確率分布の中央値

公正なさいころの目 $X$ は $1,\dots,6$ を確率 $\frac16$ ずつとり、$E[X]=\frac72$ である。

• $P(X\le3)=\frac36=\frac12$、$P(X\ge4)=\frac36=\frac12$。
  したがって、$3$ と $4$ の間のどの数で分けても、左右の確率はちょうど $\frac12$ ずつになる。確率を半分ずつに分ける点は 1 つに決まらない。

区間 $[0,1]$ 上の密度関数 $w(t)=2t$ をもつ確率変数 $X$ を考える（区間の外では $w(t)=0$。$\int_0^12t\,dt=1$ である）。

• $0\le a\le1$ で、$P(X\le a)=\int_0^a2t\,dt=a^2$。
• $P(X\le a)=\frac12$ となるのは $a^2=\frac12$、すなわち $a=\frac1{\sqrt2}=0.7071\ldots$ のときである。
• 期待値は $E[X]=\int_0^1t\cdot2t\,dt=\frac23=0.6666\ldots$ である。
  確率を半分ずつに分ける点 $\frac1{\sqrt2}$ は、期待値 $\frac23$ より右にある。

• さいころの目：$a=3$ では $P(X<3)=\frac13$、$P(X>3)=\frac12$ で、中央値である。$a=3.5$ では $P(X<3.5)=P(X>3.5)=\frac12$ で中央値。$a=4$ では $P(X<4)=\frac12$、$P(X>4)=\frac13$ で中央値。$a=4.5$ では $P(X<4.5)=\frac46=\frac23>\frac12$ で中央値ではない。同じように調べると、中央値全体は閉区間 $[3,4]$ である。
• 確率 $0.3$ で $1$、確率 $0.7$ で $0$ をとる $X$：$a=0$ では $P(X<0)=0$、$P(X>0)=0.3$ で中央値である。$0< a\le1$ では $P(X< a)=0.7>\frac12$ で中央値ではない。$a<0$ では $P(X>a)=1$ で中央値ではない。中央値は $0$ だけで、期待値 $0.3$ とは異なる。
• 密度 $2t$ の分布：$0\le a\le1$ で $P(X< a)=a^2$、$P(X>a)=1-a^2$（1 点の確率は $0$）。両方が $\frac12$ 以下になるのは $a^2=\frac12$ のときだけである。$a<0$ なら $P(X>a)=1$、$a>1$ なら $P(X< a)=1$ なので、どちらも中央値ではない。よって中央値は $\frac1{\sqrt2}$ ただ 1 つである。

$a=1$、$b=3$ として (i) を確かめる。右辺は $x\le1$ なら $2$、$x>1$ なら $-2$ である。

• $x=0$：左辺 $|0-3|-|0-1|=3-1=2$、右辺 $2\cdot1=2$。等号。
• $x=2$：左辺 $|2-3|-|2-1|=1-1=0$、右辺 $2\cdot(-1)=-2$。$0\ge-2$。
• $x=5$：左辺 $|5-3|-|5-1|=2-4=-2$、右辺 $-2$。等号。
  同じ $a=1$、$b=3$ で (ii) を確かめる。右辺は $x\ge3$ なら $2$、$x<3$ なら $-2$ である。
• $x=0$：左辺 $|0-1|-|0-3|=1-3=-2$、右辺 $-2$。等号。
• $x=2$：左辺 $|2-1|-|2-3|=1-1=0$、右辺 $-2$。$0\ge-2$。
• $x=5$：左辺 $|5-1|-|5-3|=4-2=2$、右辺 $2$。等号。

さいころの目 $X$ について $E|X-a|$ を計算する。

• $a=2$：$\frac{1+0+1+2+3+4}6=\frac{11}6$。
• $a=3$：$\frac{2+1+0+1+2+3}6=\frac96=\frac32$。
• $a=5$：$\frac{4+3+2+1+0+1}6=\frac{11}6$。
• $3\le a\le4$ のとき：$\frac{(a-1)+(a-2)+(a-3)+(4-a)+(5-a)+(6-a)}6=\frac96=\frac32$ で、$a$ によらない。
  最小値 $\frac32$ をとる $a$ 全体は、中央値全体 $[3,4]$（ex-mdd-median-examples）に一致する。

密度 $2t$ の $X$ と $0\le a\le1$ について、絶対値を外すために積分を $a$ の左右で分ける。
$$ E|X-a|=\int_0^a(a-t)\,2t\,dt+\int_a^1(t-a)\,2t\,dt $$
第 1 項は $\Bigl[at^2-\frac23t^3\Bigr]_0^a=a^3-\frac23a^3=\frac13a^3$ である。第 2 項は $\Bigl[\frac23t^3-at^2\Bigr]_a^1=\Bigl(\frac23-a\Bigr)-\Bigl(\frac23a^3-a^3\Bigr)=\frac23-a+\frac13a^3$ である。よって
$$ E|X-a|=\frac23a^3-a+\frac23 $$
である。$a$ で微分すると $2a^2-1$ で、これが $0$ になるのは $a=\frac1{\sqrt2}$（中央値）である。$a<\frac1{\sqrt2}$ で負、$a>\frac1{\sqrt2}$ で正なので、ここで最小になる。最小値は
$$ \frac23\cdot\frac1{2\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}+\frac23=\frac{1-3}{3\sqrt2}+\frac23=\frac{2-\sqrt2}3=0.1952\ldots $$
である。期待値 $a=\frac23$ では $\frac23\cdot\frac8{27}-\frac23+\frac23=\frac{16}{81}=0.1975\ldots$ で、わずかに大きい。

密度関数 $w(t)=\frac1{\pi(1+t^2)}$（$t$ はすべての実数）をもつ確率変数 $X$ を考える。$\int_{-\infty}^\infty w(t)\,dt=\frac1\pi\bigl[\arctan t\bigr]_{-\infty}^{\infty}=\frac1\pi\cdot\pi=1$ である。$w$ は偶関数なので $P(X<0)=P(X>0)=\frac12$ で、$0$ は中央値である（$a>0$ なら $P(X< a)>\frac12$、$a<0$ なら $P(X>a)>\frac12$ なので、中央値は $0$ だけである）。
一方、$R>0$ について
$$ \int_0^R\frac{t}{\pi(1+t^2)}\,dt=\frac1{2\pi}\log(1+R^2) $$
は $R\to\infty$ で限りなく大きくなるので、$E|X|=\infty$ である（GS06 Example 6.28）。さらに $|t-a|\ge|t|-|a|$ なので、すべての $a$ で $E|X-a|=\infty$ である。この分布は thm-mdd-main の仮定 $E|X|<\infty$ を満たさず、「$E|X-a|$ の最小点」は意味をもたない。それでも確率の釣り合いによる中央値 $0$ は意味をもつ。期待値がない分布でも中央値は使える、というのが中央値の強みである。

確率 $\frac12$ ずつで $0$ と $1$ をとる $X$ では、$0\le a\le1$ のすべての $a$ で $P(X< a)\le\frac12$ かつ $P(X>a)\le\frac12$ なので、中央値全体は $[0,1]$ である。実際、$0\le a\le1$ で $E|X-a|=\frac12a+\frac12(1-a)=\frac12$ と一定であり、$a<0$ では $E|X-a|=\frac12-a>\frac12$、$a>1$ では $a-\frac12>\frac12$ である。「中央値はただ 1 つ」という主張は、確率がちょうど半分ずつに分かれる隙間があると成り立たない。

確率 $0.3$ で $1$、確率 $0.7$ で $0$ をとる $X$ は、期待値 $0.3$、中央値 $0$ である（ex-mdd-median-examples）。$E|X-a|=0.7|a|+0.3|1-a|$ なので、$E|X-0|=0.3$、$E|X-0.3|=0.21+0.21=0.42$、$E|X-1|=0.7$ である。期待値 $0.3$ では最小にならず、最小点は中央値 $0$ である。逆に $E[(X-a)^2]$ を最小にするのは期待値 $0.3$ である（平均値と二乗誤差）。