豊富なベクトル束
概要
豊富なベクトル束（ample vector bundle）とは、射影スキームの上のベクトル束 $E$ で、任意の連接層 $F$ に対して $n$ が大きいとき $F\otimes S^nE$ が大域切断で生成されるものである。これは射影束 $\mathbb{P}(E)$ の同語反復的な直線束が豊富であること、および $n$ が大きいとき $F\otimes S^nE$ の高次コホモロジーが消えることと同値である。豊富なベクトル束の商・直和・行列式は豊富で、射影直線の上で $\bigoplus_i\mathcal{O}(a_i)$ が豊富であることは、すべての $a_i$ が正であることと同値である。射影空間の接束は豊富で、接束が豊富な滑らかな射影多様体は射影空間に限る。
前提知識: 豊富な可逆層, 射影束, 局所自由層, Serreの消滅定理, Grothendieckの分解定理(射影直線上のベクトル束)
豊富なベクトル束（ample vector bundle）とは、豊富な可逆層 の考え方を階数 $2$ 以上に広げたものである。定義は Hartshorne による。高い対称積を掛けると、どの連接層も大域切断で生成されるとき、ベクトル束を豊富という。これは射影束 $\mathbb{P}(E)$ の上の同語反復的な直線束が豊富であることと同値で、ベクトル束の正値性を直線束の正値性に翻訳する。
直線束の場合と大きく違う点が 1 つある。階数 $2$ 以上では、行列式が豊富でも豊富とは限らない。曲線の上では、豊富さはすべての商に正の次数を要求する。射影直線の上でこれははっきり見える。ベクトル束は直線束の和に分解し、豊富であることは、和因子の次数がすべて正であることと同値である。
この概念のいちばん有名な使い道は接束である。射影空間の接束は豊富で、森の定理(Hartshorne予想) は逆に、接束が豊富な滑らかな射影多様体は射影空間に限ると述べる。
この記事では、射影スキームの上で定義の 3 つの言い換えを証明し、基本性質を証明し、射影直線の上の分類を与える。
定義
この記事では $k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の射影スキームとする。ベクトル束 は、階数が一定で $1$ 以上の局所自由層を表す。階数 $0$ の層は定義の上で豊富になるが、行列式が自明なので除く。$S^nE$ を $E$ の $n$ 次の対称積とする。
$X$ の上のベクトル束 $E$ が 豊富（ample）であるとは、任意の連接層 $F$ に対して整数 $n_0$ があり、$n\ge n_0$ なら $F\otimes S^nE$ が大域切断で生成されることをいう。
階数 $1$ なら $S^nE=E^{\otimes n}$ で、これは 豊富な可逆層 の定義そのものである。
$E$ の階数を $r$ とする。$\pi\colon\mathbb{P}(E):=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E\to X$ を 射影束 とする。$x\in X$ の上のファイバーは $E$ のファイバー $E(x)$ の $1$ 次元の商の空間で、$\mathbb{P}^{r-1}$ と同型である。同語反復的な直線束を $L:=\mathcal{O}_{\mathbb{P}(E)}(1)$ と書く。全射 $\pi^*E\to L$ があり、ファイバーごとには $E(x)$ のその $1$ 次元の商である。
$F$ を $X$ の連接層とする。$n\ge0$、$i>0$ について
$$
\pi_*(\pi^*F\otimes L^{\otimes n})\cong F\otimes S^nE,\qquad R^i\pi_*(\pi^*F\otimes L^{\otimes n})=0
$$
である。したがって $H^i(\mathbb{P}(E),\pi^*F\otimes L^{\otimes n})\cong H^i(X,F\otimes S^nE)$（$i\ge0$）である。
この補題はこの記事では証明しない（Har66 Lemma 3.1、p. 68）。局所的に $E$ が自明なときの射影空間のコホモロジーの計算に帰着する。最後の主張は Leray のスペクトル系列による。
次の定理により、定義は直線束の豊富さとコホモロジーの消滅で言い換えられる。
$X$ の上のベクトル束 $E$ について、次は同値である。
- $E$ は豊富である。
- $L=\mathcal{O}_{\mathbb{P}(E)}(1)$ は $\mathbb{P}(E)$ の豊富な可逆層である。
- 任意の連接層 $F$ に対して整数 $n_0$ があり、$n\ge n_0$、$i>0$ なら $H^i(X,F\otimes S^nE)=0$ である。
1 ⇒ 2：$G$ を $\mathbb{P}(E)$ の連接層とする。$X$ の有限個のアフィン開集合の上で $E$ が自明になるように覆い、Har77 Theorem II.5.17 を各開集合の上の射影空間に使うと、$n_1$ があって $\pi^*\pi_*(G\otimes L^{\otimes n_1})\to G\otimes L^{\otimes n_1}$ は全射である。$F:=\pi_*(G\otimes L^{\otimes n_1})$ は連接層である。同じことを $\pi^*F$ に使うと、$n_2$ があって $n\ge n_2$ なら $\pi^*\pi_*(\pi^*F\otimes L^{\otimes n})\to\pi^*F\otimes L^{\otimes n}$ は全射である。lem-av-direct-image により左辺は $\pi^*(F\otimes S^nE)$ で、$n$ が大きければ 1 により大域切断で生成される。よって $\pi^*F\otimes L^{\otimes n}$ も、その商 $G\otimes L^{\otimes(n_1+n)}$ も大域切断で生成される。
2 ⇒ 3：$\mathbb{P}(E)$ は $k$ 上固有なので、豊富な可逆層のコホモロジーの消滅（Har77 Proposition III.5.3）により、$n$ が大きいとき $H^i(\mathbb{P}(E),\pi^*F\otimes L^{\otimes n})=0$（$i>0$）である。lem-av-direct-image で $X$ に移せばよい。
3 ⇒ 1：$\mathcal{O}_X(1)$ を非常に豊富な可逆層、$F$ を連接層とする。3 を $F(-1),\dots,F(-\dim X)$ に使うと、$n_0$ があって $n\ge n_0$、$i>0$ なら $H^i(X,(F\otimes S^nE)(-i))=0$ である（$i>\dim X$ では自動的に成り立つ）。すなわち $F\otimes S^nE$ を射影空間の上の層と見ると Castelnuovo–Mumford正則性 の意味で $0$ 正則で、Mumford の定理により大域切断で生成される。$\square$
Har66 は有限型のスキームの上で定義を与える。1 と 2 の同値はそこでも成り立つ（Proposition 3.2、p. 69）。3 ⇒ 1 も成り立つが、1 ⇒ 3 は $X$ が固有なときの主張で、固有でないと一般には成り立たない（Proposition 3.3、p. 70 と p. 71 の注意）。一般の場合はこの記事では証明しない。
2 の言い換えから、曲線の上の商との関係がわかる。$C\to X$ を曲線からの射とする。引き戻しの商直線束 $M$ は $\mathbb{P}(E)$ への射 $C\to\mathbb{P}(E)$ を与え、$L$ の引き戻しが $M$ である。したがって $E$ が豊富で、この射が定値でなければ、$\deg M>0$ である。
基本性質
$X$ の上のベクトル束について、次が成り立つ。
- 豊富なベクトル束の商ベクトル束は豊富である。
- $E_1\oplus E_2$ が豊富であることと、$E_1,E_2$ がともに豊富であることは同値である。
- $E$ が豊富で $E'$ が大域切断で生成されるなら、$E\otimes E'$ は豊富である。
- $E$ が豊富なら、閉部分スキーム $Y$ への制限 $E\vert_Y$ は豊富である。
- 完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ で $E',E''$ が豊富なら、$E$ は豊富である。
- $E$ が豊富なら、$n$ が大きいとき $S^nE$ は豊富である。逆に、ある $m>0$ で $S^mE$ が豊富なら $E$ は豊富である。
- $E$ が豊富なら、$\det E$ は豊富である。
1：$E\to E''$ が全射なら $S^nE\to S^nE''$ は全射である。よって $F\otimes S^nE''$ は $F\otimes S^nE$ の商で、大域切断で生成される。
2：「ならば」は 1 による。逆は対称積の分解 $S^n(E_1\oplus E_2)\cong\bigoplus_{p+q=n}S^pE_1\otimes S^qE_2$ から、$p+q$ が大きいとき $F\otimes S^pE_1\otimes S^qE_2$ が大域切断で生成されることを示せばよい。
数の選び方を開く
$n\ge n_1$ なら $S^nE_1$ が、$n\ge n_2$ なら $F\otimes S^nE_2$ が生成されるように $n_1,n_2$ をとる。$r < n_1$ について、$n\ge m_r$ なら $F\otimes S^rE_1\otimes S^nE_2$ が生成されるように $m_r$ をとる。$s < n_2$ について、$n\ge l_s$ なら $F\otimes S^sE_2\otimes S^nE_1$ が生成されるように $l_s$ をとる。$n_0:=\max_{r,s}(r+m_r,\,s+l_s)$ とする。$p+q\ge n_0$ とする。$p < n_1$ なら $q\ge m_p$ で、$q < n_2$ なら $p\ge l_q$ で、どちらも選び方から生成される。$p\ge n_1$ かつ $q\ge n_2$ なら、$S^pE_1$ と $F\otimes S^qE_2$ の生成からテンソル積も生成される。
3：$E'$ は自明なベクトル束 $\mathcal{O}_X^{\oplus N}$ の商である。$E\otimes E'$ は豊富な $E^{\oplus N}$（2）の商なので、1 により豊富である。
4：$F$ を $Y$ の連接層とする。$i_*F\otimes S^nE\cong i_*(F\otimes S^n(E\vert_Y))$ で、左辺が生成されることは右辺の中の層が $Y$ の上で生成されることと同じである。
5：2 と thm-av-equivalent により、$p+q$ が大きいとき $H^i(X,F\otimes S^pE'\otimes S^qE'')=0$（$i>0$）である。$S^nE$ は $S^pE'\otimes S^qE''$（$p+q=n$）を順次の商にもつ有限のフィルトレーションをもつので、コホモロジーの完全列により $H^i(X,F\otimes S^nE)=0$ である。
6：$E$ が豊富なら、$n$ が大きいとき $S^{n-1}E$ は生成され、$E\otimes S^{n-1}E$ は 3 により豊富で、その商 $S^nE$ も豊富である。逆を示す。$S^mE$ は豊富とする。$r=0,\dots,m-1$ について、$F\otimes S^rE$ に定義を使うと、$n\ge l_r$ なら $F\otimes S^rE\otimes S^n(S^mE)$ は生成され、その商 $F\otimes S^{r+mn}E$ も生成される。$l_r$ の最大を $l$ とすると、$N\ge ml+m$ なら $F\otimes S^NE$ は生成される。
7：$r$ を $E$ の階数とする。6 により $S^nE$ は豊富かつ生成されるとしてよく、その階数を $s$ とする。3 を繰り返して $(S^nE)^{\otimes s}$ は豊富で、その商の直線束 $\Lambda^s(S^nE)$ も豊富である。$GL_r$ の $1$ 次元表現は行列式の冪なので、$\Lambda^s(S^nE)\cong(\det E)^{\otimes m}$ で、次数を比べると $m=ns/r>0$ である。よって $\det E$ は豊富である。$\square$
prop-av-basic の 1、2 は Har66 Proposition 2.2、3 は Corollary 2.3、4 は Proposition 4.1、5 は Corollary 3.4、6 は Proposition 2.4、7 は Corollary 2.6 で、証明もこれに沿っている。
$g\colon X'\to X$ を射影スキームの有限全射とする。$E$ が豊富であることと $g^*E$ が豊富であることは同値である。
$g$ から定まる $\mathbb{P}(g^*E)\to\mathbb{P}(E)$ は有限全射で、$\mathcal{O}(1)$ を $\mathcal{O}(1)$ に引き戻す。thm-av-equivalent により、直線束の場合（Har77 Exercise III.5.7(d)）に帰着する（Har66 Proposition 4.3、p. 73 も同じ議論である）。この直線束の主張はこの記事では証明しない。$\square$
標数 $0$ では、豊富なベクトル束 $E$ の $S^nE$（$n>0$）と $\Lambda^nE$（$1\le n\le\operatorname{rank}E$）、および豊富なベクトル束のテンソル積はまた豊富である（Har66 Corollary 5.3、p. 77）。滑らかな射影曲線の上ではテンソル積の主張はどの標数でも成り立つ（Corollary 7.4、p. 81）。この記事では証明しない。
固有射のファイバーの上で豊富なら、近くのファイバーの上でも豊富である（Proposition 4.4、p. 73）。また、豊富であることは、ベクトル束のスキーム $\mathbb{V}(E)=\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}E$ の零切断を 1 点につぶせることと同値である（Grauert の判定法、Proposition 3.5、p. 72）。どちらもこの記事では証明しない。
曲線の上
$X$ を滑らかな射影曲線、$E$ を $X$ の上の豊富なベクトル束とする。$E$ の $0$ でない商ベクトル束の次数は正である。とくに $\deg E>0$ である。
商 $Q$ は prop-av-basic の 1 により豊富で、7 により $\det Q$ は豊富である。曲線の上で豊富な直線束の次数は正で、$\deg Q=\deg\det Q$ である。$\square$
射影直線の上では、この必要条件で話が閉じる。
$\mathbb{P}^1$ の上のベクトル束は $E\cong\bigoplus_{i=1}^r\mathcal{O}(a_i)$ と分解する。$E$ が豊富であることと、すべての $a_i$ が正であることは同値である。
分解は Grothendieckの分解定理(射影直線上のベクトル束) である。$\mathcal{O}(a)$ が豊富であることは $a>0$ と同値である。prop-av-basic の 2 から主張が従う。$\square$
$k$ の標数を $0$ とする。$X$ を滑らかな射影曲線、$E$ を $X$ の上の階数 $2$ のベクトル束とする。$E$ が豊富であることと、$\deg E>0$ かつ $E$ のすべての商直線束の次数が正であることは同値である。
必要性は prop-av-curve-quotient である。十分性はこの記事では証明しない（Har66 Corollary 7.6、p. 83）。証明は、線織曲面 $\mathbb{P}(E)$ の $L$ に中井喜和（Yoshikazu Nakai）の判定法を使う。
$X$ を種数 $g\ge2$ の滑らかな射影曲線、$K$ を標準束とする（Har66 p. 84）。
$H^1(X,K)\ne0$ なので、分裂しない拡大 $0\to K\to E_1\to\mathcal{O}_X\to0$ がある。$E_1$ は階数 $2$、次数 $2g-2$ で、商 $\mathcal{O}_X$ をもつので豊富でない。
$H^1(X,\mathcal{O}_X)\ne0$ なので、分裂しない拡大 $0\to\mathcal{O}_X\to F\to\mathcal{O}_X\to0$ がある。$\deg M=g-1>0$ の直線束 $M$ で $E_2:=F\otimes M$ とおくと、$E_2$ は階数 $2$、次数 $2g-2$ で、$M$ と $M$ の拡大なので prop-av-basic の 5 により豊富である。
$E_1,E_2$ はどちらも直和に分解しない。階数と次数だけでは、直和に分解しないベクトル束の豊富さは決まらない。
$\mathbb{P}^1$ の上の小さな例を、$\mathbb{P}(E)$ の形と並べる。$E=\mathcal{O}(a)\oplus\mathcal{O}(b)$ の $\mathbb{P}(E)$ は $m=\lvert a-b\rvert$ の Hirzebruch曲面 $\mathbb{F}_m$ である。
| $E$ | $\mathbb{P}(E)$ | 大域切断で生成 | $\det E$ は豊富 | $E$ は豊富 |
|---|---|---|---|---|
| $\mathcal{O}(1)\oplus\mathcal{O}(1)$ | $\mathbb{F}_0=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ | はい | はい | はい |
| $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(1)$ | $\mathbb{F}_1$（$\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発） | はい | はい | いいえ |
| $\mathcal{O}(2)\oplus\mathcal{O}(-1)$ | $\mathbb{F}_3$ | いいえ | はい | いいえ |
2 行目の $L$ は商 $\mathcal{O}$ に対応する切断の上で次数 $0$、3 行目の $L$ は商 $\mathcal{O}(-1)$ に対応する切断の上で次数 $-1$ で、$\mathbb{P}(E)$ の曲線との交点数が正にならない。
接束と余接束
$\mathbb{P}^n$ の Euler列 から、$Q:=T_{\mathbb{P}^n}(-1)$ は自明なベクトル束 $\mathcal{O}^{\oplus(n+1)}$ の商で、大域切断で生成される。$T_{\mathbb{P}^n}=Q\otimes\mathcal{O}(1)$ なので、prop-av-basic の 3 により $T_{\mathbb{P}^n}$ は豊富である。一方 $n\ge2$ のとき、直線 $\ell$ への制限は $Q\vert_\ell\cong\mathcal{O}(1)\oplus\mathcal{O}^{\oplus(n-1)}$ で、商 $\mathcal{O}$ をもつので、$Q$ は豊富でない。
森の定理(Hartshorne予想) は、この例が接束の豊富な滑らかな射影多様体のすべてであることを主張する。証明の入口は、接束の有理曲線への制限が thm-av-p1 により正の直線束の和になることで、詳しくはその記事にある。余接束の側では、豊富さは逆の方向に強い制約を与える。
$k$ の標数を $0$ とする。$X$ を滑らかな射影多様体で余接束 $\Omega_X$ が豊富なものとする。滑らかな射影曲線 $C$ から $X$ への定値でない射があれば、$C$ の種数は $2$ 以上である。
$f\colon C\to X$ を定値でない射、$Y:=f(C)$ を被約な像とする。prop-av-basic の 4 により $\Omega_X\vert_Y$ は豊富で、$C\to Y$ は有限全射なので、prop-av-finite により $f^*\Omega_X$ は豊富である。標数 $0$ なので $f$ の微分 $f^*\Omega_X\to\Omega_C$ は $0$ でない。その像は $\Omega_C$ の部分可逆層 $M$ で、$f^*\Omega_X$ の商ベクトル束である。prop-av-curve-quotient により $\deg M>0$ で、$M\subset\Omega_C$ から $2g-2=\deg\Omega_C\ge\deg M>0$ である。$\square$
| $X$ | $T_X$ は豊富 | $\Omega_X$ は豊富 | 理由 |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{P}^n$（$n\ge1$） | はい | いいえ | ex-av-pn、$\mathbb{P}^1$ への制限の次数 |
| 種数 $g\ge2$ の曲線 | いいえ | はい | 次数 $2g-2>0$ |
| アーベル多様体 | いいえ | いいえ | 両方とも自明 |
| 種数 $2$ 以上の曲線 $C_1,C_2$ の積 | いいえ | いいえ | ファイバーへの制限が自明な和因子をもつ |
複素幾何との関係
$k=\mathbb{C}$ で $X$ が滑らかなとき、$X$ はコンパクト複素多様体で、$E$ は正則ベクトル束である。小林昭七（Shoshichi Kobayashi）の本では、$\mathbb{P}(E)$ の上の直線束 $L$（その本の記法では $P(E^*)$ の上の $L(E^*)^{-1}$）が正の曲率をもつとき $E$ を 正 という。小平の埋め込み定理により、この意味の正と豊富は同値である（Kob87 Corollary 3.6.29、p. 89。この記事では証明しない）。
微分幾何の別の条件に、Griffiths の意味の正値性がある（中野正値性と中野の消滅定理）。これは $E$ の Hermite 計量の曲率についての条件である。豊富なベクトル束はこの意味の正の計量をもつか、という Griffiths の問題 は、$X$ が曲線の場合に肯定的に解かれたが、Dem12 (11.14)（第 VII 章、p. 354）の 2012 年の時点で一般の場合は未解決と述べられている。
反例：条件を弱めると
豊富さは次の条件に弱められない。どの行も $X=\mathbb{P}^1$ の例である。
| 弱めた条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\det E$ が豊富 | $\mathcal{O}(2)\oplus\mathcal{O}(-1)$ | $E$ の豊富さ |
| $E$ が大域切断で生成される | $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(1)$ | $E$ の豊富さ |
| $E$ から定まる Grassmann 多様体への射が埋め込み | $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(1)$ | $E$ の豊富さ |
| 部分束をとる（$E$ は豊富） | $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}(1)^{\oplus2}$ | 部分束の豊富さ |
| 有限全射の順像をとる（$E$ は豊富） | $f(x)=x^2$ と $f_*\mathcal{O}(1)$ | 順像の豊富さ |
1、2 行目：thm-av-p1 による。$\mathcal{O}(2)\oplus\mathcal{O}(-1)$ の行列式は $\mathcal{O}(1)$ である。
3 行目：$E=\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(1)$ の 3 つの切断 $(1,0)$、$(0,x)$、$(0,y)$ の張る空間を $V$ とする。$V\to E(t)$ の核は、点 $t=[x:y]$ で $(0,y,-x)$ の張る直線である。よって $\mathbb{P}^1$ は、$V$ の中の直線の空間の中に直線として埋め込まれる（Har66 p. 73）。直線束では高い冪の埋め込みが豊富さと同値だが、ベクトル束ではこの形の言い換えはできない。
4 行目：$(x,y)$ の与える $\mathcal{O}\to\mathcal{O}(1)^{\oplus2}$ はどこでも $0$ にならず、余核は $\mathcal{O}(2)$ である。$E=\mathcal{O}(1)^{\oplus2}$ は豊富だが、部分束 $\mathcal{O}$ は豊富でない。
5 行目：$f\colon\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$ を次数 $2$ の射 $x\mapsto x^2$ とする（Har66 p. 74）。$f_*\mathcal{O}(1)$ は階数 $2$ で、$\chi(f_*\mathcal{O}(1))=\chi(\mathcal{O}(1))=2$ なので Riemann–Roch から次数 $0$ である。次数 $0$ のベクトル束は prop-av-curve-quotient により豊富でない。一方、有限で忠実平坦な射について、$f_*E$ が豊富なら $E$ は豊富である（Proposition 4.5、p. 74）。5 行目はその逆が成り立たないことを示す。
関連項目
参考文献
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