ホモトピー群
概要
ホモトピー群（homotopy group）とは、球面 Sⁿ（n≥1）から基点付き空間 (X,x₀) への基点を保つ連続写像を、基点を保つホモトピーで類別し、その上に群構造を入れたものである。n=1 のときは基本群 π₁ そのものであり、n≥2 では貼り合わせの向きを入れ替えられるためつねにアーベル群になる(Eckmann–Hilton論法)。空間の「n次元の穴」を測る不変量として、被覆理論・ホモロジー論と並ぶ代数的位相幾何学の中心的道具である。
定義
$n$ 次元球面を $S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}: \|x\|=1\}$、基点を $s_0=(1,0,\dots,0)\in S^n$ とする。
位相空間 $X$ と基点 $x_0\in X$、整数 $n\geq1$ に対し、連続写像 $\varphi\colon(S^n,s_0)\to(X,x_0)$（$\varphi(s_0)=x_0$）を基点付き写像という。2つの基点付き写像が、基点を止めたまま連続変形で移り合うとき基点付きホモトピックであるといい、その同値類のなす集合を
$$
\pi_n(X,x_0):=[(S^n,s_0),(X,x_0)]_*
$$
と書く。$n=0$ の場合は $S^0=\{-1,1\}$ からの基点付き写像の類別にすぎず、これは $X$ の弧状連結成分全体（基点付き集合）$\pi_0(X,x_0)$ を与える——群構造を持つのは $n\geq1$ からである。
立方体 $I^n=[0,1]^n$ とその境界 $\partial I^n$ に対し、商写像 $q\colon I^n\to I^n/\partial I^n\cong S^n$（$\partial I^n$ の像を基点 $s_0$ とする標準的な同相）を用いると、$\pi_n(X,x_0)$ は「$f(\partial I^n)=x_0$ なる連続写像 $f\colon I^n\to X$ の、境界を止めたホモトピーによる類別」とも表せる（同一視の証明は性質節）。この表示のもと、第1座標に沿った貼り合わせ
$$
(f+g)(s_1,\dots,s_n)=\begin{cases} f(2s_1,s_2,\dots,s_n) & (0\leq s_1\leq\tfrac12) \\ g(2s_1-1,s_2,\dots,s_n) & (\tfrac12\leq s_1\leq1)\end{cases}
$$
は $\pi_n(X,x_0)$ 上の演算を誘導し、これがホモトピー群の群構造である。単位元は定値写像の類、$[f]$ の逆元は $\bar f(s_1,\dots,s_n)=f(1-s_1,s_2,\dots,s_n)$ の類。結合律・逆元則の検証は、基本群で行われる時間の再配分によるホモトピー構成を第1座標について文字通り繰り返すだけなので省略する。
直感
$\pi_1$ が「輪ゴムで測る1次元の穴」だったのに対し、$\pi_n$ は$n$次元の球面を空間に投げ込み、それを潰せるかを見る装置である。$n=2$ なら閉じたゴム膜（球面 $S^2$）を空間に貼り付け、潰せなければ「2次元的に囲まれた穴」（空洞）があると分かる。
なぜ可換群になるか。$\pi_1$ では時間方向の連結という演算が1通りしかないが、$\pi_n\ (n\geq2)$ では立方体のどの座標軸に沿っても同じように貼り合わせができる。異なる2本の軸を使う演算が実は等しく可換であること（Eckmann–Hilton論法、性質節）が、この「演算の重複」から生じる。
初学者が誤解しやすい点を挙げる。
- $\pi_1$の直感をそのまま延長できない。$\pi_1$ は空間の「連結のされ方」（被覆空間・Galois対応）と直結するが、$n\geq2$ では被覆写像は $\pi_n$ の同型を誘導する（性質節）——被覆理論は高次の穴を「見ない」。高次ホモトピー群を検出する主な道具はファイバー化の完全系列・懸垂・Hurewicz写像である。
- 計算の難度が桁違いに上がる。$\pi_1$ はSeifert–van Kampenの定理で組み立て的に計算できることが多いが、$\pi_n(X)$ にはそれに対応する一般的な貼り合わせ定理がない。球面自身の $\pi_k(S^n)$（$k>n$）の表でさえ、$k$ が大きい範囲は現在も研究が続く対象である[R]。「定義は $\pi_1$ の素直な一般化だが、計算の難度は別次元に飛躍する」というギャップが最大の山場である。
- 単連結性は高次ホモトピー群の消滅を意味しない。この点は反例として次節で詳述する。
例
任意の $n\geq1$ に対し $\pi_n(S^n,s_0)\cong\mathbb{Z}$ であり、恒等写像の類 $[\mathrm{id}_{S^n}]$ が生成元を与える。同型は写像度（degree）$\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$、$[\varphi]\mapsto\deg\varphi$ による（Hurewiczの定理、または胞体近似による直接構成）。$n=1$ の場合が基本群の $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$（回転数）に他ならず、高次元版は「球面を球面に何回巻き付けるか」を測る次数不変量として同じ役割を果たす。
$\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ は前項と同じ次数の議論による。ところがHopf写像 $\eta\colon S^3\to S^2$（$S^3\subset\mathbb{C}^2$ を $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{C}P^1\cong S^2$ への商の制限とみたもの）は定値写像とホモトピックでなく、実は $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ であり $[\eta]$ がその生成元になる（Hopf, 1931）。$k>n$ なのに $\pi_k(S^n)\neq0$ となるこの現象は、「球面には次元より高い写像の入り込む余地がある」ことを示す代数的位相幾何学最初期の劇的な発見であり、以後の安定ホモトピー論の出発点になった。
$\pi_1$ についての直感——「輪ゴムが全部縮むなら空間は（位相的に）単純」——は高次元にそのまま延長できない。$S^2$ は単連結（$\pi_1=0$）だが $\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$（Hopf写像）はともに非自明であり、実際 $\pi_n(S^2)$ は無限個の $n$ について非自明であり続けることが知られている[R]。単連結性は「1次元の穴の不在」しか保証せず、高次の穴の不在（弱可縮性）とは独立の条件である。
逆方向の破綻も起きる。円周 $S^1$ は $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ と非自明な基本群を持つが、普遍被覆 $\mathbb{R}\to S^1$ が可縮であることと、被覆写像が $n\geq2$ で $\pi_n$ の同型を誘導すること（性質節）から $\pi_n(S^1)=0\ (n\geq2)$。トーラス $T^2$ や種数 $\geq1$ の閉曲面も同様に $\pi_n=0\ (n\geq2)$ でありながら $\pi_1$ は非自明である（こうした空間は$K(\pi,1)$空間と呼ばれる）。
「$\pi_1$ が自明かどうか」と「$\pi_n\ (n\geq2)$ が自明かどうか」は論理的に独立な条件である——これが低次元の直感をそのまま高次元へ延長できない最も基本的な理由であり、$\pi_n$ を $\pi_1$ の単純な延長として扱えない所以である。
性質
$n=1$ のとき、上の定義による $\pi_1(X,x_0)=[(S^1,s_0),(X,x_0)]_*$ は、基本群記事で定義された「基点付きループのホモトピー類のなす群」と、集合としても群としても一致する。
商写像 $q\colon I^n\to I^n/\partial I^n$ は、$\partial I^n$ を1点に潰す標準的な同相 $I^n/\partial I^n\cong S^n$（基点は $\partial I^n$ の像）を経て $S^n$ への写像とみなせる。この同一視のもとで、次の対応が全単射を与える。
$$
\{f\colon I^n\to X \mid f(\partial I^n)=\{x_0\}\} \;\longleftrightarrow\; \{\varphi\colon (S^n,s_0)\to (X,x_0)\},\qquad \varphi \mapsto \varphi\circ q.
$$
実際、$f$ が $\partial I^n$ 上で定数写像 $x_0$ をとるなら、$q$ が商写像であること（$I^n$ はコンパクトなので $q$ は閉写像）から、商位相の普遍性により $f$ は $q$ を経由して一意的な連続写像 $\bar f\colon S^n\to X$、$\bar f\circ q=f$、$\bar f(s_0)=x_0$ に分解する。$\varphi\mapsto\varphi\circ q$ と $f\mapsto\bar f$ は互いに逆写像である。
さらに、$H\colon I^n\times[0,1]\to X$ が $\partial I^n$ 上で恒等的に $x_0$ をとる（境界を止めた）ホモトピーであることと、$q\times\mathrm{id}$ を経由して分解する基点付きホモトピー $\bar H\colon S^n\times[0,1]\to X$ が存在することは、$I^n\times[0,1]$ 上での商位相の普遍性により同値である。したがって上の全単射はホモトピー類の間の全単射
$$
\{f\colon I^n\to X\mid f(\partial I^n)=x_0\}\big/(\text{境界を止めたホモトピー}) \;\cong\; [(S^n,s_0),(X,x_0)]_*
$$
を誘導する。
$n=1$ のとき $I^1=[0,1]$、$\partial I^1=\{0,1\}$ であり、左辺は「$\gamma(0)=\gamma(1)=x_0$ なる連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to X$ の、端点を止めたホモトピーによる類別」——これはまさしく基本群記事で定義された基点付きループのホモトピー類である。さらに本記事の演算 $+$（$n=1$ の場合の $+_1$）は
$$
(f+g)(t)=\begin{cases}f(2t)&(0\leq t\leq\tfrac12)\\ g(2t-1)&(\tfrac12\leq t\leq1)\end{cases}
$$
であり、これは基本群で定義されたループの連結 $\gamma*\delta$ の定義式と文字通り同一である。ゆえに集合としても群としても、本記事の $\pi_1(X,x_0)$ と基本群記事の $\pi_1(X,x_0)$ は一致する。
$n\geq2$ のとき $\pi_n(X,x_0)$ はアーベル群である（Eckmann–Hilton論法）。
補題（Eckmann–Hiltonの議論）: 集合 $S$ 上の2つの単位的な演算 $*,\star$ が共通の単位元 $e$ を持ち、交替則
$$
(a*b)\star(c*d)=(a\star c)*(b\star d)\qquad(\forall a,b,c,d\in S)
$$
を満たすとする。このとき $*=\star$ であり、この演算は可換である。
証明: $a,d\in S$ に対し交替則で $b=e,\,c=e$ とおくと $(a*e)\star(e*d)=(a\star e)*(e\star d)$。左辺は（$e$ が $*$ の単位であることから）$a\star d$、右辺は（$e$ が $\star$ の単位であることから）$a*d$。よって任意の $a,d$ について $a\star d=a*d$、すなわち $*=\star$。以下この共通の演算を $\circ$ と書く。次に $b,c\in S$ に対し交替則で $a=e,\,d=e$ とおくと $(e*b)\star(c*e)=(e\star c)*(b\star e)$。左辺は $b\circ c$、右辺は $c\circ b$（いずれも単位元の性質のみによる）。よって $b\circ c=c\circ b$ であり、$\circ$ は可換である。∎（補題の証明終わり）
これを $\pi_n(X,x_0)\ (n\geq2)$ に適用する。$n\geq2$ なので座標が2本以上あり、$i=1,2$ それぞれについて、定義節の演算を第 $i$ 座標に沿って行う演算 $+_i$
$$
(f +_i g)(s_1,\dots,s_n)=\begin{cases} f(\dots,2s_i,\dots) & (s_i\in[0,\tfrac12])\\ g(\dots,2s_i-1,\dots) & (s_i\in[\tfrac12,1])\end{cases}
$$
が定義できる。定義節の群演算は $+:=+_1$ であり、$+_2$ も同じ単位元（定値写像の類）を持つ演算である。$I^n$ を $(s_1,s_2)$ 平面で四分割し四隅の領域に $f,g,h,k$ を配置する操作は、「まず $+_1$ で横に貼り合わせ、次に $+_2$ で縦に貼り合わせる」のと「まず $+_2$ で縦に貼り合わせ、次に $+_1$ で横に貼り合わせる」のとで、$s_1,s_2$ という独立な座標の分割にしか依存しないため同一の写像を与える。これが交替則
$$
(f+_1g)+_2(h+_1k) \;=\; (f+_2h)+_1(g+_2k)
$$
である。$S=\pi_n(X,x_0)$、$*=+_1$、$\star=+_2$、$e=$（定値写像の類）に補題を適用すると、$+_1=+_2$ かつこの演算は可換である。$+_1$ は定義節で群演算であることを見た（単位元・逆元が明示されている）ので、$n\geq2$ のとき $\pi_n(X,x_0)$ はアーベル群である。∎
連続写像 $f\colon(X,x_0)\to(Y,y_0)$ は準同型 $f_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,y_0)$、$[\varphi]\mapsto[f\circ\varphi]$ を誘導し、$(g\circ f)_*=g_*\circ f_*$、$(\mathrm{id})_*=\mathrm{id}$ が成り立つ。すなわち各 $\pi_n$ は基点付き位相空間の圏から（$n\geq2$ではアーベル群の圏への）関手であり、とくにホモトピー同値な空間の $\pi_n$ は同型である。証明は基本群記事の関手性の証明を第1座標から一般の座標へ置き換えるだけなので省略する。
被覆写像 $p\colon\tilde X\to X$ は $n\geq2$ に対して同型 $p_*\colon\pi_n(\tilde X,\tilde x_0)\xrightarrow{\cong}\pi_n(X,x_0)$ を誘導する（被覆空間は基本群という「1次元の穴」だけを分解し、高次の情報は変えない）。また弧状連結な $X$ では、基点を動かす操作を通じて基本群 $\pi_1(X,x_0)$ が $\pi_n(X,x_0)$ に作用する。この作用が自明なとき $X$ は$n$-単純であるという（単連結な空間はつねに $n$-単純）。
基点付き空間 $(X,x_0)$ に対し、$[\varphi]\in\pi_n(X,x_0)$ をその基本類の像 $\varphi_*[S^n]\in H_n(X;\mathbb{Z})$ にうつすHurewicz準同型 $h\colon\pi_n(X,x_0)\to H_n(X;\mathbb{Z})$ が存在し、$n\geq2$ では群準同型になる。Hurewiczの定理: $X$ が $(n-1)$-連結（$n\geq2$）ならば $h$ は同型 $\pi_n(X,x_0)\cong H_n(X;\mathbb{Z})$ を与える。$n=1$ の場合の対応物は、アーベル化 $\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}\cong H_1(X;\mathbb{Z})$ である。
懸垂 $\Sigma$ は写像 $\varphi\colon S^n\to X$ を $\Sigma\varphi\colon S^{n+1}\to\Sigma X$ にうつし、準同型 $\pi_n(X,x_0)\to\pi_{n+1}(\Sigma X,\Sigma x_0)$ を誘導する。Freudenthalの懸垂定理: $X$ が $k$-連結なCW複体なら、この準同型は $n\leq2k$ で同型、$n=2k+1$ で全射である。とくに球面については $\pi_{n+i}(S^n)$ は $n\geq i+2$ で $i$ のみに依存する一定の値（安定ホモトピー群 $\pi_i^{\mathrm S}$）に落ち着く。[G]
基本群とホモトピー群の比較
| 観点 | $\pi_1(X,x_0)$（基本群） | $\pi_n(X,x_0),\ n\geq2$（高次ホモトピー群） |
|---|---|---|
| 定義対象 | 基点付きループ $[0,1]\to X$（$\cong$ 基点付き $S^1\to X$） | 基点付き写像 $S^n\to X$ |
| 演算の数 | 1通り（時間方向の連結のみ） | $n$通り（各座標軸ごと）——ただし全て等しい演算に潰れる |
| 可換性 | 一般に非可換（例: 8の字の $\pi_1$） | つねにアーベル群（Eckmann–Hilton論法） |
| 計算道具 | Seifert–van Kampenの定理（貼り合わせで計算可能） | 対応する一般的な貼り合わせ定理は存在しない。ファイバー化の完全系列・懸垂・Hurewicz写像など個別技法に頼る |
| ホモトピー不変性 | あり | あり |
| 被覆空間との関係 | 被覆空間の分類は $\pi_1$ の部分群と対応する主役 | $n\geq2$では被覆写像は $\pi_n$ の同型を誘導する（高次の穴は被覆に写らない） |
| ホモロジーとの対応 | アーベル化 $\pi_1^{\mathrm{ab}}\cong H_1$ | $(n-1)$-連結空間で $\pi_n\cong H_n$（Hurewiczの定理） |
| 計算の難度 | しばしば具体的に計算可能（学部レベルで完結） | 一般に極めて困難。$\pi_k(S^n)$（$k>n$）の表は現在も研究対象[R] |
（対応は類推ではなく、$n=1$ を一般の $n$ の特別な場合として厳密に含む——上の証明節参照）
分野ごとの使われ方
- 代数的位相幾何学（本流）: CW複体の胞体構造から $\pi_n$ を計算する障害理論、Postnikov塔による空間の階層的分解、安定ホモトピー論（$\pi_i^{\mathrm S}$・スペクトラム）。$\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$ から始まり、$\pi_k(S^n)$ の表の決定は今なお進行中の研究領域である[R]。
- 微分幾何・束論: ファイバー束の分類は分類空間 $BG$ への基点付きホモトピー類 $[X,BG]$ で与えられ、$\pi_{n-1}(G)\cong\pi_n(BG)$（構造群 $G$ の低次ホモトピー群が束の分類に直結する）。障害理論はベクトル束の切断の存在・拡張可能性を $\pi_n$ の消滅で判定する[G]。
- 物理学（場の理論・凝縮系）: 位相的欠陥（渦・モノポール・スカーミオン・インスタントン）の分類は、秩序変数空間 $M$ への写像のホモトピー類 $\pi_n(M)$ で行われる。Hopf写像による $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ はSkyrmion数・Hopf不変量として直接物理量になる[R]。
- 作用素代数・K理論: Bott周期性はユニタリ群の安定ホモトピー群 $\pi_i(U)$ の周期性 $\pi_i(U)\cong\pi_{i+2}(U)$ として定式化され、位相的K理論の基礎になる[R]。
進む分野別の学び方の指針: 代数的位相そのものを学ぶなら、まずホモロジー群との対応（Hurewiczの定理）と障害理論を押さえるのが計算の近道である。幾何・束論志向なら分類空間の理論へ、物理志向ならHopf写像とその一般化（Hopf不変量）から入るのが実利にかなう。いずれの経路でも、$\pi_1$ の計算技法（Seifert–van Kampen）がそのままでは使えないという性質節の事実を最初に理解しておくことが遠回りを防ぐ。
関連項目
参考文献
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