閉作用素

同義語：閉線形作用素closed operatorclosed linear operator

概要

前提知識: Banach空間, 有界線形作用素, 閉グラフ定理

微分 $f\mapsto f'$ は、上限ノルムのように関数の値の大きさを測るノルムについて有界でない。$\|t^n\|_\infty=1$ なのに $\|(t^n)'\|_\infty=n$ だからである。有界でない線形写像は連続でもないので、「$f_n\to f$ なら $f_n'\to f'$」は期待できない。しかし微分には、連続性より弱い次の性質がある：$[0,1]$ 上の $C^1$ 級の関数 $f_n$ について $f_n\to f$ と $f_n'\to g$ が両方一様に成り立つなら、$f$ は微分可能で $f'=g$ である。
この性質は、グラフ $\{(f,f')\}$ が直積空間の閉集合であることと言い換えられる。グラフが閉である線形写像を 閉作用素（closed operator）という。閉作用素は、微分作用素や量子力学の作用素のような有界でない作用素を扱うときの基本の枠組みである。Banach 空間の間では、全空間で定義された閉作用素は有界である（閉グラフ定理）ので、有界でない閉作用素は必ず真の部分空間の上で定義される。
この記事では、閉作用素の定義と列による判定、有界性と定義域の閉性の関係、核と値域の性質、閉包をもつ作用素とその閉包、値が有限次元の場合を述べ、微分作用素を例として計算する。
以下、係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、$X,Y$ は $\mathbb K$ 上のノルム空間とする。完備性が必要なところでは Banach 空間と明記する。

定義

部分空間 $D(T)\subset X$ から $Y$ への線形写像 $T\colon D(T)\to Y$ を、$X$ から $Y$ への 作用素 といい、$D(T)$ を 定義域 という（非有界作用素の定義「作用素と定義域」と同じ用語）。$T$ の グラフ を
$$ \Gamma(T):=\{(x,Tx)\mid x\in D(T)\}\subset X\times Y $$
とし、$X\times Y$ にはノルム $\|(x,y)\|:=\|x\|+\|y\|$ を入れる。このノルムで $(x_n,y_n)\to(x,y)$ となることは、$x_n\to x$ かつ $y_n\to y$ となることと同じである。$X,Y$ が Banach 空間なら $X\times Y$ も Banach 空間である（閉グラフ定理の補題「直積の完備性」。そこで使うノルム $\max\{\|x\|,\|y\|\}$ は $\|x\|+\|y\|$ と同値である）。

閉作用素

$X$ から $Y$ への作用素 $T$ のグラフ $\Gamma(T)$ が $X\times Y$ の閉集合であるとき、$T$ を 閉作用素 という。

$D(T)\subset D(S)$ かつ $D(T)$ の上で $Sx=Tx$ のとき、$S$ を $T$ の拡張といい $T\subset S$ と書く。これは $\Gamma(T)\subset\Gamma(S)$ と同じである。

列による判定

作用素 $T$ が閉であることは、次の条件と同値である。
$x_n\in D(T)$、$x_n\to x$（$X$ で）、$Tx_n\to y$（$Y$ で）なら、(a) $x\in D(T)$ かつ (b) $Tx=y$ である。

$X\times Y$ は距離空間なので、部分集合が閉であることは、その点列が収束するとき極限がその集合に属することと同値である。$\Gamma(T)$ の点列は $(x_n,Tx_n)$ の形で、その極限 $(x,y)$ が $\Gamma(T)$ に属することは (a) と (b) を合わせたものである。$\square$

閉性を確かめるときは (a) と (b) の両方が要る。「$x_n\to0$、$Tx_n\to y$ なら $y=0$」だけでは足りない。

零へ収束する列だけでは閉性を判定できない

$X=Y=\ell^2$、$D(T)=c_{00}$（有限個の項を除いて $0$ である数列の全体）、$T=0$ とする。$x_n\to0$ なら $Tx_n=0\to0$ なので、零へ収束する列についての条件は成り立つ。しかし $x=(1/k)_{k\ge1}\in\ell^2$ の最初の $n$ 項を残した $x_n\in c_{00}$ は $x_n\to x$、$Tx_n=0\to0$ を満たすのに $x\notin c_{00}$ なので、(a) が破れ、$T$ は閉でない。

定義域 $D(T)$ にノルム $\|x\|+\|Tx\|$（グラフノルム）を入れると、$X,Y$ が Banach 空間のとき、$T$ が閉であることと $D(T)$ がこのノルムで完備であることは同値になる（グラフノルムの定理「閉作用素の特徴づけ」）。閉作用素は「グラフノルムを入れた Banach 空間からの有界作用素」とみなせる。

有界性と定義域

作用素 $T$ が有界であるとは、ある $C\ge0$ ですべての $x\in D(T)$ について $\|Tx\|\le C\|x\|$ となることをいう（$D(T)=X$ のときが有界線形作用素）。有界な作用素が閉かどうかは、定義域だけで決まる。

有界な作用素が閉であるための条件

$T$ を $X$ から $Y$ への有界な作用素とする。

$D(T)$ が $X$ の閉部分空間なら、$T$ は閉作用素である。
$Y$ が Banach 空間で $T$ が閉作用素なら、$D(T)$ は $X$ の閉部分空間である。
とくに $T\in B(X,Y)$（$D(T)=X$ の有界線形作用素）は閉作用素である。

逆向きに、閉作用素の定義域が閉なら有界である。これが閉グラフ定理の閉作用素版である。

閉作用素の有界性と定義域の閉性

$X,Y$ を Banach 空間、$T$ を $X$ から $Y$ への閉作用素とする。$T$ が有界であることと、$D(T)$ が $X$ の閉部分空間であることは同値である。とくに、$D(T)=X$ である閉作用素は有界である。

有界なら $D(T)$ が閉であることは prop-co-bounded の 2 である。
$D(T)$ が閉とする。Banach 空間の閉部分空間は完備なので、$D(T)$ は $X$ のノルムで Banach 空間である。$\Gamma(T)$ は $X\times Y$ の閉集合で $D(T)\times Y$ に含まれるので、$D(T)\times Y$ の閉集合でもある。よって $T\colon D(T)\to Y$ は、Banach 空間 $D(T)$ の全体で定義されグラフが閉な線形写像であり、閉グラフ定理の定理「閉グラフ定理」により有界である。$\square$

したがって、有界でない閉作用素の定義域は閉部分空間ではなく、とくに $X$ 全体ではない。実際に扱う有界でない閉作用素の多くは、定義域が $X$ で稠密である（稠密に定義される という）。

核と値域

閉作用素の核は閉

$T$ を閉作用素とすると、核 $N(T):=\{x\in D(T)\mid Tx=0\}$ は $X$ の閉部分空間である。

$x_n\in N(T)$、$x_n\to x$ とする。$Tx_n=0\to0$ なので、prop-co-sequence により $x\in D(T)$、$Tx=0$ であり、$x\in N(T)$ である。$\square$

値域 $R(T):=T(D(T))$ は、閉作用素でも閉とは限らない。$\ell^2$ 上の $T(x_n)_n=(x_n/n)_n$ は有界で $D(T)=\ell^2$ なので閉作用素だが、値域は $c_{00}$ を含んで稠密である一方、$(1/n)_n$ を含まない（その原像の候補 $(1,1,\dots)$ は $\ell^2$ にない）ので閉でない。値域が閉かどうかは、次のように下からの評価で判定できる。

単射な閉作用素の値域と下からの評価

$X,Y$ を Banach 空間、$T$ を $X$ から $Y$ への単射な閉作用素とする。次は同値である。

値域 $R(T)$ は $Y$ の閉部分空間である。
ある $c>0$ ですべての $x\in D(T)$ について $\|Tx\|\ge c\|x\|$ である。
逆写像 $T^{-1}\colon R(T)\to X$ は有界である。

2 ⇔ 3：$y=Tx$ とおくと、2 は $\|T^{-1}y\|\le c^{-1}\|y\|$（$y\in R(T)$）と同じである。逆に $\|T^{-1}y\|\le C\|y\|$ なら、$C>0$ のとき $c=1/C$ で 2 が成り立ち、$C=0$ のときは $D(T)=\{0\}$ でどの $c>0$ でもよい。
2 ⇒ 1：$Tx_n\to y$（$x_n\in D(T)$）とする。$\|x_n-x_m\|\le c^{-1}\|Tx_n-Tx_m\|$ なので $(x_n)$ は Cauchy 列で、$X$ の完備性からある $x$ に収束する。$T$ は閉なので $x\in D(T)$、$Tx=y$ であり、$y\in R(T)$ である。
1 ⇒ 3：$S:=T^{-1}\colon R(T)\to X$ のグラフ $\{(Tx,x)\mid x\in D(T)\}$ は、$\Gamma(T)$ を写像 $(x,y)\mapsto(y,x)$ で写したものである。この写像は $X\times Y$ から $Y\times X$ への等長な線形同型なので、$S$ のグラフは $Y\times X$ の閉集合であり、$R(T)\times X$ の閉集合でもある。$R(T)$ は Banach 空間 $Y$ の閉部分空間なので Banach 空間であり、$S$ は $R(T)$ の全体で定義された線形写像である。閉グラフ定理の定理「閉グラフ定理」により $S$ は有界である。$\square$

とくに、閉作用素 $T$ が $D(T)$ から $Y$ への全単射なら、$R(T)=Y$ は閉なので、逆写像は自動的に有界である。$X=Y$ のとき $\lambda-T$ にこれを当てると、閉作用素では「$\lambda-T$ が全単射」であることだけでレゾルベント集合に入ることが分かる（レゾルベントの命題「レゾルベント集合と閉作用素」）。単射でない有界作用素については、核からの距離で同じ形の判定ができる（閉値域定理の命題「核を法とした下からの評価」）。

閉包をもつ作用素

閉でない作用素も、グラフの閉包をとれば閉作用素に広げられることがある。

閉包をもつための条件

$T$ を $X$ から $Y$ への作用素とする。次は同値である。

$\overline{\Gamma(T)}$（$X\times Y$ での閉包）は、ある作用素のグラフである。
$T$ は閉作用素への拡張をもつ。
$x_n\in D(T)$、$x_n\to0$、$Tx_n\to y$ なら $y=0$ である。
これらが成り立つとき $T$ は 閉包をもつ（可閉である）といい、1 の作用素を $T$ の閉包といって $\overline T$ と書く。$\overline T$ は $T$ の閉作用素への拡張のうち最小のもので、$T$ の閉作用素への拡張 $S$ はすべて $\overline T\subset S$ を満たす。

線形部分空間 $G\subset X\times Y$ があるグラフであるのは、各 $x$ について $(x,y)\in G$ となる $y$ が高々一つのときであり、$(x,y),(x,y')\in G$ なら $(0,y-y')\in G$ なので、これは「$(0,y)\in G$ なら $y=0$」と同値である。
1 ⇒ 2：$\overline{\Gamma(T)}=\Gamma(\overline T)$ とすると、$\overline T$ は閉作用素で、$\Gamma(T)\subset\Gamma(\overline T)$ から $T\subset\overline T$ である。
2 ⇒ 3：$S$ を閉作用素で $T\subset S$ とする。3 の仮定のもとで $(x_n,Tx_n)=(x_n,Sx_n)\to(0,y)$ であり、$\Gamma(S)$ は閉なので $(0,y)\in\Gamma(S)$、すなわち $y=S0=0$ である。
3 ⇒ 1：$\overline{\Gamma(T)}$ は線形部分空間の閉包なので線形部分空間である。$(0,y)\in\overline{\Gamma(T)}$ とは、$x_n\to0$、$Tx_n\to y$ となる $x_n\in D(T)$ があることなので、3 から $y=0$ であり、最初の段落により $\overline{\Gamma(T)}$ はあるグラフである。
最小性：$S$ が閉作用素で $T\subset S$ なら、$\Gamma(S)$ は $\Gamma(T)$ を含む閉集合なので $\Gamma(\overline T)=\overline{\Gamma(T)}\subset\Gamma(S)$、すなわち $\overline T\subset S$ である。$\square$

$\overline T$ の定義域は、$x_n\to x$ かつ $(Tx_n)$ が収束するような列 $x_n\in D(T)$ がとれる $x$ の全体で、そのとき $\overline Tx=\lim Tx_n$ である。ex-co-zero-test の $T$ は 3 を満たすので閉包をもち、$\overline T$ は $\ell^2$ 全体の上の零写像である。
値が有限次元の空間に入る作用素では、閉包をもつことが有界性と一致する。

値が有限次元の作用素

$Y$ を有限次元のノルム空間とし、$T$ を $X$ から $Y$ への作用素とする。

$T$ が閉包をもつことと、$T$ が有界であることは同値である。
$T$ が閉作用素であることと、$T$ が有界で $D(T)$ が閉部分空間であることは同値である。

1：$T$ が有界なら、$x_n\to0$ のとき $\|Tx_n\|\le C\|x_n\|\to0$ なので prop-co-closable の 3 が成り立つ。逆に $T$ が有界でないとすると、$x_n\in D(T)$ で $\|Tx_n\|>n\|x_n\|$ となるものがあり、$Tx_n\ne0$ である。$z_n:=x_n/\|Tx_n\|$ とおくと $\|Tz_n\|=1$、$\|z_n\|< 1/n$ である。$Y$ は有限次元なので有界閉集合 $\{\|y\|=1\}$ はコンパクトであり（ノルム空間の系「有限次元ノルム空間の性質」の 3）、部分列をとって $Tz_n\to y$、$\|y\|=1$ とできる。$z_n\to0$ なので prop-co-closable の 3 が $y\ne0$ で破れ、$T$ は閉包をもたない。
2：有限次元のノルム空間は完備である（同じ系の 1）。閉作用素は閉包をもつ（$\overline T=T$）ので 1 により有界であり、prop-co-bounded の 2 により $D(T)$ は閉である。逆は prop-co-bounded の 1 である。$\square$

とくに、有界でない閉作用素の値域の空間は無限次元である。値が $\mathbb K$ の場合（線形汎関数）、閉包をもつことは連続であることと同じであり、閉な線形汎関数は閉部分空間の上で定義された連続線形汎関数にほかならない。

例

微分作用素とその閉包

$X=Y=C([0,1])$ に上限ノルム $\|\cdot\|_\infty$ を入れ、
$$ T_1f:=f'\quad(D(T_1):=C^1([0,1])),\qquad T_0f:=f'\quad(D(T_0):=\text{多項式の全体}) $$
とする。$T_0\subset T_1$ である。

$T_1$ は閉作用素である。 $f_n\in C^1([0,1])$、$f_n\to f$、$f_n'\to g$（一様収束）とする。微分積分学の基本定理から $f_n(t)=f_n(0)+\int_0^tf_n'(s)\,ds$ であり、一様収束のもとで極限と積分を交換すると $f(t)=f(0)+\int_0^tg(s)\,ds$ となる。$g$ は連続なので $f\in C^1([0,1])$、$f'=g$ である。
$T_1$ は有界でない。 $f_n(t)=t^n$ は $\|f_n\|_\infty=1$、$\|T_1f_n\|_\infty=n$ を満たす。thm-co-domain により、$C^1([0,1])$ は $C([0,1])$ の閉部分空間ではない。
$T_0$ は閉でなく、$\overline{T_0}=T_1$ である。 $T_0\subset T_1$ で $T_1$ は閉なので、prop-co-closable により $T_0$ は閉包をもち $\overline{T_0}\subset T_1$ である。逆に $f\in C^1([0,1])$ をとる。Weierstrassの近似定理により $f'$ に一様収束する多項式 $q_n$ があり、$p_n(t):=f(0)+\int_0^tq_n(s)\,ds$ は多項式で
$$ \lvert p_n(t)-f(t)\rvert=\Bigl\lvert\int_0^t\bigl(q_n(s)-f'(s)\bigr)\,ds\Bigr\rvert\le\|q_n-f'\|_\infty $$
を満たす。よって $p_n\to f$、$T_0p_n=q_n\to f'$ であり、$(f,f')\in\overline{\Gamma(T_0)}$ となる。したがって $\overline{T_0}=T_1$ である。$f(t)=e^t$ は $C^1$ に属して多項式でないので、$T_0\ne\overline{T_0}$ であり、$T_0$ は閉でない。

閉包をもたない作用素

$X=L^2(0,1)$ とし、$D(T)$ を連続な代表をもつ関数の全体（$C([0,1])$ と同一視する）、$Tf:=f(0)\in\mathbb K$ とする（連続な代表は一つに決まるので $T$ は矛盾なく定まる）。$f_n(t)=\max\{1-nt,0\}$ は $\|f_n\|_2=(3n)^{-1/2}\to0$ だが $Tf_n=1$ なので、$T$ は有界でない。値の空間 $\mathbb K$ は有限次元なので、prop-co-finite により $T$ は閉包をもたない。実際、$(f_n,Tf_n)\to(0,1)$ なので $(0,1)\in\overline{\Gamma(T)}$ である。

演算と閉性

$X,Y$ が Banach 空間のとき、閉作用素に全域で定義された有界作用素を足したもの、全域で定義された有界作用素を右から合成したもの、単射な閉作用素の逆写像は、どれも閉作用素である（非有界作用素の命題「有界作用素との演算と閉性」）。一方、閉作用素どうしの和は閉とは限らない。

閉作用素の和が閉でない例

ex-co-derivative の $T_1$ と $S:=-T_1$（$D(S)=C^1([0,1])$）はどちらも閉作用素である。和 $T_1+S$ の定義域は $D(T_1)\cap D(S)=C^1([0,1])$ で、その上の零写像である。零写像は有界なので、prop-co-bounded の 2 により、$T_1+S$ が閉なら $C^1([0,1])$ は閉部分空間になるが、ex-co-derivative の 2 によりそうではない。よって $T_1+S$ は閉でない（閉包は $C([0,1])$ 全体の上の零写像である）。

「閉」は位相空間の 閉写像（閉集合の像が閉集合になる写像）とは別の性質で、グラフが閉であることを指す。上の $\ell^2$ 上の $T(x_n)_n=(x_n/n)_n$ は閉作用素だが、閉集合 $\ell^2$ の像 $R(T)$ が閉でないので閉写像ではない。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
$T$ が閉（thm-co-domain）	$X=Y=\ell^2$、$D(T)=c_{00}$、$Tx=x$	有界なら $D(T)$ は閉
$Y$ が完備（prop-co-bounded の 2）	$X=\ell^2$、$Y=c_{00}$（$\ell^2$ のノルム）、$D(T)=c_{00}$、$Tx=x$	閉で有界なら $D(T)$ は閉
$X$ が完備（thm-co-range の 2 ⇒ 1）	$X=c_{00}$（$\ell^2$ のノルム）、$Y=\ell^2$、$D(T)=X$、$T$ は包含	下からの評価があれば $R(T)$ は閉
$Y$ が有限次元（prop-co-finite の 1）	ex-co-derivative の $T_1$	閉包をもてば有界

反例の表の確かめ

確かめを開く

1 行目：$X,Y$ は Banach 空間で、$T$ は $\|Tx\|=\|x\|$ を満たし有界である。$c_{00}$ は $\ell^2$ で閉でない（ex-co-zero-test の $x=(1/k)_k$ が閉包に入る）。prop-co-bounded の 2 により、この $T$ は閉でない。

2 行目：$x_n\to x$（$\ell^2$ で）かつ $Tx_n=x_n\to y$（$Y$ で）なら、$Y$ のノルムは $\ell^2$ のノルムなので $\ell^2$ の中で $x_n\to y$ であり、極限の一意性から $x=y\in c_{00}=D(T)$、$Tx=y$ である。よって $T$ は閉で有界だが、$D(T)=c_{00}$ は $\ell^2$ で閉でない。

3 行目：$Y$ は Banach 空間で、$T$ は単射で $\|Tx\|=\|x\|$ である。$x_n\to x$（$X$ で）かつ $x_n\to y$（$\ell^2$ で）なら $y=x$ なので、$T$ は閉作用素である。しかし $R(T)=c_{00}$ は $\ell^2$ で閉でない。

4 行目：$T_1$ は閉なので閉包をもつ（$\overline{T_1}=T_1$）が、有界でない。値の空間 $C([0,1])$ は無限次元である。

補足

文献

閉作用素の定義と、列で閉性を確かめるときに (a)(b) の両方が要り、零へ収束する列だけでは足りないという注意は Bre11 §2.6 の定義と Remark 11（p. 43）にあり、閉作用素の核が閉で値域は閉とは限らないことは同 Remark 12（p. 43）にある。閉包をもつ作用素と閉包、閉包が最小の閉な拡張であること、有界な作用素が閉であることと定義域が閉であることの同値は、Hilbert 空間の場合が Tes14 §2.2（pp. 63–64）にある。thm-co-range・prop-co-finite と例は、この記事の中で証明した。