なら $D$ の和が $2$ のとき勝ち、$8$ なら $D$ の和が $2$ か $6$ のとき勝ち、$12$ なら必ず勝つ。$\dfrac49\cdot\dfrac14+\dfrac49\cdot\dfrac34+\dfrac19=\dfrac19+\dfrac39+\dfrac19=\dfrac59$。

$D$ と $A$：$D$ の和が $2$ なら $A$ の和が $0$ のとき勝ち、$6$ なら $A$ の和が $0$ か $4$ のとき勝ち、$10$ なら必ず勝つ。$\dfrac14\cdot\dfrac19+\dfrac12\cdot\dfrac59+\dfrac14=\dfrac1{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac9{36}=\dfrac59$。

$C$ と $A$：$C$ の和が $4$ なら $A$ の和が $0$ のとき勝ち（$4$ なら引き分け）、$8$ なら $A$ の和が $0$ か $4$ のとき勝ち（$8$ なら引き分け）、$12$ なら必ず勝つ。$P(C\text{ の勝ち})=\dfrac49\cdot\dfrac19+\dfrac49\cdot\dfrac59+\dfrac19=\dfrac{4+20+9}{81}=\dfrac{33}{81}$、引き分けは $\dfrac49\cdot\dfrac49+\dfrac49\cdot\dfrac49=\dfrac{32}{81}$、$A$ の勝ちは残りの $\dfrac{16}{81}$ で、$C$ が強い。

$B$ と $D$：$B$ の和は $6$ なので、$D$ の和が $2$ なら $B$ の勝ち、$10$ なら $D$ の勝ち、$6$ なら引き分けで、勝つ確率はどちらも $\dfrac14$ である。

反例：面の出方が偏ったサイコロ

$A$ の面の数は $(0,0,4,4,4,4)$ のままで、$0$ の面がそれぞれ確率 $\dfrac14$、$4$ の面がそれぞれ確率 $\dfrac18$ で出るように細工したとする（$2\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac18=1$）。このとき $A$ の目が $4$ になる確率は $4\cdot\dfrac18=\dfrac12$ なので、$P(A>B)=\dfrac12=P(B>A)$ で、$A$ と $B$ は互角になり、図 1 の輪は切れる。主定理の確率は、面の数だけでなく条件 (i)（どの面も確率 $\dfrac16$）にもよっている。

大学数学で見る：順序にならない関係

集合 $S$ の元の間の関係 $\succ$ が （狭義の）順序 であるとは、次の 2 つを満たすことをいう（順序集合の狭義の版）。
(R1) どの $x\in S$ についても $x\succ x$ ではない。
(R2) $x\succ y$ かつ $y\succ z$ ならば $x\succ z$（推移律）。
$S=\{A,B,C,D\}$ の上の関係「$X$ は $Y$ より強い」は、prop-ntd-asym より条件 (i) を満たすが、cor-ntd-nontransitive より条件 (ii) を満たさない。したがって順序ではない。期待値の大小は、実数の大小を写したものなので順序になる（thm-ntd-mean）。cor-ntd-no-score は、「強い」がどんな実数の点数の大小としても表せないことを述べている。

すべての基準で上回るという比べ方（確率的な大小）を開く

勝つ確率で比べる代わりに、「どの実数 $t$ についても $P(X>t)\ge P(Y>t)$」のときに $X\succeq Y$ と書く比べ方がある。これは推移的である。実際、$X\succeq Y$ かつ $Y\succeq Z$ なら、どの $t$ についても $P(X>t)\ge P(Y>t)\ge P(Z>t)$ だからである。ただし、この比べ方ではどちらも上回らない組が多い。例えば $A$ と $B$ では、$t=\dfrac72$ のとき $P(A>t)=\dfrac23>0=P(B>t)$ だが、$t=2$ のとき $P(A>t)=\dfrac23<1=P(B>t)$ で、$A\succeq B$ も $B\succeq A$ も成り立たない。推移性を保つ代わりに、比べられない組を認めることになる。

演習

相手が $C$ を選んだとき

相手が $C$ を選んだとき、自分が $A$、$B$、$D$ のそれぞれを選んだ場合の、自分が勝つ確率を求めよ。どれを選ぶのがよいか。

解答を開く

$B$ を選ぶと $P(B>C)=\dfrac23$（thm-ntd-main）。$A$ を選ぶと $P(A>C)=\dfrac49$（ex-ntd-ac-bd）。$D$ を選ぶと $P(D>C)=1-P(C>D)=\dfrac13$。$B$ を選ぶのがよい。

$D$ の面を 1 つ変える

$D=(1,1,1,5,5,5)$ の代わりに $D'=(1,1,5,5,5,5)$ を使う。$P(C>D')$ と $P(D'>A)$ を求め、$A\to B\to C\to D'\to A$ の輪（どの矢印でも根元のサイコロが強い）が保たれるか答えよ。

解答を開く

$C$ と $D'$：$C$ の目が $6$ なら必ず勝ち、$2$ なら $D'$ の目が $1$ のとき勝つ。$P(C>D')=\dfrac26+\dfrac46\cdot\dfrac26=\dfrac13+\dfrac29=\dfrac59$。

$D'$ と $A$：$D'$ の目が $5$ なら必ず勝ち、$1$ なら $A$ の目が $0$ のとき勝つ。$P(D'>A)=\dfrac46+\dfrac26\cdot\dfrac26=\dfrac23+\dfrac19=\dfrac79$。

どちらも $\dfrac12$ より大きく、引き分けもないので、輪は保たれる。ただし 4 つの勝つ確率は $\dfrac23,\dfrac23,\dfrac59,\dfrac79$ でそろわず、相手が $D'$ を選んだときに自分が勝つ確率は $\dfrac59$ に下がる。

さらに先へ

4 つの勝つ確率がすべて等しい非推移的なサイコロの組は、Efron のサイコロとも呼ばれる（Wei26）。Wei26 には、引き分けのときに振り直すルールで、勝つ組の見込みが $11:6$ になる別の組も載っている。
硬貨の表と裏の並びが先に現れるかを競うゲームでも、同じような非推移性が起こる。並び「裏表表」は「表表裏」に、「表表裏」は「表裏裏」に先に出やすく、しかも輪になる（Penneyのゲーム）。
集団を 2 つに分けて比べたときの大小が、合わせると逆になる現象は Simpsonのパラドックスで扱う。どちらも「全体を 1 つの数で比べると失われる情報」がある例である。
$A$ を $n$ 回振った目の和は $4\times(4\text{ の目が出た回数})$ で、回数の分布は反復試行の確率で求められる。ex-ntd-cx-sum はその $n=2$ の場合である。$n$ を大きくすると、和で比べたときの強さがどう変わるかも同じ方法で調べられる。