スペクトルのファイバー列と余ファイバー列

同義語：スペクトルのファイバー列スペクトルの余ファイバー列fiber and cofiber sequences of spectracofiber sequence of spectra

概要

前提知識: スペクトル(ホモトピー論), ホモトピーファイバー, 相対ホモトピー群, CW複体

スペクトルのファイバー列と余ファイバー列（fiber and cofiber sequences of spectra）は、スペクトルの写像の各段のホモトピーファイバーがつくる列と、CW スペクトルの部分スペクトルによる商がつくる列である。どちらもスペクトルのホモトピー群の長完全列を与え、しかも包含については両者がホモトピー群の上で同じ列になる。
空間では、ホモトピーファイバーによるホモトピー群の長完全列は $\pi_0$ で止まり（ホモトピーファイバーの系「ホモトピー群の長完全列」）、CW 対の列 $W\to Z\to Z/W$ はホモトピー群については一般に完全でない（ex-fcs-table-check。ホモロジーについては写像錐(位相)）。
スペクトルではこの違いが消える。任意の写像のファイバー列は、すべての整数次数にわたり左右どちらにも終わりなく続くアーベル群の長完全列を与える（thm-fcs-fiber-les）。CW スペクトルとその部分スペクトル $A\subset B$ については、包含のホモトピーファイバーと商 $B/A$ のループのホモトピー群が一致し（thm-fcs-fiber-loop）、余ファイバー列 $A\to B\to B/A$ も長完全列を与える（thm-fcs-cofiber-les）。

記号と構成

スペクトル $X=(X_n,\sigma_n\colon\Sigma X_n\to X_{n+1})_{n\ge0}$、スペクトルの写像、ホモトピー群 $\pi_k(X)=\operatorname{colim}_n\pi_{k+n}(X_n)$ と、それを定める準同型 $s_n\colon\pi_m(X_n)\to\pi_{m+1}(X_{n+1})$ はスペクトル(ホモトピー論) の定義に従う。$\Sigma Z=Z\wedge S^1$、$\varepsilon(t)=e^{2\pi it}$、$I=[0,1]$ とする。$\pi_m(Z)$（$m\ge1$）の元は $\partial I^m$ を基点へ写す写像 $a\colon I^m\to Z$ で表し、和は第 1 座標でつなぐ（ホモトピー群）。この表し方で $s_n[a]=[(u,v)\mapsto\sigma_n(a(u)\wedge\varepsilon(v))]$ であり、懸垂の座標 $v$ は最後に付く（スペクトル(ホモトピー論) の注意「$s_n$ と懸垂準同型」）。スペクトルの写像 $f$ は $f_*\colon\pi_k(X)\to\pi_k(Y)$ を誘導し、すべての整数 $k$ で $f_*$ が同型である写像を安定弱同値という（安定ホモトピー圏の定義「安定弱同値と水準ごとの弱同値」）。同記事は各段が T1 空間のものに限るが、thm-fcs-fiber-les はこの仮定によらない。

水準ごとのホモトピーファイバーとループ

$f\colon X\to Y$ をスペクトルの写像とする。

$f_n$ のホモトピーファイバー $\mathrm{Fib}(f)_n:=\{(x,\gamma)\in X_n\times Y_n^I\mid\gamma(0)=\ast,\ \gamma(1)=f_n(x)\}$ に、構造写像 $(x,\gamma)\wedge z\mapsto\bigl(\sigma_n(x\wedge z),\ t\mapsto\sigma_n(\gamma(t)\wedge z)\bigr)$ を入れたスペクトルを $\mathrm{Fib}(f)$ と書く。射影 $p_n(x,\gamma):=x$ はスペクトルの写像 $p\colon\mathrm{Fib}(f)\to X$ を定める。
$(\Omega Y)_n:=\Omega Y_n$ に、構造写像 $\omega\wedge z\mapsto\bigl(t\mapsto\sigma_n(\omega(t)\wedge z)\bigr)$ を入れたスペクトルを $\Omega Y$ と書く。$j_n(\omega):=(\ast,\omega)$ はスペクトルの写像 $j\colon\Omega Y\to\mathrm{Fib}(f)$ を定める。

1 の 2 つの $\sigma_n$ は $X$ と $Y$ のもので、$f_{n+1}\sigma_n=\sigma_n\Sigma f_n$ により道の終点は $f_{n+1}(\sigma_n(x\wedge z))$ である。連続性はホモトピーファイバーの補題「連続性の判定」と、$Z\wedge S^1$ が $Z\times S^1$ の商空間であることによる。$\Omega Y$ は Ω スペクトルの意味ではない。安定ホモトピー圏の $\Omega E$（構造写像の随伴が $\Omega\tilde\sigma_n$）とはループと懸垂の座標の役割が入れ替わっており、ここでは $j$ が写像になる上の形を使う。
$m\ge1$ について、ループの座標を最後に付ける群の同型
$$ \lambda_n\colon\pi_m(\Omega Y_n)\to\pi_{m+1}(Y_n),\qquad[a]\mapsto[(u,t)\mapsto a(u)(t)] $$
をずれと呼ぶ（ループ空間の定理「ホモトピー群のずれ」）。各段 $n$ で、ホモトピーファイバーの系「ホモトピー群の長完全列」により完全列
$$ \cdots\to\pi_{m+1}(Y_n)\xrightarrow{\partial_n}\pi_m(\mathrm{Fib}(f)_n)\xrightarrow{p_*}\pi_m(X_n)\xrightarrow{f_*}\pi_m(Y_n)\xrightarrow{\partial_n}\pi_{m-1}(\mathrm{Fib}(f)_n)\to\cdots $$
があり、境界写像は $\partial_n=j_*\circ\lambda_n^{-1}$ である。

符号の扱い

座標の入れ替えと符号

$k\ge2$ とし、$g\colon I^k\to Z$ を $\partial I^k$ を基点へ写す写像とする。$I^k$ の 2 つの座標を入れ替える写像 $T$ と、1 つの座標 $x_i$ を $1-x_i$ に替える写像 $R$ について、$\pi_k(Z)$ で $[g\circ T]=-[g]$、$[g\circ R]=-[g]$ である。

要点：座標の反転は逆元を与え、入れ替えは「反転してから $90$ 度回す」ことで、回転は恒等写像にホモトピックである。

詳しい証明を開く

反転：第 $i$ 座標でつなぐ和は、第 1 座標の和を座標の入れ替えで移したものであり、$k\ge2$ では第 1 座標の和と一致する（ホモトピー群の命題「$n\geq2$のときホモトピー群はアーベル群である」の証明と同じ議論）。第 1 座標の反転は第 1 座標の和についての逆元を与える（同記事の命題「貼り合わせによる群構造」の証明）ので、第 $i$ 座標の反転 $R$ は第 $i$ 座標の和、したがって通常の和についての逆元を与える。

入れ替え：$T$ が座標 $x_i,x_j$ を入れ替えるとする。この 2 座標の正方形 $Q=I^2$ の中心を $c$ とし、$y=x-c$ について $\mu(y):=\max(|y_1|,|y_2|)$、$|y|$ を Euclid の長さとして、$\phi(x):=c+\frac{\mu(y)}{|y|}y$（$x=c$ では $c$）とおく。$\phi$ は $Q$ から半径 $\frac12$ の円板への同相写像で、$\partial Q$ を円周に写し、$90$ 度回転と可換である。$\theta$ 回転を $\mathrm{rot}_\theta$ とし $R_\theta:=\phi^{-1}\circ\mathrm{rot}_\theta\circ\phi$ とおくと、$R_\theta$ は $\partial Q$ を $\partial Q$ に写し、$(\theta,x)\mapsto R_\theta(x)$ は連続で、$R_{\pi/2}(x_i,x_j)=(1-x_j,x_i)$ である。ほかの座標はそのままにして $g\circ R_\theta$（$0\le\theta\le\frac\pi2$）をとると、これは $\partial I^k$ を基点へ写す写像の族なので $[g]=[g\circ R_{\pi/2}]$ である。$g\circ R_{\pi/2}=(g\circ T)\circ R'$（$R'$ は第 $j$ 座標の反転）なので、前半により $[g]=-[g\circ T]$ である。$\square$

ずれと構造写像の反可換性

スペクトル $Y$ と $m\ge1$ について、$\pi_m(\Omega Y_n)$ の上で $\lambda_{n+1}\circ s_n=-s_n\circ\lambda_n$ である。したがってスペクトルの写像 $f\colon X\to Y$ について、$\pi_{m+1}(Y_n)$ の上で $s_n\circ\partial_n=-\partial_{n+1}\circ s_n$ である。

要点：ループの座標と懸垂の座標が付く順序が逆になる。

詳しい証明を開く

$a\colon I^m\to\Omega Y_n$ に対し $G(u,t,v):=\sigma_n\bigl(a(u)(t)\wedge\varepsilon(v)\bigr)$ とおく。定義をたどると $s_n\lambda_n[a]=[G]$ であり、$\lambda_{n+1}s_n[a]$ は $(u,v,t)\mapsto G(u,t,v)$ の類、すなわち $G$ に最後の 2 座標の入れ替えを合成した写像の類なので、lem-fcs-swap により $-[G]$ である。後半：$j$ はスペクトルの写像なので $s_nj_*=j_*s_n$ であり、$s_n\partial_n=s_nj_*\lambda_n^{-1}=j_*s_n\lambda_n^{-1}=-j_*\lambda_{n+1}^{-1}s_n=-\partial_{n+1}s_n$ である。$\square$

符号付きのずれ

スペクトル $Y$ と整数 $k$ について、$n\ge\max(0,2-k)$ での $(-1)^n\lambda_n\colon\pi_{k+n}(\Omega Y_n)\to\pi_{k+n+1}(Y_n)$ が誘導する写像を $\ell\colon\pi_k(\Omega Y)\to\pi_{k+1}(Y)$ と書く。

lem-fcs-anticommute により $(-1)^{n+1}\lambda_{n+1}s_n=s_n(-1)^n\lambda_n$ なので、これは帰納系の写像であり、$\ell$ は同型である。符号を付けないと帰納系の写像にならない（ex-fcs-table-check の 3 行目）。

主定理：ファイバー列の長完全列

ファイバー列の長完全列

$f\colon X\to Y$ をスペクトルの写像とする。$n$ が十分大きいところの $(-1)^n\partial_n$ が誘導する写像を $\partial\colon\pi_k(Y)\to\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(f))$ とすると、アーベル群の列
$$ \cdots\to\pi_k(\mathrm{Fib}(f))\xrightarrow{p_*}\pi_k(X)\xrightarrow{f_*}\pi_k(Y)\xrightarrow{\partial}\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(f))\xrightarrow{p_*}\pi_{k-1}(X)\to\cdots $$
はすべての整数 $k$ で完全であり、左右どちらにも終わりなく続く。この列はスペクトルの写像の可換な四角形について自然である。

整数 $k$ を固定し、$n\ge\max(0,3-k)$ とする。$m:=k+n\ge3$ なので、段 $n$ の完全列の一部
$$ \pi_m(\mathrm{Fib}(f)_n)\xrightarrow{p_*}\pi_m(X_n)\xrightarrow{f_*}\pi_m(Y_n)\xrightarrow{(-1)^n\partial_n}\pi_{m-1}(\mathrm{Fib}(f)_n)\xrightarrow{p_*}\pi_{m-1}(X_n) $$
はアーベル群と準同型の列であり、$\partial_n$ を $(-1)^n\partial_n$ に替えても核と像は変わらないので完全である。$p$、$f$ はスペクトルの写像なので $p_*$、$f_*$ は $s_n$ と可換であり、lem-fcs-anticommute により
$$ s_n\circ(-1)^n\partial_n=(-1)^{n+1}\partial_{n+1}\circ s_n $$
である。よって $n$ を動かすと、これらの列は帰納系の写像でつながり、5 つの項の帰納極限はそれぞれ $\pi_k(\mathrm{Fib}(f))$、$\pi_k(X)$、$\pi_k(Y)$、$\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(f))$、$\pi_{k-1}(X)$ である（先頭の有限個の項を除いても帰納極限は変わらない）。$\partial$ はこの帰納系の写像の帰納極限として定まる。
残りは、帰納系の完全列 $G'_n\xrightarrow{\alpha_n}G_n\xrightarrow{\beta_n}G''_n$ の帰納極限 $G'\xrightarrow{\alpha}G\xrightarrow{\beta}G''$ が完全であることである。$\beta\alpha=0$ は各段で成り立つことから従う。$y\in G$ が $\beta(y)=0$ を満たすとし、$y$ を段 $n$ の元 $y_n$ で表す。$\beta_n(y_n)$ は帰納極限で $0$ なので、ある $n'\ge n$ で $y_n$ を移した $y_{n'}$ について $\beta_{n'}(y_{n'})=0$ となる。段 $n'$ の完全性から $y_{n'}=\alpha_{n'}(w)$ となる $w\in G'_{n'}$ があり、$y$ は $w$ の類の像である。
これを上の 5 項の列の中央の 3 つの位置に当てると、$\pi_k(X)$、$\pi_k(Y)$、$\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(f))$ での完全性が得られる。$k$ は任意なので、列のすべての位置で完全である。
自然性：可換な四角形 $f'\circ a=b\circ f$ は $(x,\gamma)\mapsto(a_n(x),b_n\circ\gamma)$ によりスペクトルの写像 $\mathrm{Fib}(f)\to\mathrm{Fib}(f')$ を定める。これは $p$、$j$ と可換で、ずれ $\lambda_n$ は写像と可換なので、$\partial_n$ とも可換である。$\square$

安定弱同値の判定

スペクトルの写像 $f$ が安定弱同値であることと、すべての整数 $k$ で $\pi_k(\mathrm{Fib}(f))=0$ であることは同値である。

要点：thm-fcs-fiber-les の完全性から読み取る。

詳しい証明を開く

$f_*$ がすべて同型なら、完全性から $\partial=0$、$p_*=0$ なので $\pi_k(\mathrm{Fib}(f))=\ker p_*=\operatorname{im}\partial=0$ である。逆に $\pi_*(\mathrm{Fib}(f))=0$ なら $\ker f_*=\operatorname{im}p_*=0$、$\operatorname{im}f_*=\ker\partial=\pi_k(Y)$ である。$\square$

CW スペクトルと商

CW スペクトルと部分スペクトル

この記事の CW スペクトル $B$ とは、安定ホモトピー圏の定義「CW スペクトルとホモトピー」の意味の CW スペクトル（各 $B_n$ は $0$ 胞体を基点とする CW 複体、各 $\sigma_n$ は $\Sigma B_n$ から $B_{n+1}$ の部分複体への同相写像）で、さらに各 $\sigma_n$ が $\Sigma B_n$ の胞体（$B_n$ の基点以外の各胞体の懸垂と基点。Hat02 Example 0.10、p. 12）を $B_{n+1}$ の胞体へ写すものをいう。CW スペクトル $B$ の部分スペクトル $A$ とは、基点を含む部分複体 $A_n\subset B_n$ の族で $\sigma_n(\Sigma A_n)\subset A_{n+1}$ を満たすもの（構造写像は $\sigma_n$ の制限）をいう。包含を $i\colon A\to B$ と書く。商 $(B/A)_n:=B_n/A_n$ に構造写像 $q_n(b)\wedge z\mapsto q_{n+1}(\sigma_n(b\wedge z))$ を入れたスペクトルを $B/A$、商写像 $q_n$ のなす写像を $q\colon B\to B/A$ と書く。

胞体を胞体へ写す条件は lem-fcs-finite で使い、$\Sigma B_n$ そのものが $B_{n+1}$ の部分複体である場合（安定ホモトピー圏の補題「スペクトルの CW 近似」の構成など）は満たされる。$B/A$ の構造写像は $\sigma_n(\Sigma A_n)\subset A_{n+1}$ により矛盾なく定まり、$q_n\times\mathrm{id}_{S^1}$ が商写像なので（錐(位相) の注意「Whiteheadの補題の扱い」）連続である。基点付き CW 複体の対 $(Z,W)$ について $\Sigma^\infty W\subset\Sigma^\infty Z$ は部分スペクトルで、$\Sigma^\infty Z/\Sigma^\infty W\cong\Sigma^\infty(Z/W)$ である（安定ホモトピー群の定理「安定ホモトピー群はホモロジー論」の証明）。
$B_n$ の基点以外の胞体で $\sigma_{n-1}(\Sigma B_{n-1})$ に含まれないもの（$n=0$ では基点以外のすべての胞体）を、段 $n$ で生まれた胞体という。段 $n_e$ で生まれた胞体 $e$ に、懸垂と $\sigma$ を $n-n_e$ 回施した像を $e[n]$ と書く。$e[n]$ は $B_n$ の $\dim e+n-n_e$ 次元の胞体であり、$\dim e-n_e$ を $e$ の安定次元という。生まれた胞体の集合 $\mathcal J$ について、基点と $e[n]$（$e\in\mathcal J$、$n_e\le n$）の和集合を $B^{\mathcal J}_n$ とおく。

有限部分スペクトル

$B$ を CW スペクトル、$A$ をその部分スペクトルとする。

$B_n$ の基点以外の胞体は、ちょうど 1 つの生まれた胞体 $e$（$n_e\le n$）について $e[n]$ に等しい。
生まれた胞体の有限集合は、$B^{\mathcal J}$ が部分スペクトル（各 $B^{\mathcal J}_n$ は部分複体）になる有限集合 $\mathcal J$ に含まれる。このような $\mathcal J$ を閉じた有限集合と呼ぶ。閉じた有限集合の和も閉じている。
$B_n$ のコンパクト部分集合は、ある閉じた有限集合 $\mathcal J$ について $B^{\mathcal J}_n$ に含まれる。
閉じた有限集合 $\mathcal J$ の安定次元の最小値を $d$ とすると、$B^{\mathcal J}_n$ の基点以外の胞体の次元はすべて $n+d$ 以上である。
$A^{\mathcal J}_n:=A_n\cap B^{\mathcal J}_n$ は $B^{\mathcal J}$ の部分スペクトルであり、$B^{\mathcal J}_n/A^{\mathcal J}_n\to B_n/A_n$ は閉部分空間への同相写像である。

要点：胞体を生まれた段までさかのぼり、閉包に必要な胞体を次元の低い順に集める。

詳しい証明を開く

1：$n$ についての帰納法による。$B_n$ の基点以外の胞体は、生まれた胞体であるか、$\Sigma B_{n-1}$ の胞体、すなわち $B_{n-1}$ の基点以外の胞体 $c$ の懸垂の $\sigma_{n-1}$ による像である。$\sigma_{n-1}$ は単射で胞体を胞体に写すので、帰納法の仮定から存在と一意性が従う。次元は懸垂ごとに 1 増える。

2：$\mathcal J$ の各 $e$ について閉包 $\overline e$ が $B^{\mathcal J}_{n_e}$ に含まれるとき、$\mathcal J$ は 2 の性質をもつ。実際、$e[n]$ の閉包は $\overline e$ の $n-n_e$ 回の懸垂の $\sigma$ による像で、その胞体は $e'[n]$（$e'\in\mathcal J$）と基点だから $B^{\mathcal J}_n$ は部分複体であり、$\sigma_n(\Sigma B^{\mathcal J}_n)$ は基点と $e[n+1]$ からなる。そこで生まれた胞体 $e$ ごとに、$\dim e$ についての帰納法でこの条件を満たす有限集合 $\mathcal J_e\ni e$ を作る。$e$ の境界はコンパクトで $(\dim e-1)$ 骨格に含まれるので、有限部分複体 $K\subset B_{n_e}$ に含まれ、$K$ の胞体の次元は $\dim e$ より小さい（Hat02 Proposition A.1 とその証明、p. 520）。$K$ の基点以外の胞体は 1 により $e'[n_e]$ と書け、$\dim e'\le\dim e'+n_e-n_{e'}<\dim e$ である。帰納法の仮定の $\mathcal J_{e'}$ の和に $e$ を加えたものを $\mathcal J_e$ とすればよい。和について閉じていることは条件の形から明らかである。

3：コンパクト部分集合は有限部分複体に含まれ（Hat02 Proposition A.1、p. 520）、その有限個の胞体は 1 により有限個の生まれた胞体から来るので、2 の $\mathcal J$ をとればよい。4：$e[n]$ の次元は $\dim e+n-n_e\ge n+d$ である。

5：部分複体の共通部分は部分複体で、$\sigma_n(\Sigma A^{\mathcal J}_n)\subset A_{n+1}\cap B^{\mathcal J}_{n+1}$ である。$B_n/A_n$ は $B_n\setminus A_n$ の胞体の像を胞体とする CW 複体で、写像 $B^{\mathcal J}_n/A^{\mathcal J}_n\to B_n/A_n$ は連続な単射であり、像 $L$ は部分複体なので閉集合である。$L$ の閉胞体はコンパクト集合（$B^{\mathcal J}_n$ の閉胞体の像）の像で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射はその像への同相写像である。CW 複体の位相は閉胞体との交わりで決まるので、逆写像も連続である。$\square$

主定理：ファイバーは余ファイバーのループ

$A\subset B$ を CW スペクトルとその部分スペクトルとする。包含 $i$ のホモトピーファイバーは $\mathrm{Fib}(i)_n=\{(x,\gamma)\mid x\in A_n,\ \gamma(0)=\ast,\ \gamma(1)=x\}$ である。
$$ \psi_n(x,\gamma):=q_n\circ\gamma $$
とおく。$q_n(\gamma(1))=q_n(x)$ は基点なので $q_n\circ\gamma$ はループであり、$q_{n+1}\circ\sigma_n=\sigma_n\circ\Sigma q_n$ から $\psi$ はスペクトルの写像 $\mathrm{Fib}(i)\to\Omega(B/A)$ である。

ファイバーは余ファイバーのループ

CW スペクトル $B$ とその部分スペクトル $A$ について、$\psi_*\colon\pi_k(\mathrm{Fib}(i))\to\pi_k(\Omega(B/A))$ はすべての整数 $k$ で同型である。したがって $\psi$ は安定弱同値であり、$\ell\circ\psi_*\colon\pi_k(\mathrm{Fib}(i))\to\pi_{k+1}(B/A)$ も同型である。

段ごとの比較． $\partial I^m$ を基点へ写す写像 $c\colon I^m\to\mathrm{Fib}(i)_n$ は、$c(u)=(\Gamma(u,1),\Gamma(u,\cdot))$ により、写像 $\Gamma\colon I^{m+1}\to B_n$ で、$\Gamma(u,0)$ と $u\in\partial I^m$ での値が基点、$\Gamma(u,1)\in A_n$ であるものと一対一に対応する（連続性はホモトピーファイバーの補題「連続性の判定」）。最後の座標を反転した $\Gamma\circ R$ は底面を $A_n$ に、残りの面を基点に写す。ホモトピーも同じ対応で移るので、$\rho[c]:=[\Gamma\circ R]$ は全単射 $\rho\colon\pi_m(\mathrm{Fib}(i)_n)\to\pi_{m+1}(B_n,A_n)$ を定める（相対ホモトピー群の定義「相対ホモトピー群」）。一方 $\lambda_n(\psi_n)_*[c]=[q_n\circ\Gamma]$ で、$m\ge1$ なら lem-fcs-swap により $[q_n\circ\Gamma]=[(q_n\circ\Gamma\circ R)\circ R]=-q_*\rho[c]$ である。ここで $q_*\colon\pi_{m+1}(B_n,A_n)\to\pi_{m+1}(B_n/A_n)$ は商写像が誘導する写像である。よって
$$ (\psi_n)_*=-\lambda_n^{-1}\circ q_*\circ\rho. $$
有限の場合． 閉じた有限集合 $\mathcal J$ をとり、$B^{\mathcal J}$ と $A^{\mathcal J}$ に上の構成を当てる。安定次元の最小値を $d$ とし、整数 $k$ を固定して $n\ge\max(0,2-k,1-d,k+3-2d)$ とする。lem-fcs-finite の 4 により $B^{\mathcal J}_n$ の基点以外の胞体の次元はすべて $n+d$ 以上なので、CW 対 $(B^{\mathcal J}_n,A^{\mathcal J}_n)$ は $(n+d-1)$ 連結であり（Hat02 Corollary 4.12、p. 351）、同じ理由で $A^{\mathcal J}_n$ も $(n+d-1)$ 連結である（安定ホモトピー群の補題「懸垂の連結性」の証明と同じ議論）。$r$ 連結な CW 対 $(Z,W)$ で $W$ が $s$ 連結（$r,s\ge0$）なら、商写像が誘導する $\pi_l(Z,W)\to\pi_l(Z/W)$ は $l\le r+s$ で同型である（Hat02 Proposition 4.28、p. 364。この記事では証明しない）。これを $r=s=n+d-1$ で当てると、$m=k+n$ について $m+1\le2n+2d-2$ なので $q_*$ は同型である。$\rho$、$\lambda_n$ も全単射なので $(\psi_n)_*$ は全単射であり、帰納極限の $\psi^{\mathcal J}_*\colon\pi_k(\mathrm{Fib}(i^{\mathcal J}))\to\pi_k(\Omega(B^{\mathcal J}/A^{\mathcal J}))$ は同型である。
一般の場合． 包含が誘導する写像 $\mathrm{Fib}(i^{\mathcal J})\to\mathrm{Fib}(i)$、$\Omega(B^{\mathcal J}/A^{\mathcal J})\to\Omega(B/A)$ は $\psi$ と可換である。$\pi_m(\mathrm{Fib}(i)_n)$ の元の代表 $c$ に対応する $\Gamma$ の像はコンパクトなので、lem-fcs-finite の 3 によりある $B^{\mathcal J}_n$ に入り、$\Gamma(u,1)\in A^{\mathcal J}_n$ だから $c$ は $\mathrm{Fib}(i^{\mathcal J})_n$ を経由する。2 つの代表の間のホモトピーも同様なので、$\pi_m(\mathrm{Fib}(i)_n)$ は $\mathcal J$ にわたる $\pi_m(\mathrm{Fib}(i^{\mathcal J})_n)$ の帰納極限である。$\pi_m(\Omega(B_n/A_n))$ についても、代表に対応する写像 $I^{m+1}\to B_n/A_n$ の像は有限部分複体に入り（Hat02 Proposition A.1）、その胞体は $B_n$ の有限個の胞体の像なので、lem-fcs-finite の 3 と 5 によりある $B^{\mathcal J}_n/A^{\mathcal J}_n$ を連続に経由する。$n$ と $\mathcal J$ についての 2 つの帰納極限は順序を入れ替えてよいので、$\psi_*$ は同型 $\psi^{\mathcal J}_*$ の帰納極限であり、同型である。$\ell$ は同型なので $\ell\circ\psi_*$ も同型である。$\square$

主定理：余ファイバー列の長完全列

余ファイバー列の長完全列

CW スペクトル $B$ とその部分スペクトル $A$ について、$\Theta:=\ell\circ\psi_*\colon\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(i))\to\pi_k(B/A)$ とし、$\delta:=p_*\circ\Theta^{-1}\colon\pi_k(B/A)\to\pi_{k-1}(A)$ とおく。列
$$ \cdots\to\pi_k(A)\xrightarrow{i_*}\pi_k(B)\xrightarrow{q_*}\pi_k(B/A)\xrightarrow{\delta}\pi_{k-1}(A)\xrightarrow{i_*}\pi_{k-1}(B)\to\cdots $$
はすべての整数 $k$ で完全である。この列は、部分スペクトルを部分スペクトルへ写す CW スペクトルの写像について自然である。

$\Theta$ は thm-fcs-fiber-loop により同型である。まず、thm-fcs-fiber-les の境界写像 $\partial\colon\pi_k(B)\to\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(i))$ について $\Theta\circ\partial=q_*$ を示す。$x\in\pi_k(B)$ を段 $n$ の $[b]\in\pi_{k+n}(B_n)$ で表すと、$\partial x$ は $(-1)^nj_*\lambda_n^{-1}[b]$ で表される。$\psi\circ j$ はループに $q_n$ を合成する写像 $\Omega q_n$ なので、$\Theta\partial x$ は
$$ (-1)^n\lambda_n(\psi_n)_*(-1)^nj_*\lambda_n^{-1}[b]=\lambda_n(\Omega q_n)_*\lambda_n^{-1}[b]=(q_n)_*[b] $$
で表される。最後の等号はずれが写像と可換であることによる。よって $\Theta\partial=q_*$ である。
thm-fcs-fiber-les を $i$ に当てた完全列
$$ \pi_k(A)\xrightarrow{i_*}\pi_k(B)\xrightarrow{\partial}\pi_{k-1}(\mathrm{Fib}(i))\xrightarrow{p_*}\pi_{k-1}(A)\xrightarrow{i_*}\pi_{k-1}(B) $$
の第 3 項を同型 $\Theta$ で $\pi_k(B/A)$ に取り替えると、$\partial$ は $\Theta\partial=q_*$ に、$p_*$ は $p_*\Theta^{-1}=\delta$ になる。したがって $\ker q_*=\ker\partial=\operatorname{im}i_*$、$\ker\delta=\Theta(\ker p_*)=\Theta(\operatorname{im}\partial)=\operatorname{im}q_*$、$\operatorname{im}\delta=\operatorname{im}p_*=\ker i_*$ である。$k$ は任意なので列は完全である。自然性は、$\mathrm{Fib}(i)$、$\psi$、$\ell$ がこのような写像と可換であることと thm-fcs-fiber-les の自然性による。$\square$

$\delta$ の段ごとの形

$x\in\pi_k(B/A)$ が段 $n$ で $q_*[h]$（$[h]\in\pi_{k+n}(B_n,A_n)$）で表されるなら、$\delta x$ は段 $n$ で $(-1)^{n+1}\partial^{\mathrm{rel}}[h]$ で表される。ここで $\partial^{\mathrm{rel}}$ は底面への制限、すなわち対の長完全列の境界写像である。

確かめを開く

thm-fcs-fiber-loop の証明の式 $(\psi_n)_*=-\lambda_n^{-1}q_*\rho$ から、$\Theta=\ell\psi_*$ は $(-1)^{n+1}\rho^{-1}[h]$ の類を $x$ に写す。$\rho$ の定義から $p_*\rho^{-1}[h]$ は $h$ の底面への制限の類である。

thm-fcs-cofiber-les から、包含 $i$ が安定弱同値であることと $\pi_*(B/A)=0$ は同値である。thm-fcs-fiber-loop により、ファイバー列 $\mathrm{Fib}(i)\to A\to B$ と余ファイバー列 $A\to B\to B/A$ はホモトピー群の上で同じ長完全列を与える。安定弱同値は安定ホモトピー圏で同型になる（同記事の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 3）ので、$\psi$ は $\mathrm{Fib}(i)$ と $\Omega(B/A)$ の同型を与える。一般の写像についても、安定ホモトピー圏ではファイバーと余ファイバーのループを結ぶ標準的な写像が同型になり、2 種類の列が同値になる（May99 Chapter 25 §6、p. 231。この記事では証明しない）。

例

Moore 空間の懸垂スペクトル

$M:=S^1\cup_2e^2$ を、円周に次数 $2$ の写像で $2$ 胞体を貼った CW 複体（Moore空間 $M(\mathbb Z/2,1)$）とし、$B:=\Sigma^\infty M$、$A:=\Sigma^\infty S^1$ とする。$B/A\cong\Sigma^\infty S^2$ である。$\pi_k(\Sigma^\infty S^r)$ は安定ホモトピー群 $\pi^{\mathrm S}_{k-r}$ と同型で、$\pi^{\mathrm S}_0\cong\mathbb Z$、負の次数では $0$ である（安定ホモトピー群）。thm-fcs-cofiber-les の一部
$$ \pi_2(B/A)\cong\mathbb Z\xrightarrow{\delta}\pi_1(A)\cong\mathbb Z\xrightarrow{i_*}\pi_1(\Sigma^\infty M)\xrightarrow{q_*}\pi_1(B/A)=0 $$
で $\delta$ は $\pm2$ 倍なので、$\pi_1(\Sigma^\infty M)\cong\mathbb Z/2$ である。

$\delta$ の計算を開く

$\Sigma^nM$ は $\Sigma^nS^1=S^{n+1}$ に $(n+2)$ 胞体を 1 つ貼った CW 複体である（Hat02 Example 0.10）。$M$ の $2$ 胞体の特性写像 $\Phi$ の $n$ 回の懸垂 $\Sigma^n\Phi$ は、被約錐と懸垂の交換による同相 $(\Sigma^nD^2,\Sigma^nS^1)\cong(D^{n+2},S^{n+1})$ を通じてこの胞体の特性写像になり、境界への制限は貼り付け写像の懸垂である。懸垂は次数を保ち（Hat02 Proposition 2.33、p. 137。被約懸垂は通常の懸垂から可縮な線分をつぶした商で、その商写像は懸垂と可換なホモトピー同値なので、被約懸垂でも同じ）、その次数は $2$ である。$\Sigma^n\Phi$ は円板による表示で $\pi_{n+2}(\Sigma^nM,S^{n+1})$ の元 $[h]$ を定め（Hat02 §4.1、pp. 343–344）、$q\circ\Sigma^n\Phi$ は $D^{n+2}/S^{n+1}\cong S^{n+2}$ を通じた同相写像なので、$q_*[h]$ は $\pi_{n+2}(S^{n+2})\cong\mathbb Z$ の生成元である。rem-fcs-delta により $\delta(q_*[h])$ は段 $n$ で $\pm[\text{次数 }2\text{ の写像}]=\pm2$ 倍の生成元で表される。$n$ が大きければ $\pi_{n+2}(S^{n+2})\to\pi_2(B/A)$、$\pi_{n+1}(S^{n+1})\to\pi_1(A)$ は同型である（安定ホモトピー群の定理「安定範囲」）。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
スペクトルにする（空間のまま考える）	CW 対 $(D^2,S^1)$ と商 $D^2/S^1\cong S^2$	余ファイバー列の完全性：$\pi_3(D^2)\to\pi_3(S^2)\to\pi_2(S^1)$ は $\pi_3(S^2)$ で完全でない（thm-fcs-cofiber-les）
スペクトルにする（空間のまま考える）	同じ対の包含 $S^1\to D^2$	ホモトピーファイバーから $\Omega S^2$ への写像 $\gamma\mapsto q\circ\gamma$ が $\pi_2$ の同型を誘導すること（thm-fcs-fiber-loop）
境界写像の符号 $(-1)^n$	一点からなるスペクトルから球面スペクトルへの写像 $\ast\to\mathbb S$	符号なしの $\partial_n$ が帰納極限の写像を定めること（thm-fcs-fiber-les）

反例：表の各行の確かめ

確かめを開く

1 行目：$\pi_3(D^2)=0$、$\pi_2(S^1)=0$（普遍被覆 $\mathbb R$ は可縮）、$\pi_3(S^2)\cong\mathbb Z$（ホモトピー群の例「低次元球面の非自明な高次ホモトピー: $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$（Hopf写像）」）である。$\pi_3(S^2)$ から $0$ への写像の核は $\mathbb Z$ 全体だが、$0$ からの写像の像は $0$ なので、どのような写像を置いても完全でない。

2 行目：包含 $S^1\to D^2$ のホモトピーファイバー $F$ について、空間の長完全列（ホモトピーファイバーの系「ホモトピー群の長完全列」）の $\pi_3(D^2)=0\to\pi_2(F)\to\pi_2(S^1)=0$ から $\pi_2(F)=0$ である。一方 $\pi_2(\Omega S^2)\cong\pi_3(S^2)\cong\mathbb Z$ である。

3 行目：一点のスペクトルを $\ast$、$\mathbb S=\Sigma^\infty S^0$ とする。$\mathrm{Fib}(\ast\to\mathbb S)_n=\Omega S^n$ で $j$ は同相写像なので、$\mathrm{Fib}(\ast\to\mathbb S)$ を $\Omega\mathbb S$ と同一視する。$\iota_n\in\pi_n(S^n)$ を商写像 $I^n\to I^n/\partial I^n\cong S^n$ の類とすると $s_n\iota_n=\iota_{n+1}$ で、これらは $\pi_0(\mathbb S)\cong\mathbb Z$ の生成元 $x$ を表す。$n\ge3$ について $y_n:=\partial_n\iota_n=\lambda_n^{-1}\iota_n\in\pi_{n-1}(\Omega S^n)$ とおくと、lem-fcs-anticommute により $s_ny_n=-y_{n+1}$ なので、$\pi_{-1}(\Omega\mathbb S)$ で $[y_n]=-[y_{n+1}]$ である。$\ell[y_n]=(-1)^n x$ は $0$ でなく、$\pi_0(\mathbb S)\cong\mathbb Z$ に位数 $2$ の元はないので $[y_n]\ne[y_{n+1}]$ であり、「$x$ を段 $n$ の代表に $\partial_n$ を施した類に写す」規則は $n$ の選び方によって値が変わる。