almost Gorenstein局所環

同義語：概Gorenstein局所環almost Gorenstein local ring

概要

前提知識：ネーター局所環、Cohen–Macaulay加群、標準加群、重複度、完全列。後半では正則元、極小還元、随伴次数環を用いる。

定義：標準加群との差をUlrich加群で測る

$(R,\mathfrak m,k)$ をCohen–Macaulay局所環とし、$R$ は標準加群 $\omega_R$ をもつとする。有限生成 $R$-加群 $M$ の最小生成元数を $\mu_R(M)$、$\mathfrak m$ に関する重複度を $e^0_{\mathfrak m}(M)$ と書く。

Ulrich加群

零でない有限生成 $R$-加群 $M$ が Ulrich加群であるとは、$M$ がCohen–Macaulayであり
$$ \mu_R(M)=e^0_{\mathfrak m}(M) $$
を満たすことをいう。

almost Gorenstein局所環

$R$ が almost Gorenstein局所環（almost Gorenstein local ring、概Gorenstein局所環）であるとは、完全列
$$ 0\longrightarrow R\xrightarrow{\varphi}\omega_R\longrightarrow C\longrightarrow0 $$
が存在し、$C=0$、または $C\neq0$ かつ $C$ がUlrich加群となることをいう。同値に、上の完全列で
$$ \mu_R(C)=e^0_{\mathfrak m}(C) $$
が成り立つことを要求する。

定義の出典：高次元の定義とUlrich余核による定式化はGoto–Takahashi–Taniguchi, Definition 3.3（論文・DOI ）。一次元に先行する定義との関係は同論文Proposition 3.4およびGoto–Matsuoka–Phuong（論文・DOI ）に基づく。

直感：Gorensteinからのずれを「最小の余核」に集める

Gorenstein局所環では $\omega_R\cong R$ であり、定義の完全列を $C=0$ として取れる。almost Gorenstein性は同型を要求せず、$R$ を $\omega_R$ へ埋め込んだ差 $C$ がUlrich加群になることを要求する。従って「標準加群が環そのものではない」というずれは残るが、そのずれの生成元数と重複度が一致する。
$$ \mathrm{Gorenstein} \Longrightarrow \mathrm{almost\ Gorenstein} \Longrightarrow \mathrm{Cohen\text{-}Macaulay}. $$
右から左の含意は一般には成り立たない。“almost” は近さの比喩だけではなく、標準加群への埋め込みとUlrich余核という具体的な条件を表す。

例と反例

環	標準加群への埋め込み	判定
Gorenstein局所環	$R\xrightarrow{\sim}\omega_R$、$C=0$	almost Gorenstein
$k\llbracket t^3,t^4,t^5\rrbracket$	$R\subset R+Rt\cong\omega_R$、余核は $k$	almost Gorensteinだが非Gorenstein
$k\llbracket t^3,t^7,t^8\rrbracket$	$K=R+Rt\cong\omega_R$ だが $\mathfrak mK\nsubseteq R$	Cohen–Macaulayだがalmost Gorensteinでない
$k\llbracket x,y\rrbracket/(x,y)^2$	次元0でsocle次元2	almost Gorensteinでない

Gorenstein局所環

$R$ がGorenstein局所環なら $\omega_R\cong R$ である。同型を $\varphi$ に取れば $C=0$ だから、$R$ はalmost Gorensteinである。

非Gorensteinの例：$k\llbracket t^3,t^4,t^5\rrbracket$

$R=k\llbracket t^3,t^4,t^5\rrbracket\subset k\llbracket t\rrbracket$ とし、$K=R+Rt$ と置く。数値半群の標準分数イデアルの計算から $K\cong\omega_R$ である。包含 $R\hookrightarrow K$ の余核 $C=K/R$ は $t$ の類で生成され、
$$ \mathfrak mC=0 $$
となる。従って $C\cong k$ は0次元Ulrich加群であり、$R$ はalmost Gorensteinである。一方、$K$ は $1,t$ の2元を必要とするのでCohen–Macaulay型は2であり、$R$ はGorensteinでない。

数値半群例の出典：一般に $e\geq3$ に対する $k\llbracket t^e,t^{e+1},\ldots,t^{2e-1}\rrbracket$ の標準分数イデアルとalmost Gorenstein性はGoto–Matsuoka–Phuong, Example 3.13（論文・DOI ）。ここでは $e=3$ を取り、余核を直接計算した。

反例：一次元Cohen–Macaulayでも十分でない

$R=k\llbracket t^3,t^7,t^8\rrbracket$ とする。これは一次元Cohen–Macaulay整域で、$K=R+Rt$ は標準分数イデアルである。しかし
$$ t^3\cdot t=t^4\notin R $$
なので $\mathfrak mK\nsubseteq R$ である。一次元の標準分数イデアルによる判定から $R$ はalmost Gorensteinでない。従ってCohen–Macaulay性や標準加群の存在だけでは定義を満たさない。

反例の出典：$k\llbracket t^3,t^7,t^8\rrbracket$ の標準分数イデアル $R+Rt$ と非almost Gorenstein性はGoto–Matsuoka–Phuong, Example 5.4（論文・DOI ）。本文では失敗する条件 $\mathfrak mK\subseteq R$ を具体的に示した。

反例：次元0では非Gorenstein例を拾わない

$A=k\llbracket x,y\rrbracket/(x,y)^2$ は0次元なのでCohen–Macaulayであるが、socleは $x,y$ の類で張られ、
$$ \dim_k\operatorname{Soc}(A)=2. $$
従って $A$ はGorensteinでない。0次元almost Gorenstein局所環はGorensteinでなければならないので、$A$ はalmost Gorensteinでない。

余核から従う構造

標準加群への埋め込みの帰結

$R$ を $d$ 次元almost Gorenstein局所環とし、定義の完全列を取る。$C\neq0$ なら次が成り立つ。

$C$ はCohen–Macaulayで、$\dim_R C=d-1$ である。
$R$ の全商環 $Q(R)$ はGorenstein環である。従って $R$ は極小素イデアル上でGorensteinである。
$R$ が正則局所環でなければ、$r(R)=\mu_R(\omega_R)$ として
$$ \mu_R(C)=r(R)-1 $$
である。
$d=0$ なら $C=0$ であり、$R$ はGorensteinである。

1は深さ補題と次元の比較による。2は完全列を極小素イデアルで局所化すると $R_{\mathfrak p}\cong(\omega_R)_{\mathfrak p}$ となることから従う。3は非正則の場合に $\varphi(1)\notin\mathfrak m\omega_R$ となり、最小生成元数が一つ減ることによる。

構造の出典：余核の次元・Cohen–Macaulay性と全商環のGorenstein性はGoto–Takahashi–Taniguchi, Lemma 3.1、型の式はCorollary 3.10（論文・DOI ）。

ホモロジー的な見方と標準イデアルによる判定

定義の完全列は、$R$ と双対性を担う $\omega_R$ の差を一つのCohen–Macaulay加群 $C$ に集める。Cohen–Macaulay型
$$ r(R)=\dim_k\operatorname{Ext}^d_R(k,R) $$
は $\omega_R$ の最小生成元数に等しく、非正則almost Gorenstein局所環では上の式 $\mu_R(C)=r(R)-1$ がずれの生成元数を測る。

標準イデアルによる特徴づけ

$d=\dim R\geq1$、$k$ は無限体とし、$I\neq R$ を $I\cong\omega_R$ となるイデアルとする。このとき $R$ がalmost Gorensteinであることと、あるパラメータイデアル
$$ Q=(f_1,f_2,\ldots,f_d),\qquad f_1\in I $$
が存在して
$$ \mathfrak m(I+Q)=\mathfrak mQ $$
を満たすことは同値である。

一次元で残差体が無限なら、標準分数イデアル $R\subseteq K\subseteq\overline R$ を取れる状況で
$$ R\ \mathrm{is\ almost\ Gorenstein} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathfrak mK\subseteq R $$
と書ける。数値半群の例と反例はこの判定を使っている。無限残差体の仮定は極小還元を選ぶ箇所で使われるため、無表示で落としてはいけない。

特徴づけの出典：高次元の標準イデアル判定はGoto–Takahashi–Taniguchi, Theorem 1.3、一次元の判定はGoto–Matsuoka–Phuong, Theorem 3.11（各DOIは参考文献欄）。

正則元、平坦拡大、局所化

正則元による持ち上げと切断

$f\in\mathfrak m$ を $R$-正則元とする。

$R/fR$ がalmost Gorensteinなら $R$ もalmost Gorensteinである。$R$ が非Gorensteinなら $f\notin\mathfrak m^2$ でもある。
逆に、$R$ が非Gorensteinのalmost Gorenstein局所環で $d\geq2$ とする。定義の余核 $C$ に対して $f$ が表面的なら、$R/fR$ はalmost Gorensteinである。

逆向きには「$f$ が $C$ に対して表面的」という条件がある。任意の正則元で切れば保存されるとは限らない。

正則閉ファイバーをもつ平坦局所写像

$(S,\mathfrak n)$ をネーター局所環とし、$R\to S$ を平坦局所準同型とする。閉ファイバー $S/\mathfrak mS$ が正則局所環であるとする。$R$ がalmost Gorensteinなら $S$ もalmost Gorensteinである。逆向きは $R/\mathfrak m$ が無限体なら成り立つ。

一方、almost Gorenstein性は一般の素イデアルでの局所化では保存されない。平坦拡大の定理を「すべての局所化で保存」と読み替えてはいけない。

保存則の出典：正則元についてはGoto–Takahashi–Taniguchi, Theorem 3.7、平坦局所写像についてはTheorem 3.9、局所化の反例の所在はRemark 3.17（論文・DOI ）。

次数付き版と近い名称との比較

標準次数付きCohen–Macaulay $k$-代数では、$a=a(R)$ として次数付き完全列
$$ 0\longrightarrow R\longrightarrow\omega_R(-a)\longrightarrow C\longrightarrow0 $$
を用い、$\mu_R(C)=e^0_{\mathfrak M}(C)$ を課す。次数シフトを固定するため、局所版の完全列をそのまま次数付き版とは呼べない。次数付きalmost Gorenstein環なら斉次極大イデアルでの局所化はalmost Gorenstein局所環だが、逆は一般に成り立たない。

名称	基本条件	Cohen–Macaulay性	almost Gorensteinとの関係
Gorenstein	$\omega_R\cong R$	必須	常にalmost Gorenstein
almost Gorenstein	$R\hookrightarrow\omega_R$ の余核がUlrich	必須	定義対象
nearly Gorenstein	$\mathfrak m\subseteq\operatorname{tr}(\omega_R)$	通常は仮定	次元1ではalmostから従うが、高次元では一般の含意なし
quasi-Gorenstein	最高次局所コホモロジーが入射包	定義には含めない	CMならGorensteinとなるのでalmostだが、一般には別条件

nearlyとの比較の出典：canonical traceによるnearly Gorenstein性と、一次元でalmost Gorensteinからnearly Gorensteinが従うことはHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 6.1（論文・DOI ）。同論文は高次元では両概念に一般の含意がない例も扱う。

条件を確認して使う

定義にはネーター局所性、Cohen–Macaulay性、標準加群の存在を含める。
$R\to\omega_R$ は任意の準同型ではなく単射であり、余核のUlrich条件まで確認する。
$C\neq0$ なら $\dim C=d-1$ である。単に有限長の余核を要求するのは一次元の場合に限られる。
残差体の無限性を必要とする標準イデアル・極小還元の特徴づけと、無条件の定義を区別する。
正則元による商では、下向きの保存に表面的元の条件がある。局所化による保存も一般には成り立たない。
局所版、次数付き版、nearly、quasi、一般化Gorensteinを名称だけで同一視しない。

参考文献と証明の範囲

Gorensteinからの含意、数値半群環の余核、一次元反例で失敗する包含、Artin環の反例は本文中で計算した。余核の構造、標準イデアルによる特徴づけ、正則元・平坦拡大・局所化、次数付き版とnearly Gorensteinとの関係には外部定理を用いる。

Shiro Goto, Ryo Takahashi and Naoki Taniguchi, “Almost Gorenstein rings—towards a theory of higher dimension,” Journal of Pure and Applied Algebra 219 (2015), 2666–2712（ DOI:10.1016/j.jpaa.2014.09.022 ）。
Shiro Goto, Naoyuki Matsuoka and Tran Thi Phuong, “Almost Gorenstein rings,” Journal of Algebra 379 (2013), 355–381（ DOI:10.1016/j.jalgebra.2013.01.025 ）。
Valentina Barucci and Ralf Fröberg, “One-dimensional almost Gorenstein rings,” Journal of Algebra 188 (1997), 418–442（ DOI:10.1006/jabr.1996.6837 ）。
Jürgen Herzog, Takayuki Hibi and Dumitru I. Stamate, “The trace of the canonical module,” Israel Journal of Mathematics 233 (2019), 133–165（ DOI:10.1007/s11856-019-1898-y ）。