微分積分学
概要
微分積分学（calculus）とは、実数の連続性を基礎に、1 変数および多変数の実数値関数の極限・微分・積分とそれらの関係を研究する数学の分野である。中間値の定理・最大値の定理・平均値の定理・Taylor の定理を経て、連続関数 $f$ について $F(x)=\int_a^xf$ は微分可能で $F'=f$ となり、原始関数 $G$ があれば $\int_a^bf=G(b)-G(a)$ となる、という微分積分学の基本定理に至る。仮定を外すと、不連続な $f$ では $F$ が微分できない点が現れることがあり、導関数が存在しても有界とは限らず Riemann 積分できないことがある。多変数では逆関数定理・陰関数定理・Fubini の定理・Stokes の定理が基本で、Lebesgue 積分・微分方程式・関数解析・複素解析などの入口になる。
微分積分学（calculus）は、実数の上の関数を、極限を使って「瞬間の変化率」（微分）と「細かく分けて足し合わせた量」（積分）の 2 つの面から調べる数学の分野である。速度と道のり、接線の傾きと曲線の下の面積は、一見別の問いだが、微分と積分が互いに逆の操作であるという 微分積分学の基本定理 によって 1 つに結びつく。微分積分学は、実数の連続性 を出発点に、1 変数の関数から多変数の関数まで、極限・微分・積分の基本定理を積み上げる。
この記事では、極限・連続性・微分・Riemann 積分を定義し、微分積分学が答える問いと、定理が論理的に依存し合う順序を記事とともに示す。代表例として、連続関数についての微分積分学の基本定理を完全に証明し、仮定を 1 つずつ外した反例を挙げる。微分積分学は、関数を扱う数学の広い分野（解析学）の入口にあたる。この記事では、実数の連続性から Riemann 積分と多変数の微分・積分の基本定理までを微分積分学の範囲とし、Lebesgue 積分・関数解析・複素関数の理論などはその先の分野として案内する。
定義
以下、$I$ は実数の区間（1 点より多くの点を含むもの）、$f\colon I\to\mathbb R$ は関数とする。
$a\in I$ とする。実数 $L$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対しある $\delta>0$ が存在して、$x\in I$、$0<\lvert x-a\rvert<\delta$ ならば $\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon$ となるとき、$x\to a$ のとき $f(x)$ は $L$ に収束するといい、$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ と書く。$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ のとき、$f$ は $a$ で連続であるという。$I$ のすべての点で連続な $f$ を $I$ 上の連続関数という。
有界な関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ と、$[a,b]$ の分割 $P\colon a=x_0< x_1<\cdots< x_n=b$ について、$M_i,m_i$ を小区間 $[x_{i-1},x_i]$ での $f$ の上限・下限とし、
$$
U(P,f):=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1}),\qquad L(P,f):=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})
$$
とおく。すべての分割にわたる $L(P,f)$ の上限と $U(P,f)$ の下限が一致するとき、$f$ は Riemann 積分可能 であるといい、その共通の値を $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ と書く。
微分積分学とは、実数の連続性を基礎に、1 変数および多変数の実数値関数の極限・微分・積分とそれらの関係を研究する数学の分野である。
Riemann 積分の基本性質（区間についての加法性、単調性、連続関数の可積分性）は Riemann積分 が証明している。$a>b$ のときは $\int_a^bf:=-\int_b^af$、$\int_a^af:=0$ と約束する。
すべての土台は実数の性質で、とくに「上に有界な空でない実数の集合は上限をもつ」という実数の連続性（実数の連続性、上限）が、有理数の範囲では成り立たない極限の存在を保証する。たとえば $x^2=2$ の正の解は有理数の中にはないが、実数の中には $\{x>0\mid x^2<2\}$ の上限として存在する。中間値の定理・最大値の定理・平均値の定理など、微分積分学の主要な定理はどれも、最後はこの性質に頼っている（Rud76 Theorem 1.19（p. 8）は、この性質をもつ順序体としての実数の存在を述べている）。
微分積分学の主な問い
- 変化率を求める。 位置から速度を、曲線から接線の傾きを求める（微分）。積・商・合成関数の微分の規則（連鎖律）と、指数関数・三角関数 などの導関数が計算の基本になる。
- 量を集める。 速度から道のりを、曲線の下の面積・立体の体積・曲線の長さを求める（積分）。部分積分 と 置換積分 が計算の基本の道具である。
- 近似する。 関数を 1 次式（接線）や多項式で近似し、誤差を評価する（Taylorの定理、冪級数）。
- 最大・最小を求める。 微分係数が $0$ になる点の候補から最大値・最小値を決める（極値、多変数では Lagrangeの未定乗数法）。
- 変化の規則から量を復元する。 変化率についての方程式（微分方程式）を解いて、量そのものを求める（常微分方程式）。
定理の依存関係と学ぶ順
微分積分学の定理は、次の順に前の定理を使って証明される。上から順に記事を読むと、論理の抜けなく学べる。
| 段 | 主な定理 | 記事 |
|---|---|---|
| 1. 実数 | 上限の存在、Archimedes の性質 | 実数、実数の連続性、上限 |
| 2. 数列 | 単調有界数列の収束、Bolzano–Weierstrass の定理、Cauchy 列の収束 | 数列の極限、Bolzano–Weierstrassの定理、Cauchy列 |
| 3. 連続関数 | 中間値の定理、最大値・最小値の定理、閉区間上の一様連続性 | 関数の極限、中間値の定理、最大値・最小値の定理、一様連続 |
| 4. 微分 | Rolle の定理、平均値の定理、増減の判定、Taylor の定理 | 導関数、平均値の定理、Taylorの定理 |
| 5. 積分 | 連続関数の可積分性、微分積分学の基本定理、部分積分・置換積分 | Riemann積分、微分積分学の基本定理、原始関数、広義積分 |
| 6. 関数の列 | 一様収束と積分・微分の交換、冪級数の項別微分 | 級数、一様収束、冪級数 |
| 7. 多変数 | 全微分と連鎖律、逆関数定理、陰関数定理、Fubini の定理、Green・Stokes の定理 | 多変数微分積分学、偏微分、全微分、逆関数定理、陰関数定理、重積分、Fubiniの定理、Greenの定理、Stokesの定理 |
たとえば平均値の定理（Rud76 Theorem 5.10、p. 108）は Rolle の定理から、Rolle の定理は最大値・最小値の定理（同 Theorem 4.16、p. 89）から、最大値・最小値の定理は閉区間のコンパクト性から、閉区間のコンパクト性は実数の連続性から導かれる。中間値の定理（同 Theorem 4.23、p. 93）も実数の連続性による。この依存の鎖をたどると、どの定理がどの段で使えるかが分かる。
代表例：微分積分学の基本定理
微分積分学の中心にあるのは、積分の上端を動かした関数を微分するともとの関数に戻り、積分の値は原始関数の端の値の差で求まる、という定理である。ここでは連続関数の場合を、Riemann積分 と 平均値の定理 の結果だけを使って証明する。被積分関数が連続とは限らない一般の形（積分可能な $f$ と、$F'=f$ を満たす $F$）は 微分積分学の基本定理 の定理「原始関数による積分の計算」が扱っている（Rud76 Theorem 6.20・6.21、pp. 133–134）。
$a< b$ とし、$f\colon[a,b]\to\mathbb R$ を連続関数とする。
- $F(x):=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$（$x\in[a,b]$）とおくと、$F$ は $[a,b]$ 上で微分可能で、$F'=f$ である（端点では片側の微分係数）。
- $G\colon[a,b]\to\mathbb R$ が $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能で、$(a,b)$ の各点で $G'=f$ を満たすならば、
$$ \int_a^bf(x)\,dx=G(b)-G(a) $$
である。とくに、$f$ の $[a,b]$ 上の原始関数は定数の差を除いてただ 1 つ $F$ である。
連続関数は Riemann 積分可能なので（Riemann積分 の定理「連続関数の可積分性」）、$f$ は $[a,b]$ とその部分区間で積分可能であり、$F$ が定義される。
1：$c\in[a,b]$ と $\varepsilon>0$ をとる。$f$ は $c$ で連続なので、ある $\delta>0$ があって、$t\in[a,b]$、$\lvert t-c\rvert<\delta$ なら $\lvert f(t)-f(c)\rvert<\varepsilon$ となる。$h\ne0$、$c+h\in[a,b]$、$\lvert h\rvert<\delta$ とする。Riemann積分 の定理「区間についての加法性」により $F(c+h)-F(c)=\int_c^{c+h}f(t)\,dt$ であり、定数の積分 $\int_c^{c+h}f(c)\,dt=hf(c)$ を引くと
$$
\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)=\frac1h\int_c^{c+h}\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\,dt
$$
となる。$c$ と $c+h$ の間の $t$ では $\lvert t-c\rvert\le\lvert h\rvert<\delta$ なので被積分関数の絶対値は $\varepsilon$ 未満であり、同記事の命題「積分の単調性と絶対値の評価」により右辺の絶対値は $\frac1{\lvert h\rvert}\cdot\varepsilon\lvert h\rvert=\varepsilon$ 以下である。$\varepsilon$ は任意なので $F'(c)=f(c)$ である。
2：$H:=G-F$ とおく。1 により $F$ は $[a,b]$ で微分可能、したがって連続であり、$H$ は $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能で $H'=f-f=0$ である。平均値の定理 の系「導関数が0なら定数」を開区間 $(a,b)$ に当てはめると、$H$ は $(a,b)$ 上で定数 $C$ である。$H$ は $a,b$ で連続なので $H(a)=\lim_{x\to a+0}H(x)=C$、同様に $H(b)=C$ である。よって
$$
G(b)-G(a)=\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)\,dx
$$
である（$F(a)=0$）。最後の主張は、$G$ が原始関数なら $G-F$ が $[a,b]$ 上で定数になることを今示したことによる。$\square$
定理の 1 は「連続関数にはつねに原始関数がある」ことを、2 は「原始関数が 1 つ見つかれば積分が計算できる」ことを述べている。原始関数が初等関数で書けない場合（たとえば $e^{-x^2}$）でも、1 により原始関数そのものは $F$ として存在する。
$f(x)=\dfrac1{1+x^2}$ は $[0,1]$ で連続で、$G(x)=\arctan x$ が原始関数である（逆三角関数）。定理の 2 により
$$
\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1-\arctan0=\frac\pi4=0.7853\ldots
$$
である。一方、$[0,1]$ を $n$ 等分した下限和・上限和で積分を挟むこともできる。$f$ は $[0,1]$ で減少するので、各小区間の上限は左端の値、下限は右端の値である。$n=4$ では
$$
L(P,f)=\tfrac14\bigl(f(\tfrac14)+f(\tfrac12)+f(\tfrac34)+f(1)\bigr)=0.7202\ldots,\qquad U(P,f)=\tfrac14\bigl(f(0)+f(\tfrac14)+f(\tfrac12)+f(\tfrac34)\bigr)=0.8452\ldots
$$
で、確かに $\pi/4$ を挟んでいる。$n=100$ では両者の差は $\frac1n\bigl(f(0)-f(1)\bigr)=0.005$ まで縮み、和の平均の 4 倍は $3.14157\ldots$ になる。積分を和の極限として求める方法と、原始関数で求める方法が同じ値を与えることを、この定理が保証している。
仮定の役割
導関数は存在しても、積分できるとは限らない。このとき定理の 2 の形の公式は、Riemann 積分の範囲では意味をもたない。
$G(x):=x^2\sin\dfrac1{x^2}$（$x\ne0$）、$G(0):=0$ とおく。$G$ は $[-1,1]$ のすべての点で微分可能だが、導関数 $G'$ は $[-1,1]$ 上で有界でなく、したがって Riemann 積分可能でない。
$x\ne0$ では積と合成関数の微分により
$$
G'(x)=2x\sin\frac1{x^2}-\frac2x\cos\frac1{x^2}
$$
である。$x=0$ では、$h\ne0$ について $\Bigl\lvert\dfrac{G(h)-G(0)}{h}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert h\sin\dfrac1{h^2}\Bigr\rvert\le\lvert h\rvert$ なので $G'(0)=0$ である。よって $G$ は $[-1,1]$ のすべての点で微分可能である。
正の整数 $m$ について $x_m:=1/\sqrt{2\pi m}\in(0,1)$ とおくと、$1/x_m^2=2\pi m$ なので $\sin(1/x_m^2)=0$、$\cos(1/x_m^2)=1$ であり、$G'(x_m)=-2\sqrt{2\pi m}$ である。これは $m\to\infty$ で $-\infty$ に発散するので、$G'$ は有界でない。Riemann 積分は有界な関数についてだけ定義されるので（def-calc-riemann）、$G'$ は Riemann 積分可能でない。$\square$
$G'$ は $[\varepsilon,1]$ のような $0$ を含まない区間では連続なので、そこでは定理が使えて $\int_\varepsilon^1G'=G(1)-G(\varepsilon)$ である。全区間 $[-1,1]$ では、積分を 広義積分 や Lebesgue積分 に広げて扱うことになる。
定理の仮定を 1 つずつ外したときに崩れることを表にまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 1 の「$f$ が連続」 | $[-1,1]$ 上の $f(x)=0$（$x<0$）、$f(x)=1$（$x\ge0$） | $f$ は積分可能で $F(x)=\max(x,0)$ だが、$F$ は $x=0$ で微分可能でない |
| 2 の「$(a,b)$ 上で微分可能で、各点で $G'=f$」 | $[0,1]$ 上の $f=0$ と Cantor 関数 $G$（Cantor集合 の命題「Cantor関数の構成」） | $G$ は連続で、Cantor 集合の外では $G'=0=f$ だが、$G(1)-G(0)=1\ne0=\int_0^1f$ |
| 2 の「$G$ が $[a,b]$ 上で連続」 | $f=0$ と、$G(x)=0$（$-1\le x<1$）、$G(1)=1$ | $(-1,1)$ では $G'=0=f$ だが、$G(1)-G(-1)=1\ne0$ |
| 「定義域が 1 つの区間」 | $(0,1)\cup(2,3)$ 上の $G$：$(0,1)$ で $0$、$(2,3)$ で $1$ | $G'=0$ だが $G$ は定数でなく、原始関数は定数の差だけでは決まらない |
| 2 の「$f$ が連続（積分可能）」 | prop-calc-unbounded-derivative の $G$ と $f=G'$ | $G'$ は各点で存在するが、$\int_{-1}^1G'$ が Riemann 積分として定まらない |
1 行目の $f$ は原始関数をもたない。導関数は、連続でなくても中間値の性質をもつからである（導関数の中間値の性質、Rud76 Theorem 5.12、p. 108）。一方、$x\ne0$ で $x^2\sin(1/x)$、$0$ で $0$ となる関数は、導関数が存在するが $0$ で連続でない例である（Rud76 Example 5.6 (b)、p. 106）。
多変数への広がり
$\mathbb R^n$ の開集合の上の関数では、1 変数の微分係数の役割を 全微分（1 次近似を与える線形写像、その行列が Jacobi行列）が担う（全微分、偏微分）。偏微分がすべて存在しても全微分可能とは限らないが、偏導関数が連続なら全微分可能である。合成写像の全微分は全微分の合成である（連鎖律）。
多変数に固有の基本定理は、1 次近似が可逆なら写像そのものが局所的に可逆であるという 逆関数定理（逆関数定理、Rud76 Theorem 9.24、p. 221）と、そこから導かれ、方程式 $F(x,y)=0$ を局所的に $y=g(x)$ と解く条件を与える 陰関数定理（陰関数定理、同 Theorem 9.28、p. 224）である。積分の側では、重積分を 1 変数の積分の繰り返しで計算する Fubiniの定理 と、積分の変数変換の公式（重積分）が基本である。1 変数の微分積分学の基本定理は、領域の上の積分を境界の上の積分で表す Greenの定理・Gaussの発散定理・Stokesの定理 に一般化される。これらの全体は 多変数微分積分学 が見渡している。
解析学の中での位置
微分積分学は、関数を扱う数学の多くの分野の共通の基礎である。
- 積分の拡張：Riemann 積分では極限と積分の交換に強い条件（一様収束など）が要る。可積分な関数の範囲を広げ、極限との交換を扱いやすくしたのが Lebesgue積分 である。
- 関数の空間：関数を 1 つの点とみなす無限次元の空間の理論が 関数解析 である。
- 方程式：常微分方程式 と 偏微分方程式 は、微分を含む方程式の解の存在・一意性・性質を調べる。
- 複素数の関数：複素数の変数の関数の微分を考えると、1 回微分できるだけで何回でも微分でき、冪級数に展開できるという、実数の場合にない性質が現れる（複素解析、正則関数）。
- 曲がった空間：多変数の微分積分を多様体の上で行い、Stokes の定理を微分形式の言葉で統一的に述べるのが微分幾何学の出発点である。
歴史
微分と積分は、面積や接線の個別の計算として古くから知られていたが、17 世紀後半に Newton と Leibniz が互いに独立に、両者を逆の操作として結びつける計算の体系を作った。Leibniz の記号 $dy/dx$ と $\int$ は現在も使われている。19 世紀には Cauchy が極限を使って微分と積分を定義し直し、Riemann が積分可能性の一般的な定義を与え、Weierstrass らが $\varepsilon$–$\delta$ による議論を整え、Dedekind らが実数を構成して実数の連続性を証明できるようにした。Rud76 はこの論理の順序（実数・数列・連続性・微分・積分・関数列・多変数）で微分積分学を構成する教科書である。
関連項目
参考文献
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