スペクトル系列

アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $D,E$ と射 $i\colon D\to D$、$j\colon D\to E$、$k\colon E\to D$ の組 $(D,E,i,j,k)$ が完全対（exact couple）であるとは、三角形
$$ D\xrightarrow{\ i\ }D\xrightarrow{\ j\ }E\xrightarrow{\ k\ }D $$
の各所で完全である、すなわち
$$ \operatorname{im}i=\ker j,\qquad \operatorname{im}j=\ker k,\qquad \operatorname{im}k=\ker i $$
がすべて成り立つことをいう。$d:=j\circ k\colon E\to E$ とおくと、$\operatorname{im}j=\ker k$ より $k\circ j=0$ であるから $d^2=jkjk=j(kj)k=0$ となり、$(E,d)$ は複体をなす。

完全対 $(D,E,i,j,k)$ に対し、$D':=\operatorname{im}i\subseteq D$、$E':=H(E,d)=\ker d/\operatorname{im}d$ とおき、
$$ i':=i|_{D'}\colon D'\to D',\qquad j'(i(x)):=[\,j(x)\,]\in E',\qquad k'([e]):=k(e)\in D' $$
と定める（well-defined性は次の定理で示す）。この $(D',E',i',j',k')$ を導来対（derived couple）と呼ぶ。

完全対 $(D_1,E_1,i_1,j_1,k_1):=(D,E,i,j,k)$ から出発し、def-derived-coupleの操作を反復して完全対の列 $(D_r,E_r,i_r,j_r,k_r)_{r\ge1}$ を作る（thm-derived-couple-exactにより各段は再び完全対だから、この操作は無限に続けられる）。$d_r:=j_r\circ k_r\colon E_r\to E_r$ とおくと、def-derived-coupleの構成そのものから
$$ E_{r+1}=H(E_r,d_r) $$
が成り立つ。この複体の列 $(E_r,d_r)_{r\ge1}$ を、完全対 $(D,E,i,j,k)$ から定まるスペクトル系列（spectral sequence）と呼ぶ。

複体とホモロジーの意味での（コチェイン）複体 $C^\bullet$ に対し、部分複体の減少列 $\cdots\supseteq F^pC^\bullet\supseteq F^{p+1}C^\bullet\supseteq\cdots$ をフィルター（filtration）と呼ぶ。フィルターが

• exhaustive（覆い尽くす）：$\bigcup_pF^pC^n=C^n$（すべての $n$）
• 有界（bounded）：各 $n$ に対しある $p_0< p_1$ があって $F^{p_0}C^n=C^n$ かつ $F^{p_1}C^n=0$
  を満たすとき、$(C^\bullet,F^\bullet)$ を有界フィルター付き複体と呼ぶ。$\operatorname{gr}^pC^\bullet:=F^pC^\bullet/F^{p+1}C^\bullet$ を次数付き商複体と呼ぶ。

有界フィルター付き複体 $(C^\bullet,F^\bullet)$ に対し、各 $p$ について短完全列
$$ 0\to F^{p+1}C^\bullet\to F^pC^\bullet\to\operatorname{gr}^pC^\bullet\to0 $$
が得られる。蛇の補題により付随する長完全列
$$ \cdots\to H^n(F^{p+1}C)\xrightarrow{i}H^n(F^pC)\xrightarrow{j}H^n(\operatorname{gr}^pC)\xrightarrow{k}H^{n+1}(F^{p+1}C)\to\cdots $$
が存在する。$q:=n-p$ とし
$$ D_1^{p,q}:=H^{p+q}(F^pC^\bullet),\qquad E_1^{p,q}:=H^{p+q}(\operatorname{gr}^pC^\bullet) $$
とおくと、上の長完全列を $(p,q)$ で並べ替えることにより
$$ i\colon D_1^{p+1,q-1}\to D_1^{p,q},\qquad j\colon D_1^{p,q}\to E_1^{p,q},\qquad k\colon E_1^{p,q}\to D_1^{p+1,q} $$
という3つの射が定まり、$D_1:=\bigoplus_{p,q}D_1^{p,q}$、$E_1:=\bigoplus_{p,q}E_1^{p,q}$ 上で $(D_1,E_1,i,j,k)$ はdef-exact-coupleの意味での完全対をなす（長完全列の完全性がそのままdef-exact-coupleの3条件を与える）。

def-filtered-complex-exact-coupleの完全対にdef-spectral-sequence-exact-coupleの構成を適用して得られるスペクトル系列 $(E_r^{p,q},d_r)_{r\ge1}$ を、フィルター付き複体 $(C^\bullet,F^\bullet)$ のスペクトル系列と呼ぶ。微分は
$$ d_r\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1} $$
という双次数を持つ（$r=1$ の場合はdef-filtered-complex-exact-coupleの $j,k$ の次数から $d_1=j\circ k\colon E_1^{p,q}\to E_1^{p+1,q}$ と直接確かめられる。一般の $r$ についても同様の次数計算の帰納から従う標準的な事実であり、本記事では引用にとどめるWei94）。