almost Gorenstein局所環

同義語：概Gorenstein局所環almost Gorenstein local ring

概要

前提知識: ネーター局所環, Cohen–Macaulay加群, 標準加群, 重複度, 完全列

定義：標準加群との差をUlrich加群で測る

$(R,\mathfrak m,k)$ をCohen–Macaulay局所環とし、$R$ は標準加群 $\omega_R$ をもつとする。有限生成 $R$-加群 $M$ の最小生成元数を $\mu_R(M)$、$\mathfrak m$ に関する重複度を $e^0_{\mathfrak m}(M)$ と書く。

Ulrich加群

零でない有限生成 $R$-加群 $M$ が Ulrich加群であるとは、$M$ がCohen–Macaulayであり
$$ \mu_R(M)=e^0_{\mathfrak m}(M) $$
を満たすことをいう。

almost Gorenstein局所環

$R$ が almost Gorenstein局所環（almost Gorenstein local ring、概Gorenstein局所環）であるとは、完全列
$$ 0\longrightarrow R\xrightarrow{\varphi}\omega_R\longrightarrow C\longrightarrow0 $$
が存在し、$C=0$、または $C\neq0$ かつ $C$ がUlrich加群となることをいう。同値に、上の完全列で
$$ \mu_R(C)=e^0_{\mathfrak m}(C) $$
が成り立つことを要求する。

定義の出典：高次元の定義とUlrich余核による定式化はGoto–Takahashi–Taniguchi, Definition 3.3 GotoTakahashiTaniguchi2015。同論文Proposition 3.4は一次元版との関係を述べる。一次元版の先行研究にはBarucci–Fröberg BarucciFroberg1997 とGoto–Matsuoka–Phuong GotoMatsuokaPhuong2013 がある。

直感：Gorensteinからのずれを「最小の余核」に集める

Gorenstein局所環では $\omega_R\cong R$ であり、定義の完全列を $C=0$ として取れる。almost Gorenstein性は同型を要求せず、$R$ を $\omega_R$ へ埋め込んだ差 $C$ がUlrich加群になることを要求する。従って「標準加群が環そのものではない」というずれは残るが、そのずれの生成元数と重複度が一致する。
$$ \mathrm{Gorenstein} \Longrightarrow \mathrm{almost\ Gorenstein} \Longrightarrow \mathrm{Cohen\text{-}Macaulay}. $$
右から左の含意は一般には成り立たない。“almost” は近さの比喩だけではなく、標準加群への埋め込みとUlrich余核という具体的な条件を表す。

例と反例

環	標準加群への埋め込み	判定
Gorenstein局所環	$R\xrightarrow{\sim}\omega_R$、$C=0$	almost Gorenstein
$k[\![t^3,t^4,t^5]\!]$	$R\subset R+Rt\cong\omega_R$、余核は $k$	almost Gorensteinだが非Gorenstein
$k[\![t^3,t^7,t^8]\!]$	$K=R+Rt\cong\omega_R$ だが $\mathfrak mK\nsubseteq R$	Cohen–Macaulayだがalmost Gorensteinでない
$k[\![x,y]\!]/(x,y)^2$	次元0でsocle次元2	almost Gorensteinでない

Gorenstein局所環

$R$ がGorenstein局所環なら $\omega_R\cong R$ である。同型を $\varphi$ に取れば $C=0$ だから、$R$ はalmost Gorensteinである。

非Gorensteinの例：$k[\![t^3,t^4,t^5]\!]$

$R=k[\![t^3,t^4,t^5]\!]\subset k[\![t]\!]$ とし、$K=R+Rt$ と置く。数値半群の標準分数イデアルの計算から $K\cong\omega_R$ である。包含 $R\hookrightarrow K$ の余核 $C=K/R$ は $t$ の類で生成され、
$$ \mathfrak mC=0 $$
となる。従って $C\cong k$ は0次元Ulrich加群であり、$R$ はalmost Gorensteinである。一方、$K$ は $1,t$ の2元を必要とするのでCohen–Macaulay型は2であり、$R$ はGorensteinでない。

数値半群例の出典：一般に $e\geq3$ に対する $k[\![t^e,t^{e+1},\ldots,t^{2e-1}]\!]$ の標準分数イデアルとalmost Gorenstein性はGoto–Matsuoka–Phuong, Example 3.13 GotoMatsuokaPhuong2013。ここでは $e=3$ を取り、余核を直接計算した。

反例：一次元Cohen–Macaulayでも十分でない

$R=k[\![t^3,t^7,t^8]\!]$ とする。これは一次元Cohen–Macaulay整域で、$K=R+Rt$ は標準分数イデアルである。しかし
$$ t^3\cdot t=t^4\notin R $$
なので $\mathfrak mK\nsubseteq R$ である。一次元の標準分数イデアルによる判定から $R$ はalmost Gorensteinでない。従ってCohen–Macaulay性や標準加群の存在だけでは定義を満たさない。

反例の出典：$k[\![t^3,t^7,t^8]\!]$ の標準分数イデアル $R+Rt$ と非almost Gorenstein性はGoto–Matsuoka–Phuong, Example 5.4 GotoMatsuokaPhuong2013。本文では失敗する条件 $\mathfrak mK\subseteq R$ を具体的に示した。

反例：次元0では非Gorenstein例を拾わない

$A=k[\![x,y]\!]/(x,y)^2$ は0次元なのでCohen–Macaulayであるが、socleは $x,y$ の類で張られ、
$$ \dim_k\operatorname{Soc}(A)=2. $$
従って $A$ はGorensteinでない。0次元almost Gorenstein局所環はGorensteinでなければならないので、$A$ はalmost Gorensteinでない。

余核から従う構造

標準加群への埋め込みの帰結

$R$ を $d$ 次元almost Gorenstein局所環とし、定義の完全列を取る。$C\neq0$ なら次が成り立つ。

$C$ はCohen–Macaulayで、$\dim_R C=d-1$ である。
$R$ の全商環 $Q(R)$ はGorenstein環である。従って $R$ は極小素イデアル上でGorensteinである。
$R$ が正則局所環でなければ、$r(R)=\mu_R(\omega_R)$ として
$$ \mu_R(C)=r(R)-1 $$
である。
$d=0$ なら $C=0$ であり、$R$ はGorensteinである。

1は深さ補題と次元の比較による。2は完全列を極小素イデアルで局所化すると $R_{\mathfrak p}\cong(\omega_R)_{\mathfrak p}$ となることから従う。3は非正則の場合に $\varphi(1)\notin\mathfrak m\omega_R$ となり、最小生成元数が一つ減ることによる。

構造の出典：余核の次元・Cohen–Macaulay性と全商環のGorenstein性はGoto–Takahashi–Taniguchi, Lemma 3.1、型の式はCorollary 3.10 GotoTakahashiTaniguchi2015。

ホモロジー的な見方と標準イデアルによる判定

定義の完全列は、$R$ と双対性を担う $\omega_R$ の差を一つのCohen–Macaulay加群 $C$ に集める。Cohen–Macaulay型
$$ r(R)=\dim_k\operatorname{Ext}^d_R(k,R) $$
は $\omega_R$ の最小生成元数に等しく、非正則almost Gorenstein局所環では上の式 $\mu_R(C)=r(R)-1$ がずれの生成元数を測る。

標準イデアルによる特徴づけ

$d=\dim R\geq1$、$k$ は無限体とし、$I\neq R$ を $I\cong\omega_R$ となるイデアルとする。このとき $R$ がalmost Gorensteinであることと、あるパラメータイデアル
$$ Q=(f_1,f_2,\ldots,f_d),\qquad f_1\in I $$
が存在して
$$ \mathfrak m(I+Q)=\mathfrak mQ $$
を満たすことは同値である。

一次元で残差体が無限なら、標準分数イデアル $R\subseteq K\subseteq\overline R$ を取れる状況で
$$ R\ \mathrm{is\ almost\ Gorenstein} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathfrak mK\subseteq R $$
と書ける。数値半群の例と反例はこの判定を使っている。無限残差体の仮定は極小還元を選ぶ箇所で使われるため、無表示で落としてはいけない。

特徴づけの出典：高次元の標準イデアル判定はGoto–Takahashi–Taniguchi, Theorem 1.3 GotoTakahashiTaniguchi2015、一次元の判定はGoto–Matsuoka–Phuong, Theorem 3.11 GotoMatsuokaPhuong2013。

正則元、平坦拡大、局所化

正則元による持ち上げと切断

$f\in\mathfrak m$ を $R$-正則元とする。

$R/fR$ がalmost Gorensteinなら $R$ もalmost Gorensteinである。$R$ が非Gorensteinなら $f\notin\mathfrak m^2$ でもある。
逆に、$R$ が非Gorensteinのalmost Gorenstein局所環で $d\geq2$ とする。定義の余核 $C$ に対して $f$ が表面的なら、$R/fR$ はalmost Gorensteinである。

逆向きには「$f$ が $C$ に対して表面的」という条件がある。任意の正則元で切れば保存されるとは限らない。

正則閉ファイバーをもつ平坦局所写像

$(S,\mathfrak n)$ をネーター局所環とし、$R\to S$ を平坦局所準同型とする。閉ファイバー $S/\mathfrak mS$ が正則局所環であるとする。$R$ がalmost Gorensteinなら $S$ もalmost Gorensteinである。逆向きは $R/\mathfrak m$ が無限体なら成り立つ。

一方、almost Gorenstein性は一般の素イデアルでの局所化では保存されない。平坦拡大の定理を「すべての局所化で保存」と読み替えてはいけない。

保存則の出典：正則元についてはGoto–Takahashi–Taniguchi, Theorem 3.7、平坦局所写像についてはTheorem 3.9、局所化の反例の所在はRemark 3.17 GotoTakahashiTaniguchi2015。

次数付き版と近い名称との比較

標準次数付きCohen–Macaulay $k$-代数では、$a=a(R)$ として次数付き完全列
$$ 0\longrightarrow R\longrightarrow\omega_R(-a)\longrightarrow C\longrightarrow0 $$
を用い、$\mu_R(C)=e^0_{\mathfrak M}(C)$ を課す。次数シフトを固定するため、局所版の完全列をそのまま次数付き版とは呼べない。次数付きalmost Gorenstein環なら斉次極大イデアルでの局所化はalmost Gorenstein局所環だが、逆は一般に成り立たない。

名称	基本条件	Cohen–Macaulay性	almost Gorensteinとの関係
Gorenstein	$\omega_R\cong R$	必須	常にalmost Gorenstein
almost Gorenstein	$R\hookrightarrow\omega_R$ の余核がUlrich	必須	定義対象
nearly Gorenstein	$\mathfrak m\subseteq\operatorname{tr}(\omega_R)$	通常は仮定	次元1ではalmostから従うが、高次元では一般の含意なし
quasi-Gorenstein	最高次局所コホモロジーが入射包	定義には含めない	CMならGorensteinとなるのでalmostだが、一般には別条件

nearlyとの比較の出典：canonical traceによるnearly Gorenstein性と、一次元でalmost Gorensteinからnearly Gorensteinが従うことはHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 6.1 HerzogHibiStamate2019。同論文は高次元では両概念に一般の含意がない例も扱う。