Carnotの定理（三角形）

$A(0,3)$、$B(4,0)$、$C(0,0)$ とする。$a=4$、$b=3$、$c=5$ で、$\angle C=90^\circ$ である。
(1) 外心と $R$。直角三角形の外心は斜辺 $AB$ の中点なので $O\left(2,\dfrac32\right)$、$R=\dfrac52$ である。
(2) 内接円の半径。$S=\dfrac12\cdot4\cdot3=6$、$s=\dfrac{a+b+c}2=6$ なので、$r=\dfrac Ss=1$ である（三角形の内心と傍心）。
(3) 3 辺までの距離。辺 $BC$（$x$ 軸）までは $\dfrac32$、辺 $CA$（$y$ 軸）までは $2$、辺 $AB$ までは $O$ が $AB$ の上にあるので $0$ である。和は
$$ \frac32+2+0=\frac72=\frac52+1=R+r $$
である。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ とする。$a=14$、$b=15$、$c=13$ である。
(1) 外心と $R$。辺 $BC$ の垂直二等分線は $x=7$ である。$O(7,k)$ が $OB=OA$ を満たすように $k$ を決めると、$49+k^2=4+(12-k)^2$ から $24k=99$、$k=\dfrac{33}8$ である。$R=OB=\sqrt{49+\dfrac{1089}{64}}=\sqrt{\dfrac{4225}{64}}=\dfrac{65}8$ である。
(2) 内接円の半径。$S=\dfrac12\cdot14\cdot12=84$、$s=21$ なので $r=\dfrac{84}{21}=4$ である。
(3) 3 辺までの距離。辺 $BC$（$x$ 軸）までは $\dfrac{33}8$ である。直線 $CA$ は $4x+3y-56=0$、直線 $AB$ は $12x-5y=0$ なので、点と直線の距離の公式から
$$ \frac{\lvert 28+\frac{99}8-56\rvert}{5}=\frac{125/8}{5}=\frac{25}8,\qquad \frac{\lvert 84-\frac{165}8\rvert}{13}=\frac{507/8}{13}=\frac{39}8 $$
である。和は
$$ \frac{33}8+\frac{25}8+\frac{39}8=\frac{97}8=\frac{65}8+\frac{32}8=R+r $$
である。

$C(0,0)$、$B(3,0)$、$A\left(-\dfrac52,\dfrac{5\sqrt3}2\right)$ とする。$a=3$、$b=5$ で、$\angle C=120^\circ$ である。余弦定理から $c^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ=49$、$c=7$ である。
(1) 角の余弦。余弦定理から
$$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14},\qquad \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14},\qquad \cos C=-\frac12 $$
である。
(2) $R$ と $r$。正弦定理から $2R=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{7}{\sqrt3/2}$ で $R=\dfrac7{\sqrt3}=\dfrac{7\sqrt3}3$ である。$S=\dfrac12\cdot3\cdot5\sin120^\circ=\dfrac{15\sqrt3}4$、$s=\dfrac{15}2$ なので $r=\dfrac Ss=\dfrac{\sqrt3}2$ である。
(3) 符号つき距離。lem-crn-rcos により
$$ d_a=\frac7{\sqrt3}\cdot\frac{13}{14}=\frac{13\sqrt3}6,\qquad d_b=\frac7{\sqrt3}\cdot\frac{11}{14}=\frac{11\sqrt3}6,\qquad d_c=\frac7{\sqrt3}\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac{7\sqrt3}6 $$
である。外心は $O\left(\dfrac32,\dfrac{13\sqrt3}6\right)$ で、辺 $AB$ について $C$ と反対側にある（図 3）。和は
$$ d_a+d_b+d_c=\frac{(13+11-7)\sqrt3}6=\frac{17\sqrt3}6,\qquad R+r=\frac{14\sqrt3}6+\frac{3\sqrt3}6=\frac{17\sqrt3}6 $$
で、等しい。

1. 正三角形では $A=B=C=60^\circ$ で、$4R\sin^330^\circ=\dfrac R2$ である。1 辺 $2$ の正三角形では $R=\dfrac2{\sqrt3}$、$r=\dfrac1{\sqrt3}$ で、確かに $r=\dfrac R2$ である。
2. ex-crn-345 では $\cos A=\dfrac{b}{c}=\dfrac35$、$\cos B=\dfrac{a}{c}=\dfrac45$、$C=90^\circ$ である。半角の公式 $\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}2$ から $\sin\dfrac A2=\dfrac1{\sqrt5}$、$\sin\dfrac B2=\dfrac1{\sqrt{10}}$、$\sin\dfrac C2=\dfrac1{\sqrt2}$ で、
   $$ 4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=4\cdot\frac52\cdot\frac1{\sqrt{10}\cdot\sqrt5\cdot\sqrt2}=\frac{10}{10}=1=r $$
   である。

1. ex-crn-131415 では、余弦定理から $\cos A=\dfrac{15^2+13^2-14^2}{2\cdot15\cdot13}=\dfrac{198}{390}=\dfrac{33}{65}$、$\cos B=\dfrac{14^2+13^2-15^2}{2\cdot14\cdot13}=\dfrac{140}{364}=\dfrac5{13}$、$\cos C=\dfrac{14^2+15^2-13^2}{2\cdot14\cdot15}=\dfrac{252}{420}=\dfrac35$ である。
   $$ \frac{33}{65}+\frac{25}{65}+\frac{39}{65}=\frac{97}{65},\qquad 1+\frac rR=1+\frac{4}{65/8}=1+\frac{32}{65}=\frac{97}{65} $$
   で、等しい。
2. ex-crn-357 では $\dfrac{13}{14}+\dfrac{11}{14}-\dfrac12=\dfrac{17}{14}$、$1+\dfrac rR=1+\dfrac{\sqrt3/2}{7/\sqrt3}=1+\dfrac3{14}=\dfrac{17}{14}$ で、等しい。鈍角の $\cos C=-\dfrac12$ は負のまま足している。

1. ex-crn-131415 では $\cos A+\cos B+\cos C=\dfrac{97}{65}\fallingdotseq1.492$ で $\dfrac32$ より少し小さい。$\dfrac Rr=\dfrac{65}{32}\fallingdotseq2.03$ で、$2$ より少し大きい。
2. 直角二等辺三角形（等しい 2 辺が $1$）では、$\cos A+\cos B+\cos C=\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt2}2+0=\sqrt2\fallingdotseq1.414$ である。$R=\dfrac{\sqrt2}2$、$r=\dfrac{1+1-\sqrt2}2=\dfrac{2-\sqrt2}2$ で、$\dfrac rR=\dfrac{2-\sqrt2}{\sqrt2}=\sqrt2-1$ なので、$1+\dfrac rR=\sqrt2$ と合う。
3. ex-crn-357 では $\dfrac{17}{14}\fallingdotseq1.214$ で、$\dfrac Rr=\dfrac{7/\sqrt3}{\sqrt3/2}=\dfrac{14}3\fallingdotseq4.67$ である。平たい三角形ほど余弦の和は $1$ に近づき、$\dfrac Rr$ は大きくなる。

ex-crn-357 の三角形で、外心から 3 辺までの距離（向きを考えない長さ）は $\dfrac{13\sqrt3}6$、$\dfrac{11\sqrt3}6$、$\dfrac{7\sqrt3}6$ である。そのまま足すと
$$ \frac{(13+11+7)\sqrt3}6=\frac{31\sqrt3}6\ne\frac{17\sqrt3}6=R+r $$
である。辺 $AB$ までの距離に負の符号をつけたときだけ $R+r$ になる。鋭角三角形では 3 つとも正なので、この区別は要らない。

ex-crn-131415 の三角形で考える。$R+r=\dfrac{97}8=12.125$ である。
(1) 内心から 3 辺までの距離はどれも $r=4$ なので、和は $3r=12\ne\dfrac{97}8$ である。
(2) 重心 $G$ から辺 $BC$ までの距離は、$A$ から辺 $BC$ までの高さ $h_a$ の $\dfrac13$ である（重心は中線を $2:1$ に分ける）。$h_a=\dfrac{2S}a=12$、$h_b=\dfrac{2S}b=\dfrac{56}5$、$h_c=\dfrac{2S}c=\dfrac{168}{13}$ なので、和は
$$ \frac13\left(12+\frac{56}5+\frac{168}{13}\right)=4+\frac{56}{15}+\frac{56}{13}=\frac{780+728+840}{195}=\frac{2348}{195}\fallingdotseq12.041 $$
で、$\dfrac{97}8$ と異なる。
正三角形では外心・内心・重心が一致するので、どれから測っても和は $R+r=3r$ である。$R+r$ が出るのは、外心から測ったときの特別な性質である。