相対Picard関手
概要
相対Picard関手（relative Picard functor）とは、スキームの射 $f\colon X\to S$ について、$T\mapsto\operatorname{Pic}(X_T)/\operatorname{Pic}(T)$ という前層をエタールや fppf などの位相で層化した関手 $\operatorname{Pic}_{X/S}$ のことで、$R^1f_*\mathbb{G}_m$ と一致する。$\mathcal{O}_S=f_*\mathcal{O}_X$ が普遍的に成り立てば、$\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}_{X/S}(S)$ の余核は $H^2(S,\mathbb{G}_m)$ に埋め込まれる。切断があれば層化は不要だが、有理点の無い円錐曲線では必要で、その障害は Brauer 群の元になる。
前提知識: Picard群, Grothendieck位相, 層化, fppf位相, Lerayスペクトル系列
レベル: 大学院
定義
$f \colon X \to S$ をスキームの射とする。$S$ スキーム $T$ に対し $X_T := X \times_S T$、$f_T \colon X_T \to T$ を底変換とする。$\tau$ は $\mathrm{zar}$（Zariski）、$\mathrm{et}$（エタール）、$\mathrm{fppf}$ のいずれかを表し、$(\mathrm{Sch}/S)_\tau$ を $S$ スキーム全体に位相 $\tau$ を入れた大きな景とする（集合論的な大きさの問題は通常どおり処理する）。
$(\mathrm{Sch}/S)$ 上のアーベル群に値をとる前層
$$
P_{X/S} \colon T \longmapsto \operatorname{Pic}(X_T)/f_T^{*}\operatorname{Pic}(T)
$$
を $X/S$ の素朴な相対 Picard 関手という。その $\tau$ 位相での層化を
$$
\operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)}
$$
と書き、$X/S$ の 相対 Picard 関手（relative Picard functor）という。とくに断らなければ $\tau = \mathrm{fppf}$ とし、$\operatorname{Pic}_{X/S} := \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}$ と書く。その大域切断の群 $\operatorname{Pic}(X/S) := \operatorname{Pic}_{X/S}(S)$ を相対 Picard 群と呼ぶ。
層化の普遍性により、自然な準同型
$$
P_{X/S} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{zar})} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}
$$
がある（位相が細かくなるほど層化は先へ進む）。$\operatorname{Pic}_{X/S}$ が $S$ スキームで表現されるとき、それを Picardスキーム という。
本記事では、次の条件を繰り返し使う。
- (C) $f$ は準コンパクト・準分離で、任意の $S$ スキーム $T$ について $\mathcal{O}_T \to f_{T*}\mathcal{O}_{X_T}$ が同型である。
$f$ が平坦かつ固有で、幾何的ファイバーが被約かつ連結なら (C) が成り立つ（FGAex 第 9 章）。$S$ が体のスペクトルで $X$ が固有かつ $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ がその体に等しいときも、体上のスキームはすべて平坦なので、平坦底変換により (C) が成り立つ。
直感
$\operatorname{Pic}(X_T)$ を $\operatorname{Pic}(T)$ で割るのは、底 $T$ から来る直線束は「ファイバーの方向には自明」で、族としての情報をもたないからである。しかし割り算をした前層 $P_{X/S}$ は、一般には層にならない。局所的には直線束の類なのに、張り合わせると直線束にならないものが現れるからである。層化は、そのような「局所的にだけ直線束であるもの」を正式な元として加える操作である。
加えた元がいつ本物の直線束から来るかを測るのが、後で述べる障害準同型 $\partial$ であり、その値は底の コホモロジー的Brauer群 に入る。相対 Picard 関手は、Picard 群と Brauer 群が出会う場所である。
基本性質
高次順像としての記述
$\tau$ 位相での $\mathbb{G}_m$（$T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^{\times}$）を考え、$f$ が誘導する大きな景の射についての高次順像を $R^q f_{\tau *}$ と書く。
任意の $f \colon X \to S$ と $\tau$ について、自然な同型
$$
\operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)} \cong R^1 f_{\tau *}\mathbb{G}_m
$$
がある。
高次順像 $R^1 f_{\tau *}\mathbb{G}_m$ は、前層 $T \mapsto H^1((X_T)_\tau, \mathbb{G}_m)$ の $\tau$ 層化である（高次順像の標準的な記述）。Picard群 の記事の定理（位相によらないこと）により、この前層は $T \mapsto \operatorname{Pic}(X_T)$ に等しい。一方、前層 $T \mapsto \operatorname{Pic}(T)$ の層化は $0$ である。可逆層は Zariski 局所に自明であり、Zariski 被覆は $\tau$ 被覆でもあるからである。層化は完全関手なので、完全列 $\operatorname{Pic}(T) \to \operatorname{Pic}(X_T) \to P_{X/S}(T) \to 0$ を層化すると $0 \to R^1 f_{\tau *}\mathbb{G}_m \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)} \to 0$ が完全になる。
障害の完全列
$f$ が (C) を満たすとする。各 $\tau$ について完全列
$$
0 \to \operatorname{Pic}(S) \xrightarrow{f^{*}} \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)}(S) \xrightarrow{\ \partial\ } H^2(S_\tau, \mathbb{G}_m) \xrightarrow{f^{*}} H^2(X_\tau, \mathbb{G}_m)
$$
がある。
$f$ の $\tau$ 位相での Leray スペクトル系列 $E_2^{p,q} = H^p(S_\tau, R^q f_{\tau *}\mathbb{G}_m) \Rightarrow H^{p+q}(X_\tau, \mathbb{G}_m)$ をとる（Lerayスペクトル系列）。(C) により、$S$ スキーム $T$ について $f_{\tau *}\mathbb{G}_m(T) = \Gamma(X_T, \mathcal{O}_{X_T})^{\times} = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^{\times}$ だから $f_{\tau *}\mathbb{G}_m = \mathbb{G}_m$ である。第一象限のスペクトル系列の低次の完全列
$$
0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2
$$
に、$E_2^{1,0} = H^1(S_\tau, \mathbb{G}_m) = \operatorname{Pic}(S)$、$H^1 = H^1(X_\tau, \mathbb{G}_m) = \operatorname{Pic}(X)$（Hilbert 90 の一般形）、$E_2^{0,1} = \operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)}(S)$（prop-relative-picard-functor-r1）、$E_2^{2,0} = H^2(S_\tau, \mathbb{G}_m)$ を代入する。$\partial := d_2$ である。
$\partial \xi = 0$ であることと、$\xi$ が直線束から来ることは同値である。したがって $\partial$ は局所的な直線束の類を大域的な直線束に持ち上げる障害であり、その像は「$X$ に引き戻すと消える $H^2(S, \mathbb{G}_m)$ の元」全体である。
$\mathbb{G}_m$ は滑らかな群スキームなので、$H^2(S_{\mathrm{et}}, \mathbb{G}_m) = H^2(S_{\mathrm{fppf}}, \mathbb{G}_m)$ である（Grothendieck。エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理）。$S = \operatorname{Spec} k$ が体のスペクトルなら、これは $k$ の Brauer 群 $\operatorname{Br}(k) = H^2(k, \mathbb{G}_m)$ であり、(C) のもとで
$$
0 \to \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}_{X/k}(k) \xrightarrow{\ \partial\ } \operatorname{Br}(k) \to \operatorname{Br}'(X)
$$
は完全である。ここで $\operatorname{Br}'(X) := H^2(X_{\mathrm{et}}, \mathbb{G}_m)_{\mathrm{tors}}$ であり、$\operatorname{Br}(k)$ は捩れ群なので、その像は $H^2(X_{\mathrm{et}}, \mathbb{G}_m)$ の捩れ部分に入る。
$f$ が (C) を満たし、$S$ が狭義 Hensel 局所環のスペクトルなら、$\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}(S)$ は同型である。
狭義 Hensel 局所環のスペクトルの上では、大域切断をとる関手がエタール層について完全なので、$H^i(S_{\mathrm{et}}, F) = 0$（$i \ge 1$）である（狭義Hensel局所環）。とくに $\operatorname{Pic}(S) = 0$、$H^2(S_{\mathrm{et}}, \mathbb{G}_m) = 0$ であり、thm-relative-picard-functor-obstruction から主張が従う。
位相の比較
$f$ が (C) を満たすとする。
- 写像 $P_{X/S} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{zar})} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}$ はどれも単射である。
- $f$ が切断をもてば、これらはすべて同型であり、$0 \to \operatorname{Pic}(T) \to \operatorname{Pic}(X_T) \to \operatorname{Pic}_{X/S}(T) \to 0$ は分裂完全である。
- $S$ のエタール被覆 $S' \to S$ で、$X \times_S S' \to S'$ が切断をもつものがあれば、$\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})} \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}$ は同型である。
1. (C) は底変換で保たれるので、thm-relative-picard-functor-obstruction を $X_T \to T$ に当てると、$P_{X/S}(T) \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\tau)}(T)$ は各 $\tau$ で単射である。$\xi \in \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{zar})}(T)$ が $\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}(T)$ で $0$ になるとする。Zariski 被覆 $(T_i)$ で $\xi|_{T_i}$ が $P_{X/S}(T_i)$ から来るものをとると、$P_{X/S}(T_i) \to \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}(T_i)$ の単射性から $\xi|_{T_i} = 0$ であり、$\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{zar})}$ は Zariski 層だから $\xi = 0$ である。$\mathrm{et} \to \mathrm{fppf}$ も同じ議論による。
2. 切断があれば $P_{X/S}$ はすでに fppf 層である（Picardスキーム の記事の、切断があるときの有理点の命題の証明）。層は層化しても変わらないので、すべて同型である。分裂は切断による引き戻しで与えられる。
3. $\xi \in \operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}(T)$ をとり、$T' = T \times_S S'$ とする。2 により $\xi|_{T'}$ は $\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}(T')$ の元 $\eta$ から来る。$T'' = T' \times_T T'$ への二つの引き戻し $\mathrm{pr}_1^{*}\eta, \mathrm{pr}_2^{*}\eta$ は、fppf 層での像がともに $\xi|_{T''}$ なので、1 の単射性により等しい。$\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}$ はエタール層なので、$\eta$ は $\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{et})}(T)$ の元 $\eta_0$ に降下する。$\eta_0$ の fppf 層での像と $\xi$ は $T'$ 上で一致し、$\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}$ は層だから一致する。単射性は 1 による。
$f$ が滑らかで全射なら、エタール局所に切断をもつ（Stacks26 の「More on Morphisms」の章）ので、3 が当てはまる。
例と反例
$S$ 上の射影空間 $\mathbb{P}^n_S \to S$ は (C) を満たし、切断をもつ。prop-relative-picard-functor-comparison の 2 により、すべての層化は素朴な関手 $T \mapsto \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_T)/\operatorname{Pic}(T)$ と一致する。この関手は、$T$ 上の局所定数な整数値関数の群に等しく、$d$ に $\mathcal{O}(d)$ が対応する（FGAex 第 9 章。本記事では証明しない）。
$k$ を有限体、$X$ を $k$ 上固有なスキームで $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k$ となるものとする。有限体の Brauer 群は $0$ である（Ser79 第 X 章。有限な斜体は可換であるという Wedderburn の定理による）。したがって体の場合の完全列から
$$
\operatorname{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}_{X/k}(k)
$$
であり、$X$ が有理点をもたなくても、相対 Picard 群の元はすべて直線束から来る。
$X = V(x^2 + y^2 + z^2) \subset \mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ とする。Picardスキーム の記事の円錐曲線の例で示したとおり、
$$
P_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R}) = \operatorname{Pic}(X) \cong 2\mathbb{Z}, \qquad P_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = \operatorname{Pic}(X_{\mathbb{C}}) \cong \mathbb{Z}
$$
であり、複素共役は $\mathbb{Z}$ に自明に作用する。エタール被覆 $\operatorname{Spec}\mathbb{C} \to \operatorname{Spec}\mathbb{R}$ について層の条件が成り立つなら $P_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ は $P_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{C})$ の Galois 不変部分 $\mathbb{Z}$ に等しいはずだが、実際は $2\mathbb{Z}$ である。よって $P_{X/\mathbb{R}}$ はエタール層ではない。$X$ は (C) を満たすので、この例はprop-relative-picard-functor-comparison の 2 の「切断をもつ」という仮定が外せないことを示す。
体の場合の完全列にあてはめると、$\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R}) = \mathbb{Z}$ で $\operatorname{Pic}(X)$ の像は $2\mathbb{Z}$ だから、$\partial(1)$ は $\operatorname{Br}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2$ の $0$ でない元、すなわち Hamilton の四元数環の類である。この元は $X$ に引き戻すと消える。
上の例は一般化される。$k$ 上の Severi–Brauer多様体 $P$（$P_{\bar k} \cong \mathbb{P}^{n-1}$）について、$\operatorname{Pic}_{P/k}(k) \cong \mathbb{Z}$ であり、$\partial(1)$ は $P$ に対応する中心単純環の Brauer 類（符号は規約による）である（GS17 第 5 章。本記事では証明しない）。これを認めると、体の場合の完全列から、$\operatorname{Br}(k) \to H^2(P, \mathbb{G}_m)$ の核はこの類で生成される。関数体 $k(P)$ への制限で述べた同じ形の主張が Amitsur の定理である（同書第 5 章）。
thm-relative-picard-functor-obstruction の左端 $\operatorname{Pic}(S) \to \operatorname{Pic}(X)$ の単射性は、(C) を外すと成り立たない。
$A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$H = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)$、$B$ を $A$ の $H$ における整閉包とし、$f \colon X = \operatorname{Spec} B \to S = \operatorname{Spec} A$ とする。$f$ は有限だが、$f_*\mathcal{O}_X = B \ne A$ なので (C) を満たさない。$\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$ は $\mathfrak{p}^2 = (2)$ を満たし、$\operatorname{Pic}(A)$ の $0$ でない元を与える（Picard群 の記事の Dedekind 整域の例）。一方 $B$ では
$$
(\mathfrak{p}B)^2 = 2B = \bigl((1+i)B\bigr)^2
$$
である（$(1+i)^2 = 2i$ で $i$ は単数）。$B$ は Dedekind 整域なので、イデアルの素イデアル分解の一意性から $\mathfrak{p}B = (1+i)B$ となり、$f^{*}[\mathfrak{p}] = [\mathfrak{p}B] = 0$ である。よって $f^{*} \colon \operatorname{Pic}(S) \to \operatorname{Pic}(X)$ は単射でない。
補足
- Brauer 群の理論での役割。Grothendieck は講演「Le groupe de Brauer III」§5（Gro68）で、障害 $\partial$ を使って相対 Picard 群と Brauer 群を結びつけ、分離閉体上の固有スキームについて、代数閉包への底変換で $H^2(X, \mathbb{G}_m)$ がどう変わるかを $\operatorname{Pic}_{X/k}$ の fppf コホモロジーで記述した。そこでは Picard スキームが滑らかかどうかが効く。
- 表現可能性。$\operatorname{Pic}_{X/S}$ がスキームで表現される条件と、表現されたスキームの性質は Picardスキーム の記事で扱う。
- 有限体上の例の意味。有限体上では Brauer 群が消えるので、有理点が無くても相対 Picard 群と Picard 群は一致する。実数体上の円錐曲線との違いは、底の Brauer 群の違いそのものである。
関連項目
- 前提: Picard群, Grothendieck位相, 層化, fppf位相, Lerayスペクトル系列
- 比較: エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理, 狭義Hensel局所環
- 直後に読む: Picardスキーム, コホモロジー的Brauer群
- 例: Severi–Brauer多様体
- 発展: Néron–Severi群, Kummer完全列
参考文献
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