Dieudonné加群とBarsotti–Tate群

定数有限エタール群スキーム $\underline{\mathbb Z/p^n\mathbb Z}$ と、$x\bmod p^n\mapsto px\bmod p^{n+1}$ で与えられる包含からなる帰納系
$$\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}\subset\underline{\mathbb Z/p^2\mathbb Z}\subset\cdots$$
は高さ $1$ の Barsotti–Tate 群であり、$\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ と書く。その反変 Dieudonné 加群は $M=W e$ で
$$F(e)=e,\qquad V(e)=pe$$
としたものである。ここで $F$ は $\sigma$-半線形なので $F(ae)=\sigma(a)e$ であり、$F$ は全単射である。この「$F$ が全単射」という性質がエタール性を表す。

$p^n$ 乗写像の核 $\mu_{p^n}:=\ker([p^n]\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m)$ は階数 $p^n$ の有限局所自由群スキームである。帰納系
$$\mu_p\subset\mu_{p^2}\subset\cdots$$
は高さ $1$、次元 $1$ の Barsotti–Tate 群 $\mu_{p^\infty}$ をなす。その反変 Dieudonné 加群は $M=W e$ で
$$F(e)=pe,\qquad V(e)=e$$
としたものである。したがって $V$ が全単射である。Cartier 双対により
$$\bigl(\mathbb Q_p/\mathbb Z_p\bigr)^D\cong\mu_{p^\infty}$$
である。

$k$ が代数閉体であるとする。位数 $p$ の有限可換群スキームには、定数群 $\underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}$、乗法型群 $\mu_p$、加法群の Frobenius 核 $\alpha_p:=\ker(F\colon\mathbb G_a\to\mathbb G_a)$ という三つの基本例がある。反変 Dieudonné 加群はいずれも $k=W/(p)$ を台とし、基底 $e$ 上の作用はそれぞれ
$$ \begin{array}{c|cc} H&F(e)&V(e)\\ \hline \underline{\mathbb Z/p\mathbb Z}&e&0\\ \mu_p&0&e\\ \alpha_p&0&0 \end{array} $$
である。三者は幾何点だけでは十分に区別できないが、$F,V$ の作用は直ちに区別する。

$k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ に対し
$$A[p^\infty]:=\varinjlim_n A[p^n]$$
は高さ $2g$、次元 $g$ の Barsotti–Tate 群である。これは $[p^n]\colon A\to A$ が次数 $p^{2gn}$ の有限平坦射であることによる。反変 Dieudonné 加群 $M(A[p^\infty])$ は $W$ 上階数 $2g$ であり、標数 $p$ における $p$-進 Tate 加群の代替物として働く。