商体
概要
商体（field of fractions）とは、整域 $A$ の元 $a$ と $0$ でない元 $s$ の組を分数 $a/s$ とみなし、$a/s=b/t\iff ta=sb$ で同一視して分数の演算を入れた体 $\operatorname{Frac}(A)$ のことである。$A$ は $a\mapsto a/1$ により部分環として含まれ、商体は $A$ を含む最小の体である。$A$ から体 $K$ への単射な環準同型は $\operatorname{Frac}(A)\to K$ へ一意に延長される。$\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$、$\operatorname{Frac}(k[x])=k(x)$（有理関数体）が代表例である。零因子をもつ環はどの体にも埋め込めず商体をもたないので、非零因子だけを分母とする全商環を考える。
前提知識: 整域, 体, 環準同型, 同値関係
商体は、整域 $A$ の元を分子・分母とする「分数」の全体に通常の分数の計算規則を入れてできる体である。整数環 $\mathbb{Z}$ の商体は有理数体 $\mathbb{Q}$ であり、体 $k$ 上の多項式環 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ である。商体は $A$ を部分環として含む最小の体であり、$A$ から体への単射な環準同型は商体へ一意に延長される。この構成は $0$ でない元どうしの積が $0$ にならないことを本質的に使うので、零因子をもつ環では商体は作れない。本記事では環は乗法の単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に送るものとする。
定義
$A$ を整域とする。すなわち $A$ は $1\neq0$ を満たす可換環で、$a,b\in A$ について $ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ である。$A^{*}:=A\setminus\{0\}$ とおくと、整域の定義により $A^{*}$ は積について閉じ、$1\in A^{*}$ である。
整域 $A$ に対し、直積集合 $A\times A^{*}$ 上の関係 $\sim$ を
$$
(a,s)\sim(b,t)\iff ta=sb
$$
で定める。これは同値関係である（prop-field-of-fractions-construction）。$(a,s)$ の同値類を $\dfrac{a}{s}$ または $a/s$ と書き、商集合 $(A\times A^{*})/\sim$ を $\operatorname{Frac}(A)$ と書く。$\operatorname{Frac}(A)$ に加法と乗法を
$$
\frac{a}{s}+\frac{b}{t}:=\frac{ta+sb}{st},\qquad \frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}:=\frac{ab}{st}
$$
で定めると、$\operatorname{Frac}(A)$ は $0/1$ を零元、$1/1$ を単位元とする体になる（同じ命題）。この体を $A$ の 商体（field of fractions）または 分数体（fraction field）という。写像
$$
\iota\colon A\to\operatorname{Frac}(A),\qquad a\mapsto\frac{a}{1}
$$
は単射な環準同型であり、これにより $A$ を $\operatorname{Frac}(A)$ の部分環とみなす。
$st\in A^{*}$ なので、和と積の右辺はふたたび $A\times A^{*}$ の元の同値類である。商体は $\operatorname{Frac}(A)$ のほか $Q(A)$、$K(A)$ とも書かれる。$a/s$ と書いたとき、$a/s=b/t$ は分数の相等の規則 $ta=sb$（「たすき掛け」）そのものであり、たとえば $\mathbb{Z}$ では $2/4=1/2$ である（$2\cdot2=4\cdot1$）。
商体は、より一般の局所化 $S^{-1}A$ の特別な場合 $S=A^{*}$ でもある。一般の局所化では零因子に対応するために同値関係に因子 $u\in S$ を加える必要があるが、整域で $S=A^{*}$ のときはその因子を消去でき、上の単純な形になる。本記事は局所化の一般論を用いずに商体を直接構成する（構成は DF04 §7.5、一般の局所化は AM69 Chapter 3）。
直感
$\mathbb{Z}$ の中では $2x=1$ が解けないが、$\mathbb{Q}$ ではすべての $0$ でない整数で割ることができる。商体は、この「整数から有理数を作る」手続きを整域一般で行うものである。分母として許すのは $0$ でない元であり、分数の相等をたすき掛け $ta=sb$ で判定する。たすき掛けで同値関係が得られるためには「$0$ でない元を掛けても $0$ にならない」こと、つまり整域であることが必要であり、ここが商体の構成の核心である（ex-field-of-fractions-z6）。こうしてできた体は、$A$ を含む体のうちで $A$ の元の割り算だけで作れる部分、すなわち $A$ を含む最小の体である（cor-field-of-fractions-smallest）。
例と反例
$A=\mathbb{Z}$ とすると、$\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})$ の元は分数 $a/s$（$a\in\mathbb{Z}$、$s\neq0$）であり、その相等と演算は小学校以来の分数の規則そのものである。$\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})$ は有理数体 $\mathbb{Q}$ の構成として採用されることが多い。すでに $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ を知っているなら、prop-field-of-fractions-universal により $\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})\to\mathbb{R}$、$a/s\mapsto as^{-1}$ が定まり、その像が $\mathbb{Q}$ である。各元は既約分数 $a/s$（$s>0$、$a$ と $s$ は互いに素）としてただ 1 通りに表される。
体 $k$ 上の 1 変数多項式環 $k[x]$ は整域である。その商体
$$
k(x):=\operatorname{Frac}(k[x])=\left\{\frac{f}{g}\ \middle|\ f,g\in k[x],\ g\neq0\right\}
$$
を $k$ 上の 1 変数有理関数体という。$f/g=f'/g'$ は $fg'=f'g$ を意味する。たとえば $(x^2-1)/(x-1)=(x+1)/1=x+1$ である（$(x^2-1)\cdot1=(x+1)(x-1)$）。同様に $n$ 変数多項式環の商体 $k(x_1,\dots,x_n):=\operatorname{Frac}(k[x_1,\dots,x_n])$ を $n$ 変数有理関数体という。「有理関数」といっても写像ではなく形式的な分数であり、有限体 $k=\mathbb{F}_p$ 上では $x^p-x\neq0$ でも $k$ のすべての点で値が $0$ になるので、関数として比べると区別できない元がある。
$A=K$ が体なら、$\iota\colon K\to\operatorname{Frac}(K)$ は同型である。実際、任意の $a/s$ について $a/s=(as^{-1})/1$ である（$1\cdot a=s\cdot(as^{-1})$）から $\iota$ は全射であり、単射性は prop-field-of-fractions-construction による。したがって体の商体は自分自身である。
$\mathbb{C}$ の部分環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$（Gauss整数）は、体の部分環なので整域である。その商体は
$$
\mathbb{Q}(i):=\{p+qi\mid p,q\in\mathbb{Q}\}\subset\mathbb{C}
$$
と同型である。cor-field-of-fractions-smallest により、$\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])$ は $\mathbb{C}$ の中の元 $\alpha\beta^{-1}$（$\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i]$、$\beta\neq0$）全体と同型なので、それが $\mathbb{Q}(i)$ に等しいことを示せばよい。$c+di\neq0$（$c,d\in\mathbb{Z}$）なら $c^2+d^2$ は $0$ でない整数であり、
$$
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i\in\mathbb{Q}(i)
$$
である。逆に $p+qi\in\mathbb{Q}(i)$ は、分母をそろえて $p=a/n$、$q=b/n$（$a,b,n\in\mathbb{Z}$、$n\neq0$）と書けば $(a+bi)\cdot n^{-1}$ の形である。同じ計算で、$\mathbb{Z}[\sqrt2]\subset\mathbb{R}$ の商体は $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{p+q\sqrt2\mid p,q\in\mathbb{Q}\}$ と同型である（$c+d\sqrt2\neq0$ なら $c^2-2d^2\neq0$ であることは 体 の記事の例（有理数に $\sqrt2$ を添加した体）で示されている）。
体 $k$ 上の形式的冪級数環 $k[\![x]\!]$ は整域であり、その商体は形式的 Laurent 級数体 $k(\!(x)\!)$、すなわち有限個の負冪を許した形式和 $\sum_{n\geq-N}a_nx^n$ の全体と同型である。実際、$0$ でない冪級数は $x^mu$（$m\geq0$、$u$ は定数項が $0$ でない冪級数、すなわち単元。局所環 の記事の例（一変数の形式的冪級数環））と書けるので、$f=x^mu$、$g=x^nv$ に対し $f/g=x^{m-n}uv^{-1}$ となり、$\operatorname{Frac}(k[\![x]\!])$ の元は $x^{-N}h$（$h\in k[\![x]\!]$）の形に尽きる。$k(\!(x)\!)$ の $0$ でない元は $x^mu$（$m\in\mathbb{Z}$、$u$ は単元）と書け、$x^{-m}u^{-1}$ を逆元にもつので $k(\!(x)\!)$ は体であり、その元は $h\cdot(x^N)^{-1}$ の形だから、cor-field-of-fractions-smallest の 3 により $\operatorname{Frac}(k[\![x]\!])\cong k(\!(x)\!)$ である。これは、多項式環の商体 $k(x)$ と違い、$x$ だけを可逆にすれば体になることを示している。
$A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は $2\cdot3=0$ を満たすので整域でない。$A$ の $0$ でない元の全体 $A^{*}=\{1,2,3,4,5\}$（剰余類の括弧は省略する）で分母を許し、def-field-of-fractions と同じ関係 $(a,s)\sim(b,t)\iff ta=sb$ を考える。すると
$$
(0,1)\sim(0,2)\quad(2\cdot0=1\cdot0),\qquad (0,2)\sim(3,1)\quad(1\cdot0=0,\ 2\cdot3=6=0)
$$
であるが、$(0,1)\sim(3,1)$ は $1\cdot0=1\cdot3$、すなわち $0=3$ を意味するので成り立たない。よって $\sim$ は推移律を満たさず、同値関係でない。そもそも $A^{*}$ は積で閉じていない（$2,3\in A^{*}$ だが $2\cdot3=0\notin A^{*}$）ので、和と積の定義式の分母 $st$ が $A^{*}$ から外れてしまう。
この例が満たさない仮定は「$A$ が整域である」であり、破る含意は「任意の可換環でたすき掛けにより分数の体が作れる」である。さらに、零因子をもつ環は単射な環準同型でどの体にも埋め込めない（prop-field-of-fractions-domain-necessary）ので、構成の仕方を工夫しても $A$ を含む体は作れない。
素数 $p$ に対し、自然な全射 $\pi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は整域から体への環準同型であるが、単射でない。$\pi$ が環準同型 $F\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{F}_p$ に延長できたとすると、$p\cdot(1/p)=1$ から
$$
1=F(1)=F(p)F(1/p)=\pi(p)F(1/p)=0\cdot F(1/p)=0
$$
となり、$\mathbb{F}_p$ で $1\neq0$ であることに反する。したがって延長は存在しない。この例は、prop-field-of-fractions-universal の「$f$ が単射」という仮定を外すと結論が成り立たないこと、すなわち「整域から体への任意の環準同型は商体に延長できる」という含意が偽であることを示している。単射でない準同型 $f$ の場合には、$\ker f$ の外の元だけを可逆にする局所化 $A_{\ker f}$ までは延長できる（局所化 の記事の命題（局所化の普遍性））。
性質
$A$ を整域とする。def-field-of-fractions の関係 $\sim$ は $A\times A^{*}$ 上の同値関係であり、加法と乗法は代表元の取り方によらずに定まる。これらの演算により $\operatorname{Frac}(A)$ は体になり、$\iota\colon A\to\operatorname{Frac}(A)$ は単射な環準同型である。さらに $\operatorname{Frac}(A)$ の任意の元は $\iota(a)\iota(s)^{-1}$（$a\in A$、$s\in A^{*}$）と書ける。
証明全体で次の消去法則を使う：$c\neq0$ かつ $cx=cy$ ならば $x=y$ である。実際 $c(x-y)=0$ で $A$ は整域だから $x-y=0$ である。
（同値関係）反射律は $sa=sa$、対称律は $ta=sb\iff sb=ta$ から明らかである。推移律を示す。$(a,s)\sim(b,t)$、$(b,t)\sim(c,r)$、すなわち $ta=sb$、$rb=tc$ とする。可換性を用いて
$$
t(ra)=r(ta)=r(sb)=s(rb)=s(tc)=t(sc)
$$
であり、$t\neq0$ だから消去法則により $ra=sc$、すなわち $(a,s)\sim(c,r)$ である。ここで $t\neq0$ と整域性が本質的に使われている。
（演算の well-definedness）$(a,s)\sim(a',s')$、すなわち $s'a=sa'$ とし、$(b,t)$ を固定する。加法について
$$
(s't)(ta+sb)-(st)(ta'+s'b)=t^2(s'a-sa')+(s'tsb-sts'b)=0
$$
なので $(ta+sb,st)\sim(ta'+s'b,s't)$ である。乗法について $(s't)(ab)-(st)(a'b)=tb(s'a-sa')=0$ なので $(ab,st)\sim(a'b,s't)$ である。和と積の定義式は 2 つの分数について対称なので、2 つ目の分数の代表元を取り替えても同じである。よって演算は同値類だけで定まる。
（体の公理）まず、$a/s=0/1$ であることは $1\cdot a=s\cdot0$、すなわち $a=0$ と同値であり、$a/s=1/1$ であることは $a=s$ と同値である。可換環の公理は、両辺の分数を定義に従って計算し、分子と分母を比べれば $A$ の中の恒等式として確かめられる。たとえば結合律
$$
\Bigl(\frac as+\frac bt\Bigr)+\frac cr=\frac{r(ta+sb)+stc}{str}=\frac{rta+rsb+stc}{str}=\frac as+\frac{rb+tc}{tr}
$$
の最後の等号は $a/s+(rb+tc)/(tr)=(tra+s(rb+tc))/(str)$ を展開すれば分子・分母とも一致することによる。分配律
$$
\frac as\Bigl(\frac bt+\frac cr\Bigr)=\frac{a(rb+tc)}{str},\qquad \frac as\cdot\frac bt+\frac as\cdot\frac cr=\frac{abrs+acst}{s^2tr}=\frac{s\cdot a(rb+tc)}{s\cdot str}
$$
は、右の分数の分子と分母が左の分数の分子と分母の $s$ 倍であり、一般に $(ca,cs)\sim(a,s)$（$c\neq0$）であることから一致する（$s\cdot ca=cs\cdot a$）。乗法の結合律・可換律と加法の可換律は分子・分母ごとの $A$ の法則から直ちに従う。零元は $0/1$（$a/s+0/1=(1\cdot a+s\cdot0)/s=a/s$）、単位元は $1/1$、$a/s$ の加法の逆元は $(-a)/s$（$a/s+(-a)/s=(sa-sa)/s^2=0/s^2=0/1$）である。$1/1\neq0/1$ は $1\neq0$ から従う。
$0$ でない元 $a/s\neq0/1$ をとると、上の注意により $a\neq0$、すなわち $a\in A^{*}$ なので $s/a\in\operatorname{Frac}(A)$ が定義でき、
$$
\frac as\cdot\frac sa=\frac{as}{sa}=\frac11
$$
である（$1\cdot as=sa\cdot1$）。よって $0$ でない元はすべて逆元をもち、$\operatorname{Frac}(A)$ は体である。
（標準写像）$\iota(a+b)=(a+b)/1=(1\cdot a+1\cdot b)/(1\cdot1)=a/1+b/1$、$\iota(ab)=ab/1=(a/1)(b/1)$、$\iota(1)=1/1$ なので $\iota$ は環準同型である。$\iota(a)=0/1$ なら上の注意により $a=0$ なので $\ker\iota=\{0\}$ であり、$\iota$ は単射である（環準同型 の記事の命題（核と像の基本性質）の 3）。最後に、$s\in A^{*}$ なら $\iota(s)=s/1\neq0$ の逆元は $1/s$ であり、$a/s=(a/1)(1/s)=\iota(a)\iota(s)^{-1}$ である。
商体の本質は、次の普遍性にある。
$A$ を整域、$K$ を体、$f\colon A\to K$ を単射な環準同型とする。このとき環準同型 $F\colon\operatorname{Frac}(A)\to K$ で $F\circ\iota=f$ を満たすものがただ 1 つ存在し、
$$
F\Bigl(\frac as\Bigr)=f(a)f(s)^{-1}
$$
で与えられる。$F$ は単射である。
（一意性）$F$ がこの性質をもつ環準同型なら、$s\in A^{*}$ について $F(s/1)=f(s)$ であり、環準同型は単元を単元へ、逆元を逆元へ送る（環準同型 の記事の命題（環準同型の初等的性質）の 4）ので $F(1/s)=F((s/1)^{-1})=f(s)^{-1}$ である。よって $F(a/s)=F(a/1)F(1/s)=f(a)f(s)^{-1}$ となり、$F$ は $f$ だけで決まる。
（存在）$s\in A^{*}$ なら $s\neq0$ で $f$ は単射だから $f(s)\neq0$ であり、$K$ は体なので $f(s)^{-1}$ が存在する。$F(a/s):=f(a)f(s)^{-1}$ が代表元によらないことを示す。$a/s=b/t$、すなわち $ta=sb$ なら $f(t)f(a)=f(s)f(b)$ であり、両辺に $f(s)^{-1}f(t)^{-1}$ を掛けると（$K$ は可換）$f(a)f(s)^{-1}=f(b)f(t)^{-1}$ となる。次に $F$ が環準同型であることを確かめる。$K$ の中で計算すると
$$
F\Bigl(\frac as+\frac bt\Bigr)=\frac{f(ta+sb)}{f(st)}=\frac{f(t)f(a)+f(s)f(b)}{f(s)f(t)}=\frac{f(a)}{f(s)}+\frac{f(b)}{f(t)}=F\Bigl(\frac as\Bigr)+F\Bigl(\frac bt\Bigr)
$$
であり（ここで $x/y$ は $K$ における $xy^{-1}$ を表す）、同様に
$$
F\Bigl(\frac as\cdot\frac bt\Bigr)=\frac{f(ab)}{f(st)}=\frac{f(a)f(b)}{f(s)f(t)}=F\Bigl(\frac as\Bigr)F\Bigl(\frac bt\Bigr),\qquad F\Bigl(\frac11\Bigr)=f(1)f(1)^{-1}=1
$$
である。$F(\iota(a))=F(a/1)=f(a)f(1)^{-1}=f(a)$ だから $F\circ\iota=f$ である。
（単射性）$F(a/s)=0$ なら $f(a)f(s)^{-1}=0$ より $f(a)=0$ であり、$f$ の単射性から $a=0$、すなわち $a/s=0/1$ である。よって $\ker F=\{0\}$ で、$F$ は単射である。$\operatorname{Frac}(A)$ が体で $K$ が零環でないことからも従う（環準同型 の記事の命題（核と像の基本性質）の 5）。
$K$ を体、$A\subset K$ を部分環とする。
- $A$ は整域であり、$A$ を含む $K$ の部分体のうち最小のものは
$$ L=\{ab^{-1}\mid a,b\in A,\ b\neq0\} $$
である。 - 包含写像 $A\to K$ から prop-field-of-fractions-universal で得られる $F\colon\operatorname{Frac}(A)\to K$ は、$\operatorname{Frac}(A)$ から $L$ への同型を与える。
- 特に、単射な環準同型 $j\colon A\to K'$ で、体 $K'$ の任意の元が $j(a)j(s)^{-1}$ の形に書けるものがあれば、$K'\cong\operatorname{Frac}(A)$ である。
- $K$ は整域なので、その部分環 $A$ も零因子をもたず $1\neq0$ を満たし、整域である。$F$ は単射な環準同型で、その像は $F(a/s)=as^{-1}$ の全体、すなわち $L$ である。$F$ は体 $\operatorname{Frac}(A)$ から像 $L$ への全単射な環準同型なので、$L$ は $K$ の演算で体になり、$K$ の部分体である（$0$ でない元 $F(x)$ の逆元は $F(x^{-1})\in L$）。$a=a\cdot1^{-1}$ だから $A\subset L$ である。一方、$A$ を含む任意の部分体 $L'$ は、$a,b\in A$、$b\neq0$ について $b^{-1}\in L'$ を含み、したがって $ab^{-1}\in L'$ を含む。よって $L\subset L'$ であり、$L$ は $A$ を含む最小の部分体である。
- 1 の証明で見たとおり、$F$ は $\operatorname{Frac}(A)$ から $L$ への全単射な環準同型であり、環の同型である（全単射な環準同型の逆写像は環準同型である）。
- $K'$ の中で $j(A)$ は $A$ と同型な部分環であり、仮定は $K'$ が 1 の $L$ に一致することを意味する。$j\colon A\to j(A)$ で $A$ と $j(A)$ を同一視すれば、2 により $\operatorname{Frac}(A)\cong K'$ である。
1 により、「整域」とは「体の部分環と同型な環」のことだといってよい（逆向きは商体 $\operatorname{Frac}(A)$ が $A$ を部分環として含むことによる）。3 は、商体が「$A$ を含み、$A$ の元の割り算だけで生成される体」として同型を除いて一意に定まることを述べている。たとえば $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ を含む最小の体、$\mathbb{Q}(i)$ は $\mathbb{Z}[i]$ を含む $\mathbb{C}$ の最小の部分体である（ex-field-of-fractions-quadratic）。
可換環 $A$ から体 $K$ への単射な環準同型 $f\colon A\to K$ が存在するならば、$A$ は整域である。特に、$0$ 以外の零因子をもつ可換環や零環は、どの体の部分環とも同型でなく、その元をすべて分子とし $0$ でない元をすべて分母とする「分数の体」は存在しない。
$f(1)=1\neq0=f(0)$ なので $1\neq0$ であり、$A$ は零環でない。$a,b\in A$ が $ab=0$ を満たすとすると、$f(a)f(b)=f(ab)=f(0)=0$ である。体は整域なので（体 の記事の命題（体は整域である））$f(a)=0$ または $f(b)=0$ であり、$f$ は単射だから $a=0$ または $b=0$ である。よって $A$ は整域である。
零因子をもつ環 $A$ に対しても、零因子でない元（非零因子）の全体 $S$ は積について閉じているので、$S$ の元だけを分母として許す分数の環 $Q(A):=S^{-1}A$（$A$ が整域なら商体と一致する）を作ることができる。これを $A$ の 全商環（total ring of fractions）という。$A\to Q(A)$ は単射であるが、$Q(A)$ は一般に体ではない。たとえば $A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は有限環なので、非零因子はすべて単元である（単元 の記事の命題（有限環の元は単元か零因子））。すでに可逆な元を分母に加えても環は変わらないので、$Q(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ であり、これは体ではない。全商環を含む一般の分数の環 $S^{-1}A$ の構成、同値関係に因子を加える理由、およびその普遍性は 局所化 の記事で扱う。$A$ が整域なら $S=A\setminus\{0\}$ であり、全商環は商体に一致する。
商体の構成は整域の間の単射な準同型と両立する。$\varphi\colon A\to B$ が整域の間の単射な環準同型なら、合成 $A\to B\to\operatorname{Frac}(B)$ は単射なので、prop-field-of-fractions-universal により体の準同型 $\operatorname{Frac}(A)\to\operatorname{Frac}(B)$、$a/s\mapsto\varphi(a)/\varphi(s)$ が得られる。たとえば包含 $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}[i]$ は $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(i)$ を、$k[x]\subset k[x,y]$ は $k(x)\subset k(x,y)$ を与える。こうして得られる体の包含は体の拡大の基本例であり、代数幾何学では整域 $A$ に対応するアフィン多様体の関数体が $\operatorname{Frac}(A)$ として定義される。
関連項目
参考文献
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