階乗の大きさの見積もり

方針：$d_n-d_{n+1}$ を $\log\frac{n+1}n$ の式に直し、$\log$ を有理関数の積分で表して、被積分関数を評価する。
段 1（差を計算する）：$\log(n+1)!=\log n!+\log(n+1)$ なので
$$ d_{n+1}=\log n!+\log(n+1)-\Bigl(n+\frac32\Bigr)\log(n+1)+n+1=\log n!-\Bigl(n+\frac12\Bigr)\log(n+1)+n+1 $$
である。$d_n$ から引くと
$$ d_n-d_{n+1}=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\bigl(\log(n+1)-\log n\bigr)-1=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\log\frac{n+1}n-1 $$
である。
段 2（文字を置き換える）：$t:=\frac1{2n+1}$ とおくと $0< t<1$ であり、$n+\frac12=\frac{2n+1}2=\frac1{2t}$、$\frac{1+t}{1-t}=\frac{(2n+2)/(2n+1)}{2n/(2n+1)}=\frac{n+1}n$ である。よって $d_n-d_{n+1}=\frac1{2t}\log\frac{1+t}{1-t}-1$ である。
段 3（対数を積分で書く）：$0\le s<1$ で $\bigl(\log(1+s)-\log(1-s)\bigr)'=\frac1{1+s}+\frac1{1-s}=\frac2{1-s^2}$ であり、$s=0$ で $\log1-\log1=0$ なので
$$ \log\frac{1+t}{1-t}=\int_0^t\frac{2}{1-s^2}\,ds $$
である。
段 4（書き直す）：段 2・段 3 と $1=\frac1t\int_0^t1\,ds$ から
$$ d_n-d_{n+1}=\frac1t\int_0^t\frac{ds}{1-s^2}-\frac1t\int_0^t1\,ds=\frac1t\int_0^t\Bigl(\frac1{1-s^2}-1\Bigr)ds=\frac1t\int_0^t\frac{s^2}{1-s^2}\,ds $$
である。
段 5（評価）：$0< s< t$ では $0<1-t^2<1-s^2$ なので $0<\frac{s^2}{1-s^2}<\frac{s^2}{1-t^2}$ である。積分すると
$$ 0< d_n-d_{n+1}<\frac1t\int_0^t\frac{s^2}{1-t^2}\,ds=\frac1t\cdot\frac{t^3}{3(1-t^2)}=\frac{t^2}{3(1-t^2)} $$
である。$\frac{t^2}{1-t^2}=\frac1{t^{-2}-1}=\frac1{(2n+1)^2-1}=\frac1{4n(n+1)}$ なので、右辺は $\frac1{12n(n+1)}$ に等しい。最後の等式 $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ は通分で確かめられる。$\square$

方針：まず lem-fac-diff から $d_n$ が収束することと、その極限 $C$ との差の評価を出す。次に、Wallis の公式を $d_n$ で書き直して $e^C=\sqrt{2\pi}$ を決める。
段 1（2 つの単調な列）：lem-fac-diff の左の不等式から $d_n>d_{n+1}$、すなわち $(d_n)$ は狭義単調減少である。右の不等式 $d_n-d_{n+1}<\frac1{12n}-\frac1{12(n+1)}$ を移項すると $d_n-\frac1{12n}< d_{n+1}-\frac1{12(n+1)}$、すなわち $\bigl(d_n-\frac1{12n}\bigr)$ は狭義単調増加である。
段 2（有界）：段 1 から、すべての $n\ge1$ で
$$ d_1-\frac1{12}\le d_n-\frac1{12n}< d_n\le d_1 $$
である（左端の等号は $n=1$ のときだけ成り立つ）。よって $(d_n)$ は下に有界な減少列であり、ある実数 $C$ に収束する（単調で有界な数列は収束する）。
段 3（$C$ を挟む）：減少列の極限は各項以下なので、$d_n>d_{n+1}\ge C$ である。一方 $d_m-\frac1{12m}$ は増加列で、$m\to\infty$ で $C-0=C$ に近づくので、各項は $C$ 以下であり、$d_n-\frac1{12n}< d_{n+1}-\frac1{12(n+1)}\le C$ である。まとめて、すべての $n\ge1$ で
$$ C< d_n< C+\frac1{12n} $$
である。
段 4（定数の決定）：$d_n$ の定義から $n!=e^{d_n}\,n^{n+1/2}e^{-n}$、$(2n)!=e^{d_{2n}}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}$ である。$(2n)^{2n+1/2}=2^{2n}\cdot2^{1/2}\cdot n^{2n+1/2}=4^n\sqrt2\,n^{2n+1/2}$ に注意して、Wallisの公式（高校数学）の系の量 $\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!\sqrt n}$ に代入すると
$$ \frac{4^n(n!)^2}{(2n)!\,\sqrt n}=\frac{4^n\,e^{2d_n}n^{2n+1}e^{-2n}}{e^{d_{2n}}\,4^n\sqrt2\,n^{2n+1/2}e^{-2n}\cdot\sqrt n}=\frac{e^{2d_n-d_{2n}}}{\sqrt2} $$
である。$n\to\infty$ で左辺は $\sqrt\pi$ に近づき（Wallisの公式（高校数学）の系）、右辺は $\frac{e^{2C-C}}{\sqrt2}=\frac{e^C}{\sqrt2}$ に近づく（$d_n\to C$、$d_{2n}\to C$ と指数関数の連続性）。よって $\frac{e^C}{\sqrt2}=\sqrt\pi$、すなわち $e^C=\sqrt{2\pi}$ である。
段 5（結論）：$e^{d_n}=\dfrac{n!}{\sqrt n\,(n/e)^n}$ である。段 3 の $C< d_n< C+\frac1{12n}$ の各辺の指数をとると $e^C< e^{d_n}< e^Ce^{1/(12n)}$ であり、$e^C=\sqrt{2\pi}$ で割ると主張の不等式を得る。$e^{1/(12n)}\to1$ なので、はさみうちの原理により比は $1$ に収束する。$\square$