Gauss–Manin接続

同義語：Gauss–Manin connectionガウス・マニン接続

概要

前提知識: de Rhamコホモロジー, 超コホモロジー, 微分形式, 滑らかな射, スペクトル系列, 局所系

定義

相対 de Rham コホモロジー層

$k$ を体、$S$ を $k$ 上滑らかなスキーム、$f\colon X\to S$ を分離的（分離射）で有限型（有限型射）の滑らかな射とする。相対微分形式の層 $\Omega^1_{X/S}$ とその外冪（外冪）$\Omega^p_{X/S}=\bigwedge^p\Omega^1_{X/S}$ は有限階数の局所自由層であり、外微分 $d\colon\Omega^p_{X/S}\to\Omega^{p+1}_{X/S}$ は $f^{-1}\mathcal{O}_S$ 線型で $d\circ d=0$ を満たす。

相対 de Rham 複体と相対 de Rham コホモロジー層

複体 $(\Omega^\bullet_{X/S},d)$ を $f$ の相対 de Rham 複体という。その導来順像（導来関手）の $q$ 次コホモロジー層
$$ \mathcal{H}^q_{dR}(X/S):=\mathbf{R}^qf_*\bigl(\Omega^\bullet_{X/S}\bigr) $$
を $f$ の $q$ 次相対 de Rham コホモロジー層という。$d$ が $f^{-1}\mathcal{O}_S$ 線型なので、これは $\mathcal{O}_S$ 加群であり、$S$ の affine 開集合（アフィンスキーム）$V$ の上の切断は超コホモロジー $\mathbf{H}^q(f^{-1}(V),\Omega^\bullet_{X/S})$ である（$X$ の affine 開被覆による Čech 複体（Čechコホモロジー）で計算できる）。$S=\operatorname{Spec}k$ のときは $X$ のde Rhamコホモロジー $H^q_{dR}(X)$ に付随する準連接層である。

$f$ が固有（固有射）なら $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ は連接層である（Hodge–de Rham スペクトル系列 $E_1^{p,q}=R^qf_*\Omega^p_{X/S}$ の各項が連接であることによる。de Rhamコホモロジー）。しかし一般には局所自由とは限らず、また $\mathcal{O}_S$ 加群の構造だけでは、ファイバー $X_s$ の de Rham コホモロジー $H^q_{dR}(X_s)$ をパラメータ $s$ について「微分する」ことはできない。その微分を可能にするのが、次に定義する接続である。

加群層の接続

加群層の接続と曲率

$\mathcal{E}$ を $\mathcal{O}_S$ 加群とする。$\mathcal{E}$ の接続（接続）とは、$k$ 線型な層の射 $\nabla\colon\mathcal{E}\to\Omega^1_{S/k}\otimes_{\mathcal{O}_S}\mathcal{E}$ で Leibniz 則
$$ \nabla(ae)=da\otimes e+a\nabla e\qquad(a\in\mathcal{O}_S,\ e\in\mathcal{E}) $$
を満たすものをいう。$\nabla$ は $\nabla(\omega\otimes e)=d\omega\otimes e+(-1)^p\omega\wedge\nabla e$（$\omega\in\Omega^p_{S/k}$）によって $k$ 線型写像 $\nabla\colon\Omega^p_{S/k}\otimes\mathcal{E}\to\Omega^{p+1}_{S/k}\otimes\mathcal{E}$ に延びる（$\omega\otimes ae$ と $a\omega\otimes e$ の像が一致することは Leibniz 則から直接確かめられる）。合成 $R:=\nabla\circ\nabla\colon\mathcal{E}\to\Omega^2_{S/k}\otimes\mathcal{E}$ は $\mathcal{O}_S$ 線型であり、これを曲率（曲率）という。$R=0$ のとき $\nabla$ は可積分（integrable）または平坦であるといい、$\nabla e=0$ を満たす切断 $e$ を水平切断（horizontal section）という。

Katz–Oda のフィルトレーションと Gauss–Manin 接続

$X$ の絶対 de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{X/k}$ を、底 $S$ の微分形式の次数で濾過する。$p\ge0$ に対し
$$ F^p\Omega^n_{X/k}:=\operatorname{im}\Bigl(f^*\Omega^p_{S/k}\otimes_{\mathcal{O}_X}\Omega^{n-p}_{X/k}\xrightarrow{\ \wedge\ }\Omega^n_{X/k}\Bigr) $$
とおく。$F^0=\Omega^\bullet_{X/k}$、$F^p\supset F^{p+1}$ であり、$p>n$ なら $F^p\Omega^n=0$ である。

フィルトレーションの次数付き商

上の設定で次が成り立つ。

各 $F^p$ は $\Omega^\bullet_{X/k}$ の部分複体である。
$\operatorname{gr}^p:=F^p/F^{p+1}$ について、$\omega\otimes\bar{\alpha}\mapsto[f^*\omega\wedge\alpha]$（$\alpha$ は $\bar{\alpha}\in\Omega^{n-p}_{X/S}$ の $\Omega^{n-p}_{X/k}$ への任意の持ち上げ）は複体の同型
$$ f^*\Omega^p_{S/k}\otimes_{\mathcal{O}_X}\Omega^\bullet_{X/S}[-p]\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \operatorname{gr}^p $$
を与える。ここで $K[-p]$ は $K[-p]^n=K^{n-p}$、微分 $(-1)^pd_K$ のシフトであり、左辺の微分は $\omega\otimes\bar{\alpha}\mapsto(-1)^p\,\omega\otimes d_{X/S}\bar{\alpha}$ である。とくに $\operatorname{gr}^0=\Omega^\bullet_{X/S}$ である。

$\omega\in\Omega^p_{S/k}$、$\alpha\in\Omega^m_{X/k}$ に対し
$$ d(f^*\omega\wedge\alpha)=f^*d\omega\wedge\alpha+(-1)^pf^*\omega\wedge d\alpha $$
であり、右辺の第 1 項は $F^{p+1}$ に、第 2 項は $F^p$ に属する。よって $dF^p\subset F^p$ で 1 が従う。
2 は $X$ 上局所的な主張である。$f$ が滑らかなので、完全列 $0\to f^*\Omega^1_{S/k}\to\Omega^1_{X/k}\to\Omega^1_{X/S}\to0$ は局所的に分裂する完全列であり（滑らかな射、Har77 II §8）、$X$ の各点の近傍で、$\Omega^1_{S/k}$ の局所基底 $ds_1,\dots,ds_m$ の引き戻しと、$\Omega^1_{X/S}$ の局所基底の持ち上げ $t_1,\dots,t_r$ とを合わせたものが $\Omega^1_{X/k}$ の局所基底になる。すると $\Omega^n_{X/k}$ は $f^*ds_I\wedge t_J$（$|I|+|J|=n$）を基底とする自由加群で、$F^p\Omega^n$ は $|I|\ge p$ の基底元で張られる部分加群、$\operatorname{gr}^p\Omega^n$ は $|I|=p$ の基底元の類を基底とする自由加群である。写像 $\omega\otimes\bar{\alpha}\mapsto[f^*\omega\wedge\alpha]$ は持ち上げ $\alpha$ の取り方に依らない（$f^*\omega\wedge F^1\subset F^{p+1}$）。$ds_I\otimes\bar{t}_J$ を基底元の類 $[f^*ds_I\wedge t_J]$ に写すので、各次数で同型である。微分との両立は最初の式から従う。$f^*d\omega\wedge\alpha\in F^{p+1}$ なので $\operatorname{gr}^p$ では $d[f^*\omega\wedge\alpha]=(-1)^p[f^*\omega\wedge d\alpha]$ であり、$d\alpha$ の $\Omega^{m+1}_{X/S}=\Omega^{m+1}_{X/k}/F^1$ への像が $d_{X/S}\bar{\alpha}$ である。

$F^0/F^2$ は複体 $\operatorname{gr}^1$ の複体 $\operatorname{gr}^0$ による拡大であり、$k$ ベクトル空間の層の複体の短完全列
$$ 0\longrightarrow\operatorname{gr}^1\longrightarrow F^0/F^2\longrightarrow\operatorname{gr}^0\longrightarrow0 $$
が得られる（$F^0/F^2$ の微分は $\mathcal{O}_X$ 線型でも $f^{-1}\mathcal{O}_S$ 線型でもないことに注意する）。導来順像 $\mathbf{R}f_*$ はこの短完全列から長完全列を作り、その連結準同型
$$ \delta\colon\mathbf{R}^qf_*\operatorname{gr}^0\longrightarrow\mathbf{R}^{q+1}f_*\operatorname{gr}^1 $$
が定まる。lem-gauss-manin-graded により $\operatorname{gr}^0=\Omega^\bullet_{X/S}$、$\operatorname{gr}^1=f^*\Omega^1_{S/k}\otimes\Omega^\bullet_{X/S}[-1]$ であり、$\Omega^1_{S/k}$ が有限階数の局所自由層なので射影公式
$$ \mathbf{R}^{q+1}f_*\bigl(f^*\Omega^1_{S/k}\otimes\Omega^\bullet_{X/S}[-1]\bigr)\cong\Omega^1_{S/k}\otimes_{\mathcal{O}_S}\mathbf{R}^qf_*\Omega^\bullet_{X/S} $$
が成り立つ（$S$ 上局所的に $\Omega^1_{S/k}$ は自由で、$\mathbf{R}f_*$ は有限直和と可換である。同型の符号の規約は prop-gauss-manin-cech の証明で固定する）。

相対 de Rham コホモロジー層の標準接続

上の連結準同型と射影公式の合成
$$ \nabla\colon\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)=\mathbf{R}^qf_*\Omega^\bullet_{X/S}\longrightarrow\Omega^1_{S/k}\otimes_{\mathcal{O}_S}\mathcal{H}^q_{dR}(X/S) $$
を、$f$ の $q$ 次相対 de Rham コホモロジー層の Gauss–Manin 接続（Gauss–Manin connection）という。定義から $\nabla$ は $k$ 線型な層の射であり、Leibniz 則を満たすこと（prop-gauss-manin-cech）と可積分であること（thm-gauss-manin-integrable）は後で示す。

この構成は Katz と Oda KO68 による。Grothendieck は Gro66 の追記で、固有で滑らかな射の相対 de Rham コホモロジー層に「標準的な可積分接続」を代数的に入れるべきことを提案し、複素数体上でのその接続の解析的な記述（thm-gauss-manin-analytic）を述べていた。名称は、Gauss の超幾何微分方程式に始まる周期の微分の理論と、関数体上の代数曲線に対して周期の微分を代数的に扱った Manin の仕事にちなむ。

解析的な記述

$k=\mathbb{C}$ で $f$ が固有なら、Gauss–Manin 接続は「ファイバーの位相的コホモロジーを定数とみなす接続」として超越的に記述できる。$X^{an}$ で $X$ の解析化（GAGA）を表す。

解析的な記述

$k=\mathbb{C}$、$f\colon X\to S$ を固有で滑らかな射、$S$ を $\mathbb{C}$ 上滑らかとし、$f^{an}\colon X^{an}\to S^{an}$ をその解析化とする。

$R^qf^{an}_*\mathbb{C}$ は有限次元 $\mathbb{C}$ ベクトル空間の局所系（局所定数層）で、点 $s$ での茎は $H^q(X_s^{an},\mathbb{C})$ である。
自然な同型 $\bigl(\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)\bigr)^{an}\cong\mathbf{R}^qf^{an}_*\Omega^\bullet_{X^{an}/S^{an}}\cong R^qf^{an}_*\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{C}}\mathcal{O}_{S^{an}}$ がある。とくに $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ は有限階数の局所自由層である。
この同型のもとで、Gauss–Manin 接続の解析化は $\sigma\otimes g\mapsto\sigma\otimes dg$（$\sigma$ は $R^qf^{an}_*\mathbb{C}$ の局所切断、$g\in\mathcal{O}_{S^{an}}$）に一致する。したがって水平切断の層は $R^qf^{an}_*\mathbb{C}$ である。

証明の筋と出典

1 は Ehresmann の定理（Ehresmannのファイブレーション定理、Voi02 第 9 章）による。固有な沈め込み（沈め込み）$f^{an}$ は局所自明な $C^\infty$ ファイバー束なので、$S^{an}$ の可縮（可縮空間）な開集合 $U$ の上で $f^{-1}(U)\cong X_s\times U$ となり、$H^q(f^{-1}(U),\mathbb{C})\cong H^q(X_s,\mathbb{C})$ である。2 の前半は固有射に対する相対 GAGA（Grauert–Remmert の比較定理、GAGA）を Hodge–de Rham スペクトル系列に項ごとに適用して得られる。後半は相対 Poincaré の補題（Poincaréの補題）、すなわち $f^{-1}\mathcal{O}_{S^{an}}\to\Omega^\bullet_{X^{an}/S^{an}}$ が擬同型であること（多重円板上で相対座標について冪級数を項ごとに積分する、通常の Poincaré の補題の証明をパラメータ付きで繰り返す）と、固有射の底変換 $(R^qf^{an}_*\mathcal{F})_s\cong H^q(X_s,\mathcal{F}|_{X_s})$ による。$\theta\colon R^qf^{an}_*\mathbb{C}\otimes\mathcal{O}_{S^{an}}\to R^qf^{an}_*(f^{-1}\mathcal{O}_{S^{an}})$ を $\sigma\otimes g\mapsto\sigma\cdot(g\circ f)$ で定めると、茎では $H^q(X_s,\mathbb{C})\otimes\mathcal{O}_{S^{an},s}\to H^q(X_s,\mathcal{O}_{S^{an},s})$ となり、有限良被覆の Čech 複体で計算すれば体上のテンソル積の完全性から同型である。局所自由性は、解析化が局所自由なら連接層自身も局所自由であること（GAGA）による。3 は Katz–Oda KO68 が示した。代数的な連結準同型を解析化して Čech 表示（prop-gauss-manin-cech）で計算すると、$R^qf^{an}_*\mathbb{C}$ の切断を表す局所定数な相対閉形式は絶対閉形式に持ち上がるので水平であり、Leibniz 則から $\nabla=\mathrm{id}\otimes d$ が従う。

直感

$S$ を曲線、$f\colon X\to S$ を固有で滑らかな族とし、$\omega$ を $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ の切断、すなわち各ファイバー $X_s$ の de Rham コホモロジー類 $\omega(s)$ の代数的な族とする。複素数体上では、ファイバーの $q$ 次元サイクル $\gamma$ は Ehresmann の定理により隣のファイバーに連続的に移せるので、局所定数な族 $\gamma_s$ が定まり、周期（周期(代数多様体)）$\int_{\gamma_s}\omega(s)$ は $s$ の正則関数になる。この周期を $s$ で微分したものは、再びコホモロジー類の族の周期である。すなわち
$$ \frac{d}{ds}\int_{\gamma_s}\omega(s)=\int_{\gamma_s}\nabla_{\partial/\partial s}\,\omega(s) $$
を満たす類 $\nabla_{\partial/\partial s}\omega$ がただ 1 つ定まる。これが Gauss–Manin 接続であり、「サイクルを定数として、コホモロジー類を微分する」操作である。$\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ は局所自由層なので局所的に階数 $N$ の枠 $\omega_1,\dots,\omega_N$ をもち、$\nabla_{\partial/\partial s}\omega_i=\sum_jA_{ij}\omega_j$ と書ける。周期ベクトル $\bigl(\int_\gamma\omega_i\bigr)_i$ はしたがって階数 $N$ の線型常微分方程式を満たす。これがPicard–Fuchs 方程式であり、Legendre 族に対しては Gauss の超幾何方程式になる（ex-gauss-manin-legendre）。
Katz–Oda の構成は、この「サイクルを定数とみなす」という超越的な操作を、絶対 de Rham 複体の中で $ds$ を含む項を分離するという純代数的な操作に置き換えたものである。相対閉形式 $\alpha$ を絶対形式に持ち上げて $d$ を当てると、その結果は $ds\wedge(\text{相対形式})$ の形になり、この相対形式の類が $\nabla_{\partial/\partial s}[\alpha]$ である。持ち上げの選び方の不定性は $ds\wedge(\text{相対完全形式})$ と Čech 的な貼り合わせの項に吸収される。

例と反例

定数族

$Y$ を $k$ 上滑らかで分離的なスキーム、$X=Y\times_kS$、$f$ を第 2 射影とする。このとき $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)\cong H^q_{dR}(Y)\otimes_k\mathcal{O}_S$ であり、Gauss–Manin 接続はこの同型のもとで $\sigma\otimes g\mapsto\sigma\otimes dg$ である。実際、$S=\operatorname{Spec}A$ を affine とすると、$\Omega^\bullet_{X/S}=\operatorname{pr}_1^*\Omega^\bullet_{Y/k}$ と平坦底変換により $\mathbf{H}^q(X,\Omega^\bullet_{X/S})=H^q_{dR}(Y)\otimes_kA$ である（de Rhamコホモロジー）。$Y$ の affine 開被覆を $S$ に持ち上げた被覆で Čech 表示（prop-gauss-manin-cech）を作ると、$H^q_{dR}(Y)$ の類 $\sigma$ を表すコサイクル $c$ の引き戻し $\operatorname{pr}_1^*c$ は $\Omega^\bullet_{X/k}$ の Čech 全複体でも閉じている（$\operatorname{pr}_1^*$ は絶対外微分と可換）ので、$\sigma\otimes1$ の持ち上げとして $\operatorname{pr}_1^*c$ をとれば $D\operatorname{pr}_1^*c=0$、すなわち $\nabla(\sigma\otimes1)=0$ である。Leibniz 則から $\nabla(\sigma\otimes g)=\sigma\otimes dg$ が従う。したがって定数族の Gauss–Manin 接続は自明な接続であり、水平切断は $H^q_{dR}(Y)$ の元に対応する「定数」の類である。

Legendre 族と Picard–Fuchs 方程式

$S=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[\lambda,\lambda^{-1},(\lambda-1)^{-1}]$ の上で、楕円曲線の族 $E_\lambda\colon y^2=x(x-1)(x-\lambda)$（射影閉包、無限遠点 $O$ を 1 つ加える）を $f\colon X\to S$ とし、$\omega=dx/y$ とおく。$\omega$ は各 $E_\lambda$ の上で正則な相対 1 形式で、$\mathcal{H}^1_{dR}(X/S)$ は階数 $2$ の局所自由層である（thm-gauss-manin-analytic）。$F=x(x-1)(x-\lambda)$ とおき、$\omega$ を $\lambda$ について形式的に微分すると
$$ \partial_\lambda\omega=\frac{x(x-1)}{2y^3}\,dx,\qquad\partial_\lambda^2\omega=\frac{3x^2(x-1)^2}{4y^5}\,dx $$
である（$\partial_\lambda F=-x(x-1)$ による）。これらは $E_\lambda$ 上の有理型な相対 1 形式（有理型1形式）で、極は点 $(\lambda,0)$ だけにあり、留数は $0$ である。$h:=\dfrac{y}{2(x-\lambda)^2}=\dfrac{x(x-1)}{2y(x-\lambda)}$ とおくと、$u=x(x-1)$、$F=u(x-\lambda)$ と書いて直接計算することにより
$$ \lambda(1-\lambda)\,\partial_\lambda^2\omega+(1-2\lambda)\,\partial_\lambda\omega-\tfrac14\,\omega=dh $$
が確かめられる。実際、左辺を $F^{-5/2}dx$ の倍数として書いたときの係数は $\tfrac{u^2}{4}\bigl(-x^2+2(1-\lambda)x+\lambda\bigr)$ であり、$h=\tfrac{u^2}{2}F^{-3/2}$ の微分 $\bigl(\tfrac{d}{dx}(\tfrac{u^2}{2})\,F-\tfrac32\cdot\tfrac{u^2}{2}\,F'\bigr)F^{-5/2}dx$ の係数も $\tfrac{u^2}{4}\bigl((2x-1)(x-\lambda)-3u\bigr)=\tfrac{u^2}{4}\bigl(-x^2+2(1-\lambda)x+\lambda\bigr)$ に等しい。$h$ は $(\lambda,0)$ 以外で正則（$O$ では $0$）なので、$(\lambda,0)$ を避ける閉路 $\gamma$ の上では $\int_\gamma dh=0$ である。Ehresmann の定理を族と切断の対 $(X,\{(\lambda,0)\})$ に適用すれば、$(\lambda,0)$ を避けて局所定数に動くサイクル $\gamma_\lambda$ がとれ、積分と $\partial_\lambda$ は交換する。よって周期 $\rho(\lambda)=\int_{\gamma_\lambda}\omega$ は
$$ \lambda(1-\lambda)\rho''+(1-2\lambda)\rho'-\tfrac14\rho=0 $$
を満たす。これが Legendre 族の Picard–Fuchs 方程式で、$a=b=\tfrac12$、$c=1$ の Gauss の超幾何微分方程式である（超幾何関数）。$\lambda=0$ で正則な解は $\pi\cdot{}_2F_1(\tfrac12,\tfrac12;1;\lambda)=\int_0^1\dfrac{dt}{\sqrt{t(1-t)(1-\lambda t)}}$ であり、$x=\lambda t$ と置換すればこれは線分 $[0,\lambda]$ に沿う $\omega$ の積分、すなわち $[0,\lambda]$ の上に乗る閉路の周期の $\tfrac12$ である。
接続の言葉に直す。$\eta:=\nabla_{\partial_\lambda}\omega$ とおくと $\int_{\gamma_\lambda}\eta=\rho'$ である。$\omega$ と $\eta$ は $\mathcal{H}^1_{dR}(X/S)$ の枠をなす。もし $\eta=a\omega$（$a$ は関数）なら、すべての周期が $\rho'=a\rho$ を満たし、2 つの独立な周期の比（$E_\lambda$ の周期比 $\tau(\lambda)$）が定数になるが、$j$ 不変量（j不変量）$j=256(\lambda^2-\lambda+1)^3/(\lambda^2(\lambda-1)^2)$ は定数でないので矛盾する。より精密には、$H_1(E_\lambda,\mathbb{Z})$ の局所定数な基底 $\gamma_1,\gamma_2$ に対する周期 $\rho_i=\int_{\gamma_i}\omega$ の Wronskian $W=\rho_1\rho_2'-\rho_2\rho_1'$ は、Picard–Fuchs 方程式から $W'=-\frac{1-2\lambda}{\lambda(1-\lambda)}W$ を満たすので $W=C/(\lambda(1-\lambda))$（$C$ は定数）であり、上の議論から $C\ne0$ である。$W(\lambda)$ は $\omega(\lambda),\eta(\lambda)$ の周期行列 $\bigl(\int_{\gamma_i}\omega,\int_{\gamma_i}\eta\bigr)_i$ の行列式で、周期による写像 $H^1_{dR}(E_\lambda)\to\mathbb{C}^2$ は同型なので、$\omega(\lambda),\eta(\lambda)$ は $S$ の各点で線型独立である。この枠について
$$ \nabla_{\partial_\lambda}\omega=\eta,\qquad\nabla_{\partial_\lambda}\eta=\frac{1}{4\lambda(1-\lambda)}\,\omega-\frac{1-2\lambda}{\lambda(1-\lambda)}\,\eta $$
であり、これが Legendre 族の Gauss–Manin 接続の接続行列である。$\lambda=0,1,\infty$ はいずれも確定特異点（確定特異点、Fuchs 型）で、たとえば $\lambda=0$ での指数は $0,0$、局所モノドロミーは冪単である。これは thm-gauss-manin-regular の最も古典的な例である。

反例：固有でない族

外す条件は thm-gauss-manin-analytic における $f$ の固有性である。$X=\{(x,s)\in\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}\mid x^2\ne s\}$、$f(x,s)=s$、$S=\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ とする。$f$ は滑らかで固有でなく、ファイバーは $s\ne0$ では 2 点を除いた直線、$s=0$ では $\mathbb{C}^\times$ である。$U\subset S^{an}$ を $0$ を中心とする小さな円板とすると $f^{-1}(U)=(\mathbb{C}\times U)\setminus\Gamma$、$\Gamma=\{s=x^2\}\cap(\mathbb{C}\times U)$ は連結な閉部分多様体（$x$ でパラメータづけられる円板）であり、実余次元 $2$ の閉部分多様体に対する Gysin 完全列（Gysin写像、BT82）$H^1(\mathbb{C}\times U)\to H^1(f^{-1}(U))\to H^0(\Gamma)\to H^2(\mathbb{C}\times U)$ の両端が $0$ なので $H^1(f^{-1}(U),\mathbb{C})\cong\mathbb{C}$ である。$0$ を含まない小さな円板 $U'$ の上では $\Gamma$ は $x=\pm\sqrt{s}$ の 2 つの成分に分かれ、$H^1(f^{-1}(U'),\mathbb{C})\cong\mathbb{C}^2$ である。よって $R^1f^{an}_*\mathbb{C}$ の茎の次元は $s=0$ で $1$、$s\ne0$ で $2$ であり、$R^1f^{an}_*\mathbb{C}$ は局所系でない。代数的な側では、$f$ が affine 射なので $\Gamma(S,\mathcal{H}^1_{dR}(X/S))$ は複体 $A\xrightarrow{\partial_x}A\,dx$（$A=\mathbb{C}[s,x,(x^2-s)^{-1}]$）の $1$ 次コホモロジー、すなわち余核であり、余核はテンソル積と可換なので $\mathcal{H}^1_{dR}(X/S)\otimes k(s)\cong H^1_{dR}(X_s)$ である。その次元は $s\ne0$ で $2$、$s=0$ で $1$ だが、$\mathbb{C}[s]$ 上有限生成な加群のファイバーの次元は特殊化で下がらないので、$\mathcal{H}^1_{dR}(X/S)$ は連接でない。一方、Gauss–Manin 接続の定義（def-gauss-manin-katz-oda）は $f$ の滑らかさしか使わないので、この準連接層の上にも接続は存在し、Leibniz 則と可積分性（prop-gauss-manin-cech、thm-gauss-manin-integrable）も成り立つ。破れるのは「局所自由層であること」と「水平切断が局所系をなすこと」である。

性質

Čech 表示と Leibniz 則

Gauss–Manin 接続は $S$ 上局所的に定まるので、以下 $S=\operatorname{Spec}A$ を affine とし、$\Omega^1_{S/k}$ が基底 $ds_1,\dots,ds_m$ をもつ自由加群であるとする。$\mathfrak{U}=\{U_i\}$ を $X$ の有限 affine 開被覆とする（$f$ は分離的なので $U_i$ たちの有限個の共通部分は affine である）。$K^\bullet$ を $X$ 上の $k$ ベクトル空間の層の複体で各項 $K^b$ が準連接 $\mathcal{O}_X$ 加群であるものとすると、Čech 二重複体の全複体
$$ \operatorname{Tot}^n\check{C}(\mathfrak{U},K^\bullet)=\bigoplus_{a+b=n}\check{C}^a(\mathfrak{U},K^b),\qquad D=\check{\delta}+(-1)^ad $$
（$\check{\delta}$ は Čech 微分、$a$ は Čech 次数）は超コホモロジー $\mathbf{H}^n(X,K^\bullet)=\Gamma(S,\mathbf{R}^nf_*K^\bullet)$ を計算する（超コホモロジー、Čechコホモロジー、Har77 III §4）。各項が準連接な複体の短完全列は、affine 開集合の上で切断が持ち上がるので全複体の短完全列を与え、連結準同型は「コサイクルを持ち上げて $D$ を当てる」という通常の構成で計算できる。
$\omega\in\Omega^p_{S/k}(S)$ と $c\in\check{C}^a(\mathfrak{U},(F^r/F^t)^b)$ に対し
$$ \omega\cdot c:=(-1)^{pa}\,f^*\omega\wedge c\ \in\ \check{C}^a\bigl(\mathfrak{U},(F^{r+p}/F^{t+p})^{b+p}\bigr) $$
とおく。Čech 微分は制限写像から作られ、制限は大域的な形式との外積と可換なので $\check{\delta}(\omega\cdot c)=(-1)^p\,\omega\cdot\check{\delta}c$ であり、$d(f^*\omega\wedge c)=f^*d\omega\wedge c+(-1)^pf^*\omega\wedge dc$ と符号 $(-1)^{pa}$ の取り方から
$$ D(\omega\cdot c)=d\omega\cdot c+(-1)^p\,\omega\cdot Dc $$
が従う（$d\omega\cdot c$ は $F^{r+p+1}$ に属し、目標が $\operatorname{gr}^{r+p}$ のときは $0$ になる）。とくに $c\mapsto ds_I\cdot c$（$|I|=p$）は複体の射 $\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^0)[-p]\to\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^p)$ であり、lem-gauss-manin-graded によりこれらを $|I|=p$ について集めたものは同型である。したがって
$$ \iota_p\colon\Omega^p_{S/k}(S)\otimes_AH^q\bigl(\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^0)\bigr)\xrightarrow{\ \sim\ }H^{q+p}\bigl(\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^p)\bigr),\qquad\omega\otimes[c]\mapsto[\omega\cdot c] $$
は well-defined な同型で、$\omega\cdot(\eta\cdot c)=(\omega\wedge\eta)\cdot c$ を満たす。$p=1$ の $\iota_1$ が、def-gauss-manin-katz-oda で用いた射影公式の同型の符号の規約である。

Čech 表示と Leibniz 則

上の設定で、$\sigma\in\Gamma(S,\mathcal{H}^q_{dR}(X/S))$ をコサイクル $c\in\operatorname{Tot}^q\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^0)$ で表し、$\tilde{c}\in\operatorname{Tot}^q\check{C}(\mathfrak{U},F^0/F^2)$ を $c$ の任意の持ち上げとする。

$D\tilde{c}$ は $\operatorname{Tot}^{q+1}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^1)$ のコサイクルであり、$\nabla\sigma=\iota_1^{-1}[D\tilde{c}]$ である。
$\omega\in\Omega^p_{S/k}(S)$ に対し、短完全列 $0\to\operatorname{gr}^{p+1}\to F^p/F^{p+2}\to\operatorname{gr}^p\to0$ の連結準同型 $\delta_p$ は
$$ \delta_p\bigl(\iota_p(\omega\otimes\sigma)\bigr)=\iota_{p+1}\bigl(d\omega\otimes\sigma+(-1)^p\,\omega\wedge\nabla\sigma\bigr) $$
を満たす。ここで $\omega\wedge(\eta\otimes\tau):=(\omega\wedge\eta)\otimes\tau$ である。
とくに $g\in A$ に対し $\nabla(g\sigma)=dg\otimes\sigma+g\nabla\sigma$ が成り立つ。すなわち $\nabla$ は $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ の接続である。

1 は連結準同型の Čech による計算そのものである。$c$ がコサイクルなので $D\tilde{c}$ は部分複体 $\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^1)$ に属し、$DD\tilde{c}=0$ だからそこでコサイクルであり、その類が $\delta_0(\sigma)$ である。$\nabla$ は $\delta_0$ と射影公式 $\iota_1^{-1}$ の合成として定義した。
2 を示す。$\omega\cdot c$ は $\iota_p(\omega\otimes\sigma)$ を表すコサイクルであり、$\omega\cdot\tilde{c}\in\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},F^p/F^{p+2})$ はその持ち上げである（$f^*\omega\wedge\tilde{c}$ を $F^{p+1}$ を法として見ると $f^*\omega\wedge c$ になる）。上の公式により
$$ D(\omega\cdot\tilde{c})=d\omega\cdot\tilde{c}+(-1)^p\,\omega\cdot D\tilde{c} $$
であり、この類が $\delta_p(\iota_p(\omega\otimes\sigma))$ である。第 1 項について、$f^*d\omega\wedge F^1\subset F^{p+2}$ なので $d\omega\cdot\tilde{c}$ は $\tilde{c}$ の $F^1$ を法とする類 $c$ だけで決まり、$d\omega\cdot c$ に等しい。これは $\iota_{p+1}(d\omega\otimes\sigma)$ を表す。第 2 項について、1 により $D\tilde{c}\in\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^1)$ は $\sum_ids_i\cdot c_i$ とただ 1 通りに書け、$D(\sum_ids_i\cdot c_i)=-\sum_ids_i\cdot Dc_i=0$ と一意性から各 $c_i$ はコサイクルで、$\nabla\sigma=\sum_ids_i\otimes[c_i]$ である。よって $\omega\cdot D\tilde{c}=\sum_i(\omega\wedge ds_i)\cdot c_i$ は $\iota_{p+1}(\omega\wedge\nabla\sigma)$ を表す。
3 は 2 で $p=0$、$\omega=g$ とおいたものである。$\delta_0=\iota_1\circ\nabla$ と $\iota_0=\mathrm{id}$ から $\nabla(g\sigma)=dg\otimes\sigma+g\nabla\sigma$ を得る。$\nabla$ が $k$ 線型な層の射であることは定義から明らかなので、$\nabla$ は接続である。

可積分性

Gauss–Manin 接続 $\nabla$ は可積分である。すなわち、$\nabla$ を def-gauss-manin-connection-on-module のとおり $\Omega^1_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)\to\Omega^2_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ に延ばしたとき、曲率 $\nabla\circ\nabla$ は $0$ である。したがって $(\Omega^\bullet_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S),\nabla)$ は複体である。

主張は $S$ 上局所的なので、prop-gauss-manin-cech の設定で示す。延ばした $\nabla$ は $\eta\otimes\sigma\mapsto d\eta\otimes\sigma-\eta\wedge\nabla\sigma$ であり、prop-gauss-manin-cech の 2（$p=1$）によりこれは同型 $\iota_1$、$\iota_2$ のもとで連結準同型 $\delta_1$ に一致する。同じく $\nabla=\iota_1^{-1}\circ\delta_0$ である。よって $\nabla\circ\nabla=\iota_2^{-1}\circ\delta_1\circ\delta_0$ であり、$\delta_1\circ\delta_0=0$ を示せばよい。
$p=0,1$ に対し、複体の短完全列 $0\to F^{p+1}\to F^p\to\operatorname{gr}^p\to0$ から $0\to\operatorname{gr}^{p+1}\to F^p/F^{p+2}\to\operatorname{gr}^p\to0$ への短完全列の射（最初の 2 項は商への射影、第 3 項は恒等写像）を考える。連結準同型の自然性により、$\delta_p$ は上の行の連結準同型 $\delta'_p\colon\mathbf{R}^nf_*\operatorname{gr}^p\to\mathbf{R}^{n+1}f_*F^{p+1}$ と射影 $\pi_{p+1}\colon F^{p+1}\to\operatorname{gr}^{p+1}$ の誘導する写像との合成 $\delta_p=(\pi_{p+1})_*\circ\delta'_p$ に等しい。したがって
$$ \delta_1\circ\delta_0=(\pi_2)_*\circ\delta'_1\circ(\pi_1)_*\circ\delta'_0 $$
であり、真ん中の合成 $\delta'_1\circ(\pi_1)_*\colon\mathbf{R}^{q+1}f_*F^1\to\mathbf{R}^{q+1}f_*\operatorname{gr}^1\to\mathbf{R}^{q+2}f_*F^2$ は、短完全列 $0\to F^2\to F^1\to\operatorname{gr}^1\to0$ に対する長完全列の隣り合う 2 つの写像の合成なので $0$ である。よって $\delta_1\circ\delta_0=0$ である。

スペクトル系列との関係

上の証明は、フィルトレーション $F^\bullet$ が $\mathbf{R}f_*\Omega^\bullet_{X/k}$ に定めるスペクトル系列 $E_1^{p,q}=\mathbf{R}^{p+q}f_*\operatorname{gr}^p\cong\Omega^p_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)\Rightarrow\mathbf{R}^{p+q}f_*\Omega^\bullet_{X/k}$ の $d_1$ が $\delta_p$ であり、$d_1\circ d_1=0$ が可積分性にほかならない、と言い換えられる。その $E_2^{p,q}$ は複体 $(\Omega^\bullet_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S),\nabla)$ の $p$ 次コホモロジー層である。とくに $S=\operatorname{Spec}A$ が affine なら、大域切断をとることにより $E_1^{p,q}=\Omega^p_{S/k}(S)\otimes_A\Gamma(S,\mathcal{H}^q_{dR}(X/S))$、$E_2^{p,q}=H^p\bigl(\Gamma(S,\Omega^\bullet_{S/k}\otimes\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)),\nabla\bigr)$ で $H^{p+q}_{dR}(X)$ に収束するスペクトル系列が得られ、この $E_2$ 項は $\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ を係数とする $S$ の de Rham コホモロジーである。これは位相的な Lerayスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(S^{an},R^qf^{an}_*\mathbb{C})\Rightarrow H^{p+q}(X^{an},\mathbb{C})$ の代数的な対応物であり、Gro66 が求めていたものである（KO68）。

Hodge フィルトレーションと Griffiths 横断性

$\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ には、相対 de Rham 複体の愚かなフィルトレーション $\Omega^{\ge p}_{X/S}$ から
$$ F^p\mathcal{H}^q_{dR}(X/S):=\operatorname{im}\Bigl(\mathbf{R}^qf_*\Omega^{\ge p}_{X/S}\longrightarrow\mathbf{R}^qf_*\Omega^\bullet_{X/S}\Bigr) $$
という減少フィルトレーションが定まる。これを Hodge フィルトレーション（Hodgeフィルトレーション）という。$k=\mathbb{C}$ で $f$ が固有なら、各ファイバーで Hodge–de Rham スペクトル系列が退化し（de Rhamコホモロジー）、$F^p$ の各ファイバーは Hodge分解 $\bigoplus_{r\ge p}H^{r,q-r}(X_s)$ に一致する。Gauss–Manin 接続はこのフィルトレーションを一般には保たないが、1 段だけしか下げない。

Griffiths 横断性

すべての $p$ について $\nabla\bigl(F^p\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)\bigr)\subset\Omega^1_{S/k}\otimes F^{p-1}\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ が成り立つ。

主張は $S$ 上局所的なので prop-gauss-manin-cech の設定で示す。$\Omega^{\ge p}_{X/S}$ の各項も準連接なので、$F^p$ の切断 $\sigma$ は成分 $c^{a,b}\in\check{C}^a(\mathfrak{U},\Omega^b_{X/S})$（$a+b=q$）が $b\ge p$ のものだけであるコサイクル $c$ で表される。持ち上げ $\tilde{c}$ を成分ごとにとると $\tilde{c}^{a,b}\in\check{C}^a(\mathfrak{U},(F^0/F^2)^b)$、$b\ge p$ である。$D\tilde{c}$ の 2 重次数 $(a',b')$ の成分は $\check{\delta}\tilde{c}^{a'-1,b'}+(-1)^{a'}d\tilde{c}^{a',b'-1}$ であり、$b'\ge p$ のものしかない。$D\tilde{c}$ は $\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\operatorname{gr}^1)$ に属し、lem-gauss-manin-graded により $(\operatorname{gr}^1)^{b'}\cong f^*\Omega^1_{S/k}\otimes\Omega^{b'-1}_{X/S}$ なので、各成分の相対次数は $b'-1\ge p-1$ である（Čech 微分の項が相対次数を 1 つ下げる）。よって $D\tilde{c}$ は部分複体 $\operatorname{Tot}\check{C}\bigl(\mathfrak{U},f^*\Omega^1_{S/k}\otimes\Omega^{\ge p-1}_{X/S}[-1]\bigr)=\bigoplus_ids_i\cdot\operatorname{Tot}\check{C}(\mathfrak{U},\Omega^{\ge p-1}_{X/S})[-1]$ のコサイクルであり、その類は $\bigoplus_ids_i\otimes\operatorname{im}\bigl(\mathbf{H}^q(X,\Omega^{\ge p-1}_{X/S})\to\mathbf{H}^q(X,\Omega^\bullet_{X/S})\bigr)=\Omega^1_{S/k}(S)\otimes F^{p-1}$ に属する。prop-gauss-manin-cech の 1 により、これが $\nabla\sigma$ である。

Čech 微分の項が相対次数を 1 つ下げることが、横断性で $F^p$ でなく $F^{p-1}$ が現れる理由である。Legendre 族（ex-gauss-manin-legendre）では $\omega\in F^1$、$\nabla_{\partial_\lambda}\omega\notin F^1$ がその最小の例である。Griffiths はこの性質を周期写像の微分の性質として見出した（Voi02 第 10 章、GH78）。横断性を満たす可積分接続と Hodge フィルトレーションをもつ局所自由層は、複素数体上ではHodge 構造の変動（Hodge構造の変動）の代数的な側面である。

正則特異点とモノドロミー

正則特異点とモノドロミー定理

$k=\mathbb{C}$、$f\colon X\to S$ を固有で滑らかな射、$S$ を $\mathbb{C}$ 上滑らかとし、$S$ を滑らかな固有スキーム $\bar{S}$ に、補集合 $\bar{S}\setminus S$ が正規交叉因子 $D$ になるように埋め込む。

Gauss–Manin 接続 $\nabla$ は $D$ に沿って正則特異点（正則特異点）をもつ。すなわち、$\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ は $\bar{S}$ 上の局所自由層 $\bar{\mathcal{H}}$ に、$\nabla$ が $\bar{\mathcal{H}}\to\Omega^1_{\bar{S}}(\log D)\otimes\bar{\mathcal{H}}$ に延びるように拡張できる。
（モノドロミー定理）$D$ の各既約成分のまわりの局所系 $R^qf^{an}_*\mathbb{C}$ の局所モノドロミーは擬冪単である。すなわち、その固有値はすべて 1の冪根である。

出典

1 は Griffiths が周期の増大度の評価から解析的に示し、Deligne Del70 II §7 が正則特異点の一般論の中で証明した。Katz Kat70 は、$\nabla$ を標数 $p$ に還元して $p$ 曲率が冪零であることを示し、Turrittin の定理と組み合わせて 1 と 2 を代数的に証明した。2 は $\ell$ 進の言葉では Grothendieck の擬冪単モノドロミー定理に対応する。正則特異点をもつことは、$S$ が固有でなくても係数付きの de Rham コホモロジーが位相的コホモロジー $H^n(S^{an},R^qf^{an}_*\mathbb{C})$ と比較できるための条件であり（Del70 II §6、Riemann–Hilbert対応）、Legendre 族では $\lambda=0,1,\infty$ が確定特異点であること（ex-gauss-manin-legendre）として現れる。

一般の標数 0 の底と標数 p

$k$ が標数 $0$ の任意の体で $f$ が固有なら、$\mathcal{H}^q_{dR}(X/S)$ は局所自由であり、その形成は底変換と両立する。$S$ が有限型なので、係数を $\mathbb{C}$ に埋め込める有限生成体に落として thm-gauss-manin-analytic に帰着させればよい（Lefschetz 原理。局所自由性は忠実平坦な底変換で降下する）。Katz–Oda の構成は任意の底の上で通用するので、標数 $p$ でも Gauss–Manin 接続は存在する。そこでは $p$ 曲率 $\psi(\theta):=\nabla_\theta^p-\nabla_{\theta^p}$（$\theta$ は $S$ の導分）が定まり、Gauss–Manin 接続の $p$ 曲率は冪零である（Kat70）。これが Grothendieck の結晶コホモロジー（結晶コホモロジー）の出発点である。