Δ-システムと強制法の鎖条件

$\mathbb{P}$ が $\kappa$-Knaster で、反鎖 $A\subset P$ で $|A|\ge\kappa$ となるものがあるとする。$A$ の部分集合 $A'$ で $|A'|=\kappa$ となるものをとると、$\kappa$-Knaster 性により $B\subset A'$ で $|B|=\kappa\ge2$ であり任意の 2 元が両立するものがある。$B$ の相異なる 2 元は $A$ の相異なる 2 元なので両立しない。これは矛盾である。$\square$

$|{}^{<\kappa}2|=2^{<\kappa}<(2^{<\kappa})^+$ なので、濃度 $(2^{<\kappa})^+$ の部分集合 $A\subset{}^{<\kappa}2$ は存在せず、条件は空虚に成り立つ。$\square$

$\langle p_0,p_1\rangle,\langle q_0,q_1\rangle$ が $\mathbb{P}_0\times\mathbb{P}_1$ で両立することは、$p_0,q_0$ が $\mathbb{P}_0$ で両立し、かつ $p_1,q_1$ が $\mathbb{P}_1$ で両立することと同値である（$r_0\le p_0,q_0$、$r_1\le p_1,q_1$ から $\langle r_0,r_1\rangle$ が共通の下界になる）。
$A\subset P_0\times P_1$、$|A|=\kappa$ とする。$p\in P_0$ に対し $A_p:=\{q\in P_1\mid\langle p,q\rangle\in A\}$ とおき、$\pi_0[A]:=\{p\in P_0\mid A_p\neq\emptyset\}$ とおく。
場合 1：ある $p\in P_0$ について $|A_p|=\kappa$ のとき。$\mathbb{P}_1$ の $\kappa$-Knaster 性により $B_1\subset A_p$ で $|B_1|=\kappa$ かつ任意の 2 元が両立するものがとれる。$B:=\{p\}\times B_1\subset A$ とおくと $|B|=\kappa$ であり、第 1 成分が等しい（したがって両立する）ので、$B$ の任意の 2 元は両立する。
場合 2：すべての $p\in P_0$ について $|A_p|<\kappa$ のとき。$A=\bigcup_{p\in\pi_0[A]}\{p\}\times A_p$ であり、$\kappa$ の正則性から濃度 $\kappa$ の集合は $\kappa$ 未満個の濃度 $\kappa$ 未満の集合の和にはならないので、$|\pi_0[A]|=\kappa$ である。各 $p\in\pi_0[A]$ について $q_p\in A_p$ を 1 つ選ぶ。$\mathbb{P}_0$ の $\kappa$-Knaster 性により $B_0\subset\pi_0[A]$ で $|B_0|=\kappa$ かつ任意の 2 元が両立するものがとれる。

• $|\{q_p\mid p\in B_0\}|<\kappa$ のとき。$B_0=\bigcup_q\{p\in B_0\mid q_p=q\}$ は $\kappa$ 未満個の集合の和なので、再び正則性によりある $q\in P_1$ について $B_0':=\{p\in B_0\mid q_p=q\}$ は濃度 $\kappa$ である。$B:=\{\langle p,q\rangle\mid p\in B_0'\}\subset A$ は濃度 $\kappa$ で、任意の 2 元は第 1 成分が両立し第 2 成分が等しいので両立する。
• $|\{q_p\mid p\in B_0\}|=\kappa$ のとき。$\mathbb{P}_1$ の $\kappa$-Knaster 性により $B_1\subset\{q_p\mid p\in B_0\}$ で $|B_1|=\kappa$ かつ任意の 2 元が両立するものがとれる。各 $q\in B_1$ について $q_p=q$ となる $p\in B_0$ を 1 つ選び、その対 $\langle p,q\rangle$ の全体を $B$ とおく。$B\subset A$、$|B|=|B_1|=\kappa$ であり、$B$ の任意の 2 元は第 1 成分どうし（$B_0$ の元）も第 2 成分どうし（$B_1$ の元）も両立するので両立する。
  有限個の直積については 2 個の場合を繰り返せばよい。$\square$

$\mathbb{P}:=\prod^{<\lambda}_{i\in I}\mathbb{P}_i$ とし、$A\subset P$、$|A|=\kappa$ とする。$J\subset I$、$|J|<\lambda$ に対し、$p\in P$ の $J$ への制限 $p\restriction J\in\prod_{j\in J}P_j$ を考える。$p,q\in P$ について、$\operatorname{supp}(p)\cap\operatorname{supp}(q)\subset J$ かつ $p\restriction J$ と $q\restriction J$ が $\prod_{j\in J}\mathbb{P}_j$ で両立するならば、$p$ と $q$ は $\mathbb{P}$ で両立する。実際、$r'\le p\restriction J,q\restriction J$ をとり、$r(j):=r'(j)$（$j\in J$）、$r(i):=p(i)$（$i\in\operatorname{supp}(p)\setminus J$）、$r(i):=q(i)$（$i\in\operatorname{supp}(q)\setminus J$）、それ以外では $r(i):=\mathbf{1}_i$ と定めると、$\operatorname{supp}(p)\setminus J$ と $\operatorname{supp}(q)\setminus J$ は交わらないので $r$ は矛盾なく定まり、$|\operatorname{supp}(r)|\le|J|+|\operatorname{supp}(p)|+|\operatorname{supp}(q)|<\lambda$（$\lambda$ は無限基数）であり、各座標で $r(i)\le p(i)$ かつ $r(i)\le q(i)$ である（$i\in\operatorname{supp}(q)\setminus J$ では $p(i)=\mathbf{1}_i$ なので $r(i)=q(i)\le p(i)$、他も同様）。
$\mathcal{S}:=\{\operatorname{supp}(p)\mid p\in A\}$ とおく。
場合 1：$|\mathcal{S}|<\kappa$ のとき。$A=\bigcup_{J\in\mathcal{S}}\{p\in A\mid\operatorname{supp}(p)=J\}$ は $\kappa$ 未満個の集合の和で濃度 $\kappa$ なので、$\kappa$ の正則性によりある $J\in\mathcal{S}$ について $A_J:=\{p\in A\mid\operatorname{supp}(p)=J\}$ は濃度 $\kappa$ である。$p\mapsto p\restriction J$ は $A_J$ 上単射なので、$\{p\restriction J\mid p\in A_J\}$ は $\prod_{j\in J}P_j$ の濃度 $\kappa$ の部分集合であり、仮定 3 により $B'\subset\{p\restriction J\mid p\in A_J\}$ で $|B'|=\kappa$ かつ任意の 2 元が両立するものがとれる。$B:=\{p\in A_J\mid p\restriction J\in B'\}$ とおくと $|B|=\kappa$ であり、$B$ の任意の 2 元 $p,q$ は $\operatorname{supp}(p)\cap\operatorname{supp}(q)=J$ かつ $p\restriction J,q\restriction J$ が両立するので、冒頭の観察により両立する。
場合 2：$|\mathcal{S}|=\kappa$ のとき。$\mathcal{S}$ は濃度 $\kappa$ の集合族で、各元は濃度 $<\lambda$ である。仮定 1・2 により Δ-システム の一般化された Δ-システム補題 が適用でき、$\mathcal{D}\subset\mathcal{S}$ で $|\mathcal{D}|=\kappa$ かつ根 $J$ の $\Delta$-システムとなるものがとれる。$|J|<\lambda$ である。各 $J'\in\mathcal{D}$ について $\operatorname{supp}(p)=J'$ となる $p\in A$ を 1 つ選び、それらの全体を $A'$ とおくと $|A'|=\kappa$ であり、相異なる $p,q\in A'$ について $\operatorname{supp}(p)\cap\operatorname{supp}(q)=J$ である。$p\mapsto p\restriction J$ による $A'$ の像は濃度 $\kappa$ とは限らないが、$\{p\restriction J\mid p\in A'\}$ の濃度が $\kappa$ 未満なら、$\kappa$ の正則性によりある $u\in\prod_{j\in J}P_j$ について $B:=\{p\in A'\mid p\restriction J=u\}$ が濃度 $\kappa$ となり、$B$ の任意の 2 元は $J$ 上で一致する（したがって両立する）ので、冒頭の観察により両立する。$\{p\restriction J\mid p\in A'\}$ の濃度が $\kappa$ なら、仮定 3 により $B'\subset\{p\restriction J\mid p\in A'\}$ で $|B'|=\kappa$ かつ任意の 2 元が両立するものがとれ、各 $u\in B'$ について $p\restriction J=u$ となる $p\in A'$ を 1 つ選んだ全体を $B$ とおくと、$|B|=\kappa$ であり、$B$ の任意の 2 元は冒頭の観察により両立する。$\square$

$A\subset P$ を反鎖とし、$|A|\ge\kappa$ と仮定して矛盾を導く。$A$ の濃度 $\kappa$ の部分集合をとり直して $|A|=\kappa$ としてよい。prf-delta-knaster-support-product と同じ記号を使う。
場合 1：$|\mathcal{S}|<\kappa$ のとき。同じ議論で $J$ と濃度 $\kappa$ の $A_J\subset A$ をとると、$\{p\restriction J\mid p\in A_J\}$ は $\prod_{j\in J}P_j$ の濃度 $\kappa$ の部分集合である。仮定 3' によりこれは反鎖ではないので、相異なる $p,q\in A_J$ で $p\restriction J$ と $q\restriction J$ が両立するものがある。$\operatorname{supp}(p)\cap\operatorname{supp}(q)=J$ なので冒頭の観察により $p,q$ は両立し、$A$ が反鎖であることに反する。
場合 2：$|\mathcal{S}|=\kappa$ のとき。同じ議論で根 $J$ の $\Delta$-システム $\mathcal{D}$ と濃度 $\kappa$ の $A'\subset A$ をとる。$\{p\restriction J\mid p\in A'\}$ の濃度が $\kappa$ 未満なら、相異なる $p,q\in A'$ で $p\restriction J=q\restriction J$ となるものがあり、両立して矛盾する。濃度が $\kappa$ なら仮定 3' により反鎖ではなく、相異なる $p,q\in A'$ で $p\restriction J,q\restriction J$ が両立するものがあり、やはり両立して矛盾する。$\square$

thm-delta-knaster-support-product を $\lambda:=\aleph_0$ に適用する。仮定 1 は $\kappa$ が非可算であることから成り立つ。仮定 2 は、$\theta<\kappa$ が無限なら $\theta^{<\aleph_0}=\sup_{n\in\omega}\theta^n=\theta<\kappa$、有限なら $\theta^{<\aleph_0}$ も有限（$\theta\le1$ のとき）または $\aleph_0$（$\theta\ge2$ のとき）で $<\kappa$ なので成り立つ。仮定 3 は、$|J|<\aleph_0$ すなわち $J$ が有限のとき $\prod_{j\in J}\mathbb{P}_j$ が有限直積なので、prop-delta-knaster-finite-product から従う。$\square$

ある $X_i$ が空なら直積空間は空なので結論は明らかである。以下、すべての $X_i$ は空でないとする。
rem-delta-product-topology により、$\prod_{i\in I}X_i$ の $\kappa$-鎖条件は、強制概念 $\mathbb{P}_i:=\langle\mathcal{O}_{X_i}\setminus\{\emptyset\};\subset,X_i\rangle$ の有限台直積の $\kappa$-鎖条件と同値であり、有限集合 $J$ について $\prod_{j\in J}X_j$ の $\kappa$-鎖条件は $\prod_{j\in J}\mathbb{P}_j$ の $\kappa$-鎖条件と同値である（有限直積では箱の全体がそのまま開基であり、稠密な部分擬順序である）。よって thm-delta-cc-support-product を $\lambda:=\aleph_0$ に適用すればよい。仮定 1・2 は prf-delta-knaster-finite-support と同様に成り立つ。$\square$

$\kappa=\omega$ なら $\theta=2^{<\omega}=\aleph_0$ であり、$1\le\mu<\omega$ は有限なので $\theta^\mu=\aleph_0=\theta$ である。以下、$\kappa>\omega$ とする。
$1\le\mu<\kappa$ とする。$\theta\le\theta^\mu$ は明らかなので $\theta^\mu\le\theta$ を示す。$\theta=\sup_{\nu<\kappa}2^\nu$ であり、$\kappa$ が無限なので $\theta\ge\sup_{n\in\omega}2^n=\aleph_0$ である。また $\nu<\kappa$ について $\nu<2^\nu\le\theta$ なので $\kappa\le\theta$ である。
ある $\nu<\kappa$ について $\theta=2^\nu$ のとき：$\theta$ が無限なので $\nu$ は無限であり、$\nu\cdot\mu=\max(\nu,\mu)<\kappa$ である。よって $\theta^\mu=(2^\nu)^\mu=2^{\nu\cdot\mu}=2^{\max(\nu,\mu)}\le\theta$ である。
そうでないとき：$\nu\mapsto2^\nu$ は $\kappa$ 上で単調非減少で、その上限 $\theta$ はどの $2^\nu$ にも等しくないので、$\{\nu<\kappa\mid\forall\nu'<\nu\ (2^{\nu'}<2^\nu)\}$ は $\kappa$ において共終であり、$\operatorname{cf}(\theta)=\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa>\mu$ である。したがって任意の関数 $f\colon\mu\to\theta$ の像は $\theta$ で有界、すなわちある無限の $\nu<\kappa$ について $f[\mu]\subset2^\nu$ である。よって ${}^{\mu}\theta=\bigcup_{\omega\le\nu<\kappa}{}^{\mu}(2^\nu)$ であり、
$$ \theta^\mu\le\sum_{\omega\le\nu<\kappa}(2^\nu)^\mu\le\kappa\cdot\sup_{\omega\le\nu<\kappa}2^{\max(\nu,\mu)}\le\kappa\cdot\theta=\theta $$
である（$\nu$ が無限なので $\nu\cdot\mu=\max(\nu,\mu)<\kappa$ であることを用いた）。$\square$

$\theta:=2^{<\kappa}$ とおく。thm-delta-knaster-support-product を、そこでの $\kappa$ として後続基数 $\theta^+$、$\lambda$ として $\kappa$、添字集合 $I:=\lambda$、$\mathbb{P}_i:=\mathrm{Add}(\kappa)$ に適用する。$\theta^+$ は後続基数なので正則であり、$\kappa$ は仮定により正則である。
仮定 1：$\omega\le\kappa\le\theta<\theta^+$ である。
仮定 2：$\theta'<\theta^+$ すなわち $\theta'\le\theta$ なる基数 $\theta'$ と $1\le\mu<\kappa$ について、lem-delta-power-arithmetic により $\theta'^{\mu}\le\theta^\mu=\theta<\theta^+$ である（$\mu=0$ なら $\theta'^{0}=1$）。よって $\theta'^{<\kappa}\le\theta<\theta^+$ である。
仮定 3：$J\subset\lambda$、$|J|<\kappa$ とすると、$\prod_{j\in J}\mathrm{Add}(\kappa)$ の台集合の濃度は $|{}^{<\kappa}2|^{|J|}=\theta^{|J|}\le\theta<\theta^+$（$J=\emptyset$ なら $1$、そうでなければ lem-delta-power-arithmetic により $\theta$）なので、濃度 $\theta^+$ の部分集合は存在せず、$\theta^+$-Knaster 性は空虚に成り立つ。
したがって $\mathrm{Add}(\kappa,\lambda)=\prod^{<\kappa}_{\xi<\lambda}\mathrm{Add}(\kappa)$ は $\theta^+$-Knaster であり、prop-delta-knaster-implies-cc により $\theta^+$-鎖条件を持つ。$\kappa=\aleph_0$ のときは $2^{<\aleph_0}=\aleph_0$ なので $\theta^+=\aleph_1$ である。$\square$