ホモトピー群

$u=(s_2,\ldots,s_n)$ と書く。$f*g$ を第1座標の前半で $f(2t,u)$、後半で $g(2t-1,u)$ と定義する。継ぎ目では双方 $x_0$ であり、外側境界でも $x_0$ である。ホモトピー $F,G$ にも同じ時刻の貼り合わせを行えば $F*G$ を得るので、演算は代表元の選択に依存しない。
結合律では、三つの写像 $f,g,h$ を順に置く区間長を使う。$(f*g)*h$ の区間長は $(1/4,1/4,1/2)$、$f*(g*h)$ は $(1/2,1/4,1/4)$ である。これらの三成分をパラメータ $v\in[0,1]$ で線形補間し、各区間を $[0,1]$ に線形に引き伸ばして対応する写像を評価する。全区間長は正で、各継ぎ目の値は $x_0$ なので、有限閉領域の貼り合わせにより連続な境界固定ホモトピーになる。
定値写像を $e$ とする。$f*e$ は $f(\min(2t,1),u)$ である。$a_v=(1+v)/2$ として $f(\min(t/a_v,1),u)$ が $f*e$ から $f$ への境界固定ホモトピーを与える。$e*f$ には $f(\max((t-(1-v)/2)/a_v,0),u)$ を使う。これで左右の単位元則を得る。
$\bar f(t,u)=f(1-t,u)$ とする。$f*\bar f$ を縮める式は
$$ H(t,u,v)=f\bigl((1-v)\min(2t,2-2t),u\bigr). $$
$v=0$ で往復、$v=1$ で $f(0,u)=x_0$ となる。$t=0,1$ または $u$ が残りの座標の境界にあるとき、全時刻で $x_0$ である。$\bar f*f$ には $f(1-(1-v)\min(2t,2-2t),u)$ を用いる。この構成は $n=1$ でもそのまま有効で、$u$ は空の座標組と解釈する。

商写像 $q\colon I^n\to I^n/\partial I^n$ は、$\partial I^n$ を1点に潰す標準的な同相 $I^n/\partial I^n\cong S^n$（基点は $\partial I^n$ の像）を経て $S^n$ への写像とみなせる。この同一視のもとで、次の対応が全単射を与える。
$$ \{f\colon I^n\to X \mid f(\partial I^n)=\{x_0\}\} \;\longleftrightarrow\; \{\varphi\colon (S^n,s_0)\to (X,x_0)\},\qquad \varphi \mapsto \varphi\circ q. $$
実際、$f$ が $\partial I^n$ 上で定数写像 $x_0$ をとるなら、$q$ が商写像であること（$I^n$ はコンパクトで商の同相先 $S^n$ はHausdorffなので $q$ は閉写像）から、商位相の普遍性により $f$ は $q$ を経由して一意的な連続写像 $\bar f\colon S^n\to X$、$\bar f\circ q=f$、$\bar f(s_0)=x_0$ に分解する。$\varphi\mapsto\varphi\circ q$ と $f\mapsto\bar f$ は互いに逆写像である。
さらに、$H\colon I^n\times[0,1]\to X$ が $\partial I^n$ 上で恒等的に $x_0$ をとる（境界を止めた）ホモトピーであることと、$q\times\mathrm{id}$ を経由して分解する基点付きホモトピー $\bar H\colon S^n\times[0,1]\to X$ が存在することは、$q\times\mathrm{id}$ もコンパクト空間からHausdorff空間への連続全射であり閉な商写像になることと、商位相の普遍性により同値である。したがって上の全単射はホモトピー類の間の全単射
$$ \{f\colon I^n\to X\mid f(\partial I^n)=x_0\}\big/(\text{境界を止めたホモトピー}) \;\cong\; [(S^n,s_0),(X,x_0)]_* $$
を誘導する。
$n=1$ のとき $I^1=[0,1]$、$\partial I^1=\{0,1\}$ であり、左辺は「$\gamma(0)=\gamma(1)=x_0$ なる連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to X$ の、端点を止めたホモトピーによる類別」——これはまさしく基本群記事で定義された基点付きループのホモトピー類である。さらに本記事の演算 $+$（$n=1$ の場合の $+_1$）は
$$ (f+g)(t)=\begin{cases}f(2t)&(0\leq t\leq\tfrac12)\\ g(2t-1)&(\tfrac12\leq t\leq1)\end{cases} $$
であり、これは基本群で定義されたループの連結 $\gamma*\delta$ の定義式と文字通り同一である。ゆえに集合としても群としても、本記事の $\pi_1(X,x_0)$ と基本群記事の $\pi_1(X,x_0)$ は一致する。

補題（Eckmann–Hiltonの議論）: 集合 $S$ 上の2つの単位的な演算 $*,\star$ が共通の単位元 $e$ を持ち、交替則
$$ (a*b)\star(c*d)=(a\star c)*(b\star d)\qquad(\forall a,b,c,d\in S) $$
を満たすとする。このとき $*=\star$ であり、この演算は可換である。
証明: $a,d\in S$ に対し交替則で $b=e,\,c=e$ とおくと $(a*e)\star(e*d)=(a\star e)*(e\star d)$。左辺は（$e$ が $*$ の単位であることから）$a\star d$、右辺は（$e$ が $\star$ の単位であることから）$a*d$。よって任意の $a,d$ について $a\star d=a*d$、すなわち $*=\star$。以下この共通の演算を $\circ$ と書く。次に $b,c\in S$ に対し交替則で $a=e,\,d=e$ とおくと $(e*b)\star(c*e)=(e\star c)*(b\star e)$。左辺は $b\circ c$、右辺は $c\circ b$（いずれも単位元の性質のみによる）。よって $b\circ c=c\circ b$ であり、$\circ$ は可換である。∎（補題の証明終わり）
これを $\pi_n(X,x_0)\ (n\geq2)$ に適用する。$n\geq2$ なので座標が2本以上あり、$i=1,2$ それぞれについて、定義節の演算を第 $i$ 座標に沿って行う演算 $+_i$
$$ (f +_i g)(s_1,\dots,s_n)=\begin{cases} f(\dots,2s_i,\dots) & (s_i\in[0,\tfrac12])\\ g(\dots,2s_i-1,\dots) & (s_i\in[\tfrac12,1])\end{cases} $$
が定義できる。定義節の群演算は $+:=+_1$ であり、$+_2$ も同じ単位元（定値写像の類）を持つ演算である。$I^n$ を $(s_1,s_2)$ 平面で四分割し四隅の領域に $f,g,h,k$ を配置する操作は、「まず $+_1$ で横に貼り合わせ、次に $+_2$ で縦に貼り合わせる」のと「まず $+_2$ で縦に貼り合わせ、次に $+_1$ で横に貼り合わせる」のとで、$s_1,s_2$ という独立な座標の分割にしか依存しないため同一の写像を与える。これが交替則
$$ (f+_1g)+_2(h+_1k) \;=\; (f+_2h)+_1(g+_2k) $$
である。$S=\pi_n(X,x_0)$、$*=+_1$、$\star=+_2$、$e=$（定値写像の類）に補題を適用すると、$+_1=+_2$ かつこの演算は可換である。$+_1$ は定義節で群演算であることを見た（単位元・逆元が明示されている）ので、$n\geq2$ のとき $\pi_n(X,x_0)$ はアーベル群である。∎

代表の境界固定ホモトピー $A$ に $f$ を合成すると境界固定ホモトピー $fA$ が得られるため、$f_*$ は定義可能である。貼り合わせの各半立方体で $f\circ(a*b)=(f\circ a)*(f\circ b)$ なので準同型である。代表の段階で $(gf)a=g(fa)$、$\mathrm{id}\circ a=a$ だから関手則も成立する。
基点固定ホモトピー $F:X\times I\to Y$ には $(s,v)\mapsto F(a(s),v)$ を使えば、両端の誘導準同型が等しいと分かる。基点付きホモトピー逆があれば誘導準同型も互いに逆となる。
自由ホモトピーの場合は次の基点移送の構成後に証明する。基点が動くホモトピーを、そのまま基点固定ホモトピーと読み替えてはいけない。

必要な持ち上げ基礎をここで示す。道の逆像により区間を均等被覆近傍の開被覆で覆い、Lebesgue数を用いて各小区間の像が一つの均等被覆近傍に入る有限分割を取る。始点のシートを指定したら、その同相の逆で最初の小区間を持ち上げ、その終点の属するシートを使って次へ進む。有限貼り合わせで連続な持ち上げを得る。二つの持ち上げが一致する時刻の集合は、均等被覆近傍でのシートの分離により開かつ閉なので、一致は全区間に及ぶ。
道の端点固定ホモトピーについては正方形を十分細かい長方形の格子に分け、各小長方形の像が一つの均等被覆近傍に入るようにする。下辺の持ち上げから各段を左から右、下から上に延長する。新しい小長方形と既に作った領域の共通部分は左辺・下辺のいずれか、またはその連結な合併である。その持ち上げは同じシートに入り、指定シートの逆写像を小長方形全体に使える。隣接する辺で一意性により一致するので、有限貼り合わせで正方形全体に持ち上がる。側辺の像が一点なら持ち上げも離散ファイバー内の道なので定値である。ゆえに端点を固定した道のホモトピーは持ち上げの終点を変えない。
$p:(\widetilde X,\widetilde x_0)\to(X,x_0)$ を被覆写像とし $n\geq2$ とする。立方体の単連結性と局所道連結性から、指定した頂点 $v_0$ で $a(v_0)=x_0$ を満たす $a:I^n\to X$ には、その頂点の持ち上げの値を $\widetilde x_0$ と指定した一意な持ち上げがある。これは頂点から各点までの道を写して持ち上げ、道の選択に依存しないことを立方体の道のホモトピーから示す構成である。局所連続性は各点の小さい近傍を均等被覆近傍へ写すことで従う。
$a(\partial I^n)=x_0$ であり、$n\geq2$ のとき境界 $\partial I^n$ は道連結なので、その持ち上げは境界全体で $\widetilde x_0$ に等しい。したがって $p_*$ は全射。二つの代表間の境界固定ホモトピーも $I^n\times I$ 上に持ち上げられる。側面 $\partial I^n\times I$ は道連結なので、その像は $\widetilde x_0$ に固定される。両端の持ち上げは一意性で指定代表に一致する。よって $p_*$ は単射であり、関手性の証明の準同型性と合わせて同型になる。
$n=1$ では境界の二点は道連結でなく、持ち上げが閉ループになるとは限らない。例えば $\mathbb R\to S^1$ では基本群は同型でない。したがってこの証明の次元条件は不可欠である。
$\gamma:I\to X$ を $x_0$ から $x_1$ への道とし、$f:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_1)$ とする。$c=(1/2,\ldots,1/2)$、$r(s)=2\max_i|s_i-1/2|$ と置き、
$$ T_\gamma f(s)=\begin{cases} f(c+2(s-c))&(r(s)\leq1/2),\\ \gamma(2-2r(s))&(r(s)\geq1/2) \end{cases} $$
と定める。継ぎ目では $f$ の境界値と $\gamma(1)$ がともに $x_1$、外側境界では $\gamma(0)=x_0$ となる。貼り合わせで連続である。$\gamma$ の端点固定ホモトピー、$f$ の境界固定ホモトピーに同じ式を使えるので $\beta_\gamma[f]=[T_\gamma f]$ は道の端点固定類と $[f]$ だけに依存する。
準同型性を具体的に確かめる。$e$ は $x_1$ への定値写像とし、$A=T_\gamma(f*e)$、$B=T_\gamma(e*g)$ と置く。$s=(t,u)$ として
$$ K(t,u,v)=\begin{cases} A((2-v)t,u)&(t\leq1/2),\\ B((2-v)t+v-1,u)&(t\geq1/2) \end{cases} $$
を使う。継ぎ目の二つの第1座標は $1-v/2$ と $v/2$ で中心対称である。殻では両方の $r$ が等しいので $\gamma$ の同じ点をとり、内側ではそれぞれ $f*e$ の定値側と $e*g$ の定値側なので $x_1$ で一致する。外側境界も $x_0$ に固定される。$v=0$ は $A*B$、$v=1$ は $T_\gamma(f*g)$ である。群公理の証明により $f*e\simeq f$、$e*g\simeq g$ だから、$\beta_\gamma$ は準同型となる。
$\gamma:x_0\to x_1$、$\eta:x_1\to x_2$ に対し、$T_\gamma T_\eta f$ は二重の殻を持つ。内側の立方体と二つの殻の正の幅を線形に変えれば、一枚の殻に連結道 $\gamma*\eta$ を配置した写像へ移る。殻の境界で値が道の共通端点に一致するので、これは境界固定ホモトピーである。定値道の殻は内側の立方体を全体へ広げて取り除ける。したがって $\beta_{\gamma*\eta}=\beta_\gamma\beta_\eta$、$\beta_e=\mathrm{id}$。往復道の縮約と道のホモトピーへの不変性から $\beta_{\bar\gamma}$ は $\beta_\gamma$ の逆となる。
基点を同じにしたループに制限すると $[\gamma]\mapsto\beta_\gamma$ は $\pi_1(X,x_0)\to\operatorname{Aut}(\pi_n(X,x_0))$ を与える。これが本文の作用である。作用が自明という条件を $n$-単純性と呼ぶ。単連結なら作用する群が自明なので、この条件を満たす。$n=1$ では殻の式は $\gamma*f*\bar\gamma$ であり共役作用になる。単連結でないから作用が非自明とは限らず、例えば $S^1$ の高次群は自明なので高次の作用も自明である。

連続なホモトピー $F:X\times I\to Y$ の基点の軌跡を $\gamma(v)=F(x_0,v)$ とする。このとき
$$ \beta_\gamma(F_1)_*=(F_0)_*. $$
実際、代表 $a$ に対し各時刻 $v$ で内側の立方体に $F_v a$、殻に道 $w\mapsto\gamma(vw)$ を置く。殻による移送の構成と同じ貼り合わせ式は $(s,v)$ に関して連続で外側境界を $\gamma(0)$ に固定する。$v=0$ は定値の殻を付けた $F_0a$、$v=1$ は $T_\gamma(F_1a)$ である。定値の殻を取り除けば上式を得る。また写像 $f:X\to Y$ との自然性 $f_*\beta_\alpha=\beta_{f\alpha}f_*$ は殻の式へ $f$ を合成することで従う。
自由ホモトピー逆 $g$ を持つ $f:X\to Y$ を考える。$\mathrm{id}_X\simeq gf$ の基点軌跡を $\alpha:x_0\to gfx_0$ とすると、$L=\beta_\alpha g_*$ は $f_*:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,fx_0)$ の左逆である。よって $f_*$ は単射。$\mathrm{id}_Y\simeq fg$ の $fx_0$ における軌跡を $\delta$ とすると、$\beta_\delta(fg)_*=\mathrm{id}$。自然性より $f_*L=\beta_{f\alpha}(fg)_*=\beta_{f\alpha}\beta_\delta^{-1}$ は自己同型である。したがって $f_*$ は全射でもあり同型となる。基点を止めないホモトピーでも同型が得られるが、二つの誘導準同型がそのまま等しいとはいっていない。
可縮空間は一点空間と自由ホモトピー同値なので、任意の基点について全ての $\pi_n$ ($n\geq1$) は自明である。基点を固定する収縮が存在すると仮定した証明ではない。可縮性と指定基点への強変形収縮を区別する。

まず採用する基礎を述べる。整数特異ホモロジーの関手性・ホモトピー不変性・球面の基本類と、胞体ホモロジーの境界を付着写像の次数で計算する公式を使う。CW近似はホモトピー群と特異ホモロジー群の同型を誘導する形で用い、$(n-1)$-連結なCW複体を $(n-1)$ 骨格が一点のCW複体へ置き換える形の胞体構成を使う。胞体近似は部分複体で既に胞体的な写像をそこで固定したまま行う形で用いる。これらは HatAT の Theorem 4.8、Propositions 4.13、4.15、4.21 および胞体ホモロジー節の基礎である。
相対ホモトピー群の完全系列と、次のホモトピー切除定理も採用する。CW複体 $Y=A\cup B$ を部分複体の合併とし、$C=A\cap B$ は空でなく道連結とする。対 $(A,C)$ が $r$-連結、$(B,C)$ が $s$-連結（$r,s\geq0$）なら、包含による $\pi_j(A,C)\to\pi_j(Y,B)$ は $j< r+s$ で同型、$j=r+s$ で全射である。対の $r$-連結性は、成分の条件も含めて次数 $r$ 以下の相対群が消えるという条件である。出典は HatAT Theorem 4.23 である。切除のこの次元制限を取り除いて使うことはしない。
写像 $h$ の定義可能性はホモロジーのホモトピー不変性から従う。球面を二つに分けて赤道を潰すピンチ写像 $c:S^n\to S^n\vee S^n$ は、向きを揃えると基本類を $([S^n],[S^n])$ へ送る。二つの成分への射影がそれぞれ向きを保つ半球の商写像になるためである。貼り合わせの積は $(a\vee b)c$ で表せるから、$h([a]*[b])=h([a])+h([b])$ となる。この議論は $n=1$ にも通る。自然性は $(fa)_*[S^n]=f_*(a_*[S^n])$ である。
高次の同型を示す。上の近似と置換により、$X$ の代わりに $(n-1)$ 骨格が一点のCW複体を扱えばよい。$n+1$ より高い胞体は、相対胞体近似により $\pi_n$ を変えず、胞体鎖の次数から $H_n$ も変えない。そこで
$$ W=\bigvee_{\alpha}S^n_\alpha,\qquad Z=W\cup_{\varphi_\beta}\bigcup_\beta e^{n+1}_\beta $$
と書ける $n+1$ 骨格を考える。
$\pi_n(W)$ は各球面の包含を基底とする自由アーベル群である。有限個の球面なら $W$ をその積 $P$ に含めると、$P\setminus W$ の胞体は次元 $2n$ 以上なので、対 $(P,W)$ は $(2n-1)$-連結である。完全系列から $n\geq2$ で $\pi_n(W)\cong\pi_n(P)$ を得る。積への写像とホモトピーは成分ごとに決まるから、右辺は球面の群 $\mathbb Z$ の有限直和である。無限個の場合も、球面からの写像とそのホモトピーのコンパクトな像は有限部分複体に入るため、この結果を有限個ずつ適用できる。ここで使うコンパクト性の事実は、像が無限個の胞体に交わると仮定して相異なる胞体から一点ずつ選ぶと、その点集合の任意の部分集合が閉包有限性と弱位相により閉になり、コンパクト空間内の無限離散閉集合を生じることから従う。特性写像の逆像は有限集合とは限らないが、像の有限個の点は閉であり、その逆像は閉である。ここでは球面自身の次数同型 $\pi_n(S^n)\cong\mathbb Z$ を採用している。
次に $\pi_{n+1}(Z,W)$ を計算する。対 $(Z,W)$ は $n$-連結、$W$ は $(n-1)$-連結である。$Z$ に $W$ の錐 $CW$ を付け、切除を $(Z,W)$ と $(CW,W)$ に適用すると
$$ \pi_j(Z,W)\longrightarrow\pi_j(Z\cup CW,CW) $$
は $j<2n$ で同型となる。右辺は完全系列と $CW$ の可縮性で $\pi_j(Z\cup CW)$ に一致する。可縮な部分複体 $CW$ を潰す写像は、部分複体のホモトピー拡張性によってホモトピー同値なので、さらに $\pi_j(Z/W)$ に一致する。$n\geq2$ では $n+1<2n$ であり、
$$ \pi_{n+1}(Z,W)\cong\pi_{n+1}(Z/W) =\pi_{n+1}\left(\bigvee_\beta S^{n+1}_\beta\right) \cong\bigoplus_\beta\mathbb Z. $$
その基底は胞体の特性写像であり、相対完全系列の境界写像はこれを付着写像の類 $[\varphi_\beta]$ へ送る。従って
$$ \pi_n(Z)\cong \operatorname{coker}\left(\bigoplus_\beta\mathbb Z \xrightarrow{\,([\varphi_\beta])\,}\bigoplus_\alpha\mathbb Z\right). $$
第 $\alpha$ 球面以外を潰す写像を $q_\alpha$ とすると、行列の $(\alpha,\beta)$ 成分は $\deg(q_\alpha\varphi_\beta)$ である。この行列は胞体境界 $d_{n+1}$ と同じであり、$n-1$ 胞体がないので $H_n(Z)=\operatorname{coker}d_{n+1}$ となる。写像 $h$ は各球面の包含をその胞体のホモロジー類へ送るため、この同じ余核の間の同型そのものである。自然性と近似が誘導する同型によって、元の $X$ についても結論を得る。
最後に $n=1$ を示す。道を特異1単体とみなすと、端点固定ホモトピーの正方形を三角形に分けることで、ホモトピックな道の差は境界になる。また連結道 $a*b$ は鎖 $a+b$ と境界を除いて一致する。道連結な $X$ の有限1サイクル $z=\sum_i m_i\sigma_i$ に現れる各端点 $y$ へ、$x_0$ からの補助道 $c_y$ を取り、
$$ L(z)=\sum_i m_i[c_{\sigma_i(0)}*\sigma_i*\bar c_{\sigma_i(1)}] \in\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}} $$
と置く。補助道を変えた差は各頂点で「入る辺と出る辺」の係数に従って相殺されるので、$\partial z=0$ により $L$ は選択に依存しない。特異2単体の三辺は、二辺の連結と残る辺が端点固定でホモトピックになるため、その境界を $L$ で送ると0になる。従って $L$ は $H_1(X;\mathbb Z)$ 上に降りる。
基点付きループに $Lh$ を適用すると元のアーベル化の類を得る。逆に $hL(z)$ に現れる補助道はサイクル条件で相殺され、$[z]$ が残る。従って $L$ はアーベル化から誘導される $h$ の逆である。補助道の選択は各有限鎖ごとの有限選択だけである。道連結性を落とすと、$X=\{x_0\}\sqcup S^1$ は $\pi_1(X,x_0)=0$ だが $H_1(X;\mathbb Z)=\mathbb Z$ となる。HatAT

まず通常の懸垂 $SX=C_+X\cup_X C_-X$ を使う。両方の錐は可縮で、交わりは道連結な $X$ である。対の完全系列から、$X$ が $k$-連結なら $(C_\pm X,X)$ は $(k+1)$-連結となる。前の証明に記した切除定理を $r=s=k+1$、$j=n+1$ で用いると、中央の写像を含む
$$ \pi_n(X)\xleftarrow[\cong]{\partial} \pi_{n+1}(C_+X,X)\longrightarrow \pi_{n+1}(SX,C_-X)\xleftarrow[\cong]{} \pi_{n+1}(SX) $$
を得る。外側の同型は錐の可縮性と完全系列から従う。中央は $n+1<2k+2$ で同型、$n+1=2k+2$ で全射である。従って合成は $n\leq2k$ で同型、$n=2k+1$ で全射である。代表 $a:S^n\to X$ を上側の錐へ円錐状に延長し、下側にも錐を付けると、この合成は通常の懸垂写像 $Sa$ の類になる。基点の線分は固定してこの構成を行う。
$SX$ 内の $\{x_0\}$ の懸垂線分は可縮な部分複体である。これを潰す写像 $SX\to\Sigma X$ は部分複体のホモトピー拡張性からホモトピー同値であり、上の合成を被約懸垂へ移せる。立方体の表示で $Ea$ は一つ座標を加えた写像 $Ea(s,t)=[a(s),t]$ として表され、$t=0,1$ の面は被約懸垂の基点へ送る。元の第1座標の貼り合わせとこの操作は可換なので、$E$ は準同型である。境界固定ホモトピーにも同じ操作を行えるため、代表元に依存しない。通常の懸垂の二つの極を同じ基点だと見なした議論ではない。
球面 $S^m$ は $(m-1)$-連結なので $k=m-1$、$n=m+i$ を代入する。同型条件 $m+i\leq2m-2$ は $m\geq i+2$ に等しい。この範囲では次の懸垂も同型となり、群は以後一定となる。境界の $m=i+1$ では全射までしかこの定理からは得られない。切除からの導出は HatAT Corollary 4.24 と同じ連結度を用いている。