準連接層

1. 写像 $s\mapsto s(\mathfrak{p})$ は芽の定義から矛盾なく定まり $A_{\mathfrak{p}}$ 線形である。全射性：$m/g\in M_{\mathfrak{p}}$ に対し、$D(g)$ 上の関数 $\mathfrak{q}\mapsto m/g$ は $\widetilde{M}(D(g))$ の元で、$\mathfrak{p}$ での値は $m/g$ である。単射性：$\mathfrak{p}$ の近傍 $U$ 上の切断 $s=m/g$ が $s(\mathfrak{p})=0$ をみたすとする。$m/g=0\in M_{\mathfrak{p}}$ だから $hm=0$ となる $h\in A\setminus\mathfrak{p}$ があり、$U\cap D(h)$ の各点 $\mathfrak{q}$ で $h$ は $M_{\mathfrak{q}}$ 上可逆だから $m/g=hm/(hg)=0$ である。よって $s$ の芽は $0$ である。
2. 写像 $\psi\colon M_f\to\Gamma(D(f),\widetilde{M})$ が矛盾なく定まり $A_f$ 線形であることは明らかである。
   単射性：$\psi(m/f^n)=0$ とすると、すべての $\mathfrak{p}\in D(f)$ で $m/1=0\in M_{\mathfrak{p}}$、すなわち $hm=0$ となる $h\notin\mathfrak{p}$ がある。よって零化イデアル $\mathfrak{a}=\operatorname{Ann}_A(m)$ は $V(\mathfrak{a})\subset V(f)$ をみたし、$\mathfrak{a}$ を含む素イデアルの共通部分が $\sqrt{\mathfrak{a}}$ であることから $f\in\sqrt{\mathfrak{a}}$、すなわちある $N$ で $f^Nm=0$ である。よって $m/f^n=0\in M_f$ である。
   全射性：$s\in\Gamma(D(f),\widetilde{M})$ をとる。定義により $D(f)$ は開集合 $V_i$ で被覆され、各 $V_i$ 上で $s=m_i/g_i$（$V_i\subset D(g_i)$）と書ける。$V_i$ を縮めて基本開集合 $D(h_i)$ としてよい。$D(h_i)\subset D(g_i)$ なので (i) により $h_i^{a}=c_ig_i$ となる $a\ge1$、$c_i\in A$ があり、$D(h_i)$ 上で $m_i/g_i=c_im_i/h_i^{a}$ である。$h_i$、$m_i$ を $h_i^{a}$、$c_im_i$ で置き換えて（$D(h_i^a)=D(h_i)$）、各 $D(h_i)$ 上で $s=m_i/h_i$ としてよい。(ii) により有限個の $D(h_1),\dots,D(h_r)$ で $D(f)$ が被覆される。$D(h_ih_j)=D(h_i)\cap D(h_j)$ の各点で $m_i/h_i=m_j/h_j$ なので、$\psi$ の単射性（$f$ を $h_ih_j$ に取り替える）により $m_i/h_i=m_j/h_j$ が $M_{h_ih_j}$ で成り立ち、有限個の対に共通の $n$ で $(h_ih_j)^n(h_jm_i-h_im_j)=0$ である。$h_i$、$m_i$ を $h_i^{n+1}$、$h_i^nm_i$ で置き換えると、依然として $D(h_i)$ 上 $s=m_i/h_i$ であり、しかも $h_jm_i=h_im_j$ がすべての $i,j$ で成り立つ。$D(f)=\bigcup_iD(h_i)$ と (i) により $f^N=\sum_ia_ih_i$（$a_i\in A$）と書ける。$m:=\sum_ia_im_i\in M$ とおくと各 $j$ で
   $$ h_jm=\sum_ia_ih_jm_i=\sum_ia_ih_im_j=f^Nm_j $$
   であるから、$M_{h_j}$ で $m/f^N=m_j/h_j$（$D(h_j)\subset D(f)$ より $f$ は $A_{h_j}$ で可逆）、したがって $D(h_j)$ 上で $\psi(m/f^N)=s$ である。$D(h_j)$ は $D(f)$ を被覆するので $\psi(m/f^N)=s$ である。$\square$

1. 完全性：$0\to M'\to M\to M''\to0$ が完全なら各 $\mathfrak{p}$ での局所化 $0\to M'_{\mathfrak{p}}\to M_{\mathfrak{p}}\to M''_{\mathfrak{p}}\to0$ が完全であり（AM69 3.3）、prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 1 によりこれは $\widetilde{\ }$ を施した列の茎での完全性である。層の列の完全性は茎で判定されるので $\widetilde{\ }$ は完全である。
   充満忠実性：$\Gamma(X,\widetilde{\varphi})=\varphi$ は同命題の 2 から明らかである。逆に $u\colon\widetilde{M}\to\widetilde{N}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群層の射、$\varphi:=\Gamma(X,u)$ とおき、$u=\widetilde{\varphi}$ を茎で確かめる。茎の写像 $u_{\mathfrak{p}}\colon M_{\mathfrak{p}}\to N_{\mathfrak{p}}$ は $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$ 線形であり、大域切断 $m\in M$ の芽について $u_{\mathfrak{p}}(m/1)=(u(m))_{\mathfrak{p}}=\varphi(m)/1=\varphi_{\mathfrak{p}}(m/1)$ である。$M_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ 加群として $m/1$ の形の元で生成されるから $u_{\mathfrak{p}}=\varphi_{\mathfrak{p}}$ である。
2. 標準的な射 $\bigoplus_i\widetilde{M_i}\to\widetilde{\bigoplus_iM_i}$ は $\mathfrak{p}$ での茎で $\bigoplus_i(M_i)_{\mathfrak{p}}\to(\bigoplus_iM_i)_{\mathfrak{p}}$ となり、局所化が直和と交換するので同型である。テンソル積についても、$M\to\Gamma(X,\widetilde{M})$、$N\to\Gamma(X,\widetilde{N})$ から定まる射 $\widetilde{M}\otimes_{\mathcal{O}_X}\widetilde{N}\to\widetilde{M\otimes_AN}$ は、茎で $M_{\mathfrak{p}}\otimes_{A_{\mathfrak{p}}}N_{\mathfrak{p}}\to(M\otimes_AN)_{\mathfrak{p}}$（層のテンソル積の茎は茎のテンソル積）となり、局所化とテンソル積の交換（AM69 3.5）により同型である。
3. (iii) により $D(f)$ の基本開集合は $D(fg)$（$g\in A$）の形で $D(f)$ の開基をなす。prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2 を $A$ と $A_f$ に適用すると $\Gamma(D(fg),\widetilde{M})=M_{fg}=(M_f)_{g/1}=\Gamma(D(fg),\widetilde{M_f})$ であり、この同一視は制限と両立するので、開基上の同型として層の同型に延びる。$\square$

(iii) により $D(fg_i)=D(f)\cap D(g_i)$ は $D(g_i)=\operatorname{Spec}A_{g_i}$ の基本開集合だから、prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2 により $\Gamma(D(g_i),\mathcal{F})=N_i$、$\Gamma(D(fg_i),\mathcal{F})=(N_i)_f$ であり、制限写像は局所化の標準写像である。

1. $s_i:=s|_{D(g_i)}\in N_i$ は $(N_i)_f$ で $0$ になるので、共通の $n$ で $f^ns_i=0$ である。$f^ns$ は各 $D(g_i)$ への制限が $0$ だから、層の分離性により $f^ns=0$ である。
2. $t_i:=t|_{D(fg_i)}\in(N_i)_f$ を共通の $n$ で $t_i=u_i/f^{n}$（$u_i\in N_i=\Gamma(D(g_i),\mathcal{F})$）と書く。$D(g_ig_j)$ 上の切断 $u_i-u_j$ の $D(fg_ig_j)$ への制限は $f^nt-f^nt=0$ である。$D(g_ig_j)=\operatorname{Spec}A_{g_ig_j}$ 上で $\mathcal{F}\cong\widetilde{(N_i)_{g_j}}$（prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 3）だから、1 を $D(g_ig_j)$ に適用して、有限個の対に共通の $m$ で $f^m(u_i-u_j)=0$ である。すると $f^mu_i\in\Gamma(D(g_i),\mathcal{F})$ は重なりで一致し、貼り合って $s\in\Gamma(X,\mathcal{F})$ を定め、$D(fg_i)$ 上で $s=f^mu_i=f^{n+m}t$ である。$D(fg_i)$ は $D(f)$ を被覆するから $s|_{D(f)}=f^{n+m}t$ である。$\square$

まず、任意の $\mathcal{O}_X$ 加群層 $\mathcal{F}$ とアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ に対し、$M:=\Gamma(U,\mathcal{F})$ として標準的な射 $\alpha_{\mathcal{F}}\colon\widetilde{M}\to\mathcal{F}|_U$ を定める。$\Gamma(D(f),\mathcal{F})$ は $\Gamma(D(f),\mathcal{O}_X)=A_f$ 加群だから $f$ はその上で可逆であり、$M_f=\Gamma(D(f),\widetilde{M})\to\Gamma(D(f),\mathcal{F})$、$m/f^n\mapsto f^{-n}\,(m|_{D(f)})$ は矛盾なく定まる $A_f$ 線形写像で、基本開集合の間の制限と両立する。よって開基上の射として $\alpha_{\mathcal{F}}$ に延び、$\alpha_{\mathcal{F}}$ は $\mathcal{F}$ について自然である。
3 $\Rightarrow$ 2 は明らかである。
2 $\Rightarrow$ 1：$\mathcal{F}|_{U_i}\cong\widetilde{M_i}$ とし、$M_i$ の自由加群による表示 $A_i^{(I)}\to A_i^{(J)}\to M_i\to0$ をとる。prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 1 と 2 により $\mathcal{O}_{U_i}^{(I)}\to\mathcal{O}_{U_i}^{(J)}\to\widetilde{M_i}\to0$ は完全である。
1 $\Rightarrow$ 2：点 $x$ の開近傍 $U$ 上に完全列 $\mathcal{O}_U^{(I)}\xrightarrow{\psi}\mathcal{O}_U^{(J)}\to\mathcal{F}|_U\to0$ があるとし、$x\in V=\operatorname{Spec}B\subset U$ をアフィン開集合とする。$\mathcal{O}_V^{(I)}\cong\widetilde{B^{(I)}}$（同命題の 2）だから、同命題の 1 の充満性により $\psi|_V=\widetilde{\varphi}$ となる $\varphi\colon B^{(I)}\to B^{(J)}$ があり、完全性により $\mathcal{F}|_V\cong\operatorname{coker}(\psi|_V)\cong\widetilde{\operatorname{coker}\varphi}$ である。このような $V$ は $X$ を被覆する。
2 $\Rightarrow$ 3：$U=\operatorname{Spec}A$ を任意のアフィン開集合とし、$\alpha_{\mathcal{F}}$ が同型であることを示す。$U$ の各点 $y$ はある $U_i=\operatorname{Spec}A_i$ に属し、$y$ の近傍として $U_i$ の基本開集合 $D_{U_i}(a)\subset U\cap U_i$ がとれる。これはアフィンスキーム $\operatorname{Spec}(A_i)_a$ で、prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 3 により $\mathcal{F}|_{D_{U_i}(a)}\cong\widetilde{(M_i)_a}$ である。さらに $y$ の近傍として $U$ の基本開集合 $D(g)\subset D_{U_i}(a)$（$g\in A$）がとれ、これは $g$ の制限による $\operatorname{Spec}(A_i)_a$ の基本開集合でもあるので、再び同 3 により $\mathcal{F}|_{D(g)}$ は $A_g$ 加群に付随する層である。$U$ は準コンパクトだから、このような $D(g_1),\dots,D(g_r)$ で $U$ が被覆され、$\mathcal{F}|_U$ は lem-quasi-coherent-sheaf-localization の仮定をみたす。
$f\in A$ に対し、$\alpha_{\mathcal{F}}$ の $D(f)$ 上の作用 $M_f\to\Gamma(D(f),\mathcal{F})$ を考える。単射性：$m/f^n\mapsto0$ なら $m|_{D(f)}=0$ だから、同補題の 1 により $f^Nm=0$、よって $m/f^n=0$ である。全射性：$t\in\Gamma(D(f),\mathcal{F})$ に対し、同補題の 2 により $s|_{D(f)}=f^nt$ となる $s\in M$ があり、$t$ は $s/f^n$ の像である。よって $\alpha_{\mathcal{F}}$ は開基上で同型であり、層の同型である。$\square$

1. thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の 3 により $\operatorname{QCoh}(X)$ の各対象は $\widetilde{M}$ の形であり、prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 1 により $\widetilde{\ }$ は充満忠実である。充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であり、準逆は $\Gamma(X,-)$ である（prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2）。$\widetilde{\ }$ の完全性は prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 1、$\Gamma(X,-)$ の完全性はその準逆であることから従う。
2. $u=\widetilde{\varphi}$、$\varphi=\Gamma(X,u)$ と書ける。$u$ が全射であることは各茎 $\varphi_{\mathfrak{p}}$ が全射であること、すなわち $(\operatorname{coker}\varphi)_{\mathfrak{p}}=0$ がすべての $\mathfrak{p}$ で成り立つことと同値である。すべての素イデアルでの局所化が $0$ になる $A$ 加群 $C$ は $0$ である（$c\neq0$ なら、$\operatorname{Ann}_A(c)$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $c/1\neq0\in C_{\mathfrak{m}}$）。よって $u$ が全射であることと $\operatorname{coker}\varphi=0$ は同値である。単射性は $\ker\varphi$ について同様である。$\square$

$V=\mathbb{P}^1_k\setminus\{0\}=\operatorname{Spec}k[y]$（$y=1/x$）はアフィン開集合で $\infty\in V$、$V\cap U=\operatorname{Spec}k[y,y^{-1}]$ である。$\Gamma(V,j_!\mathcal{O}_U)=0$ を示す。$s\in\Gamma(V,j_!\mathcal{O}_U)$ をとる。$s$ の $\infty$ での芽は $0$ だから、$\infty$ の開近傍 $W\subset V$ で $s|_W=0$ である。一方 $j_!\mathcal{O}_U|_U=\mathcal{O}_U$ だから $t:=s|_{V\cap U}\in k[y,y^{-1}]$ であり、$t|_{W\cap U}=0$ である。$W\cap U$ は整スキーム $U$ の空でない開集合だから制限 $\mathcal{O}_U(V\cap U)\to\mathcal{O}_U(W\cap U)$ は単射（整域の局所化）であり、$t=0$ である。したがって $s$ の芽は $V$ の各点で $0$ なので $s=0$ である。
もし $j_!\mathcal{O}_U$ が準連接なら、thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の 3 により $j_!\mathcal{O}_U|_V\cong\widetilde{0}=0$ となるが、$V\cap U$ の点での茎 $\mathcal{O}_{X,x}\neq0$ に矛盾する。$\square$

$M:=\Gamma(X,\mathcal{F})=k[x]_{(x)}$ である。もし $\mathcal{F}$ が準連接なら、thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の 3 と prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2 により $\Gamma(D(x),\mathcal{F})\cong M_x=k[x]_{(x)}[x^{-1}]=k(x)\neq0$ である。しかし $p\notin D(x)$ だから $\Gamma(D(x),\mathcal{F})=0$ である。矛盾。$\square$

$a\in\mathbb{Z}$ に対し $f^{-1}(D(a))=\coprod_nD_{X_n}(a)$ だから $\Gamma(D(a),f_*\mathcal{O}_X)=\prod_n\mathbb{Z}[1/a]$ であり、とくに $M:=\Gamma(Y,f_*\mathcal{O}_X)=\prod_n\mathbb{Z}$ である。もし $f_*\mathcal{O}_X$ が準連接なら、thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の 3 と prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2 により制限写像 $M_2\to\Gamma(D(2),f_*\mathcal{O}_X)=\prod_n\mathbb{Z}[1/2]$、$m/2^k\mapsto(m_n/2^k)_n$ は全射である。しかし元 $(1/2^n)_n\in\prod_n\mathbb{Z}[1/2]$ が $(m_n/2^k)_n$ の形に書けるなら $m_n=2^{k-n}$ がすべての $n$ で整数でなければならず、$n>k$ で矛盾する。$\square$

$\Gamma(X,-)$ は左完全関手だから、$\Gamma(X,\mathcal{F})\to\Gamma(X,\mathcal{F}'')$ の全射性を示せばよい。$s''\in\Gamma(X,\mathcal{F}'')$ をとる。$\mathcal{F}\to\mathcal{F}''$ は層の全射だから $s''$ は各点の近傍で $\mathcal{F}$ の切断に持ち上がり、近傍を基本開集合に縮めて $X$ の準コンパクト性を使うと、$X$ を被覆する有限個の $D(g_1),\dots,D(g_r)$ と $t_i\in\Gamma(D(g_i),\mathcal{F})$ で $t_i\mapsto s''|_{D(g_i)}$ となるものがとれる。
$M':=\Gamma(X,\mathcal{F}')$ とおく。$\mathcal{F}'$ は準連接だから、thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の 3 と prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-sections の 2 により、任意の $h\in A$ で $\Gamma(D(h),\mathcal{F}')=M'_h$ であり、制限写像は局所化の標準写像である。$D(g_ig_j)$ 上で $t_i-t_j$ は $\mathcal{F}''$ で $0$ になるので、左完全性により $c_{ij}:=t_i-t_j\in M'_{g_ig_j}$ であり、$c_{ij}+c_{jk}=c_{ik}$ が $M'_{g_ig_jg_k}$ で成り立つ。
対 $(i,j)$ は有限個なので、共通の $N$ と $a_{ij}\in M'$ で $c_{ij}=a_{ij}/(g_ig_j)^N$ と書ける。$e_{ij}:=a_{ij}/g_i^N\in M'_{g_i}$ とおくと、$e_{ij}$ の $M'_{g_ig_j}$ での像は $g_j^Nc_{ij}$ である。3 つ組 $(i,j,k)$ に対し、$M'_{g_ig_j}$ の元 $d_{ijk}:=e_{ik}-e_{jk}-g_k^Nc_{ij}$（$e_{ik}\in M'_{g_i}$、$e_{jk}\in M'_{g_j}$ は $M'_{g_ig_j}$ に送る）の $M'_{g_ig_jg_k}$ での像は $g_k^N(c_{ik}-c_{jk}-c_{ij})=0$ である。$M'_{g_ig_jg_k}=(M'_{g_ig_j})_{g_k}$ で $0$ になる元は $g_k$ のある冪で消えるので、有限個の 3 つ組に共通の $N'$ で $g_k^{N'}d_{ijk}=0$ である。$e'_{ik}:=g_k^{N'}e_{ik}\in M'_{g_i}$ とおくと、$M'_{g_ig_j}$ で $e'_{ik}-e'_{jk}=g_k^{N+N'}c_{ij}$ が成り立つ。
$D(g_k)$ は $X$ を被覆するから、(i) により $1=\sum_kb_kg_k^{N+N'}$ となる $b_k\in A$ がある。$c_i:=\sum_kb_ke'_{ik}\in M'_{g_i}=\Gamma(D(g_i),\mathcal{F}')$ とおくと、$D(g_ig_j)$ 上で
$$ c_i-c_j=\sum_kb_k(e'_{ik}-e'_{jk})=\sum_kb_kg_k^{N+N'}c_{ij}=c_{ij}=t_i-t_j $$
である。したがって $t_i-c_i\in\Gamma(D(g_i),\mathcal{F})$ は重なりで一致し、貼り合って $t\in\Gamma(X,\mathcal{F})$ を定める。$c_i$ は $\mathcal{F}''$ で $0$ になるので $t\mapsto s''$ である。$\square$

いずれの主張も局所的（核・余核・直和・帰納極限・テンソル積は開集合への制限と交換する）なので、$X=\operatorname{Spec}A$ としてよい。

1. 準連接層の射 $u$ は cor-quasi-coherent-sheaf-affine-equivalence により $u=\widetilde{\varphi}$（$\varphi=\Gamma(X,u)$）と書け、$\widetilde{\ }$ の完全性により $\ker u=\widetilde{\ker\varphi}$、$\operatorname{coker}u=\widetilde{\operatorname{coker}\varphi}$、$\operatorname{im}u=\widetilde{\operatorname{im}\varphi}$ である。核と余核が $\operatorname{QCoh}(X)$ の中でとれ $\mathcal{O}_X$ 加群層の圏でのものと一致するので、$\operatorname{QCoh}(X)$ は完全な充満部分圏でありアーベル圏である。
2. $M'$、$M$、$M''$ を各項の大域切断とすると、prop-quasi-coherent-sheaf-affine-exact と $\widetilde{\ }$ の完全性により $0\to\widetilde{M'}\to\widetilde{M}\to\widetilde{M''}\to0$ は完全である。thm-quasi-coherent-sheaf-characterization の証明で定めた自然な射 $\alpha$ はこの列から元の列への可換な射 $(\alpha_{\mathcal{F}'},\alpha_{\mathcal{F}},\alpha_{\mathcal{F}''})$ を与え、$\alpha_{\mathcal{F}'}$ と $\alpha_{\mathcal{F}''}$ は同定理の 3 により同型だから、各茎で五項補題により $\alpha_{\mathcal{F}}$ も同型、すなわち $\mathcal{F}\cong\widetilde{M}$ である。一般のスキームでは任意のアフィン開集合でこの議論を行い、同定理の 3 を使う。
3. 直和は prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 2 による。帰納極限については、標準的な射 $\varinjlim_\lambda\widetilde{M_\lambda}\to\widetilde{\varinjlim_\lambda M_\lambda}$ の $\mathfrak{p}$ での茎が $\varinjlim_\lambda(M_\lambda)_{\mathfrak{p}}\to(\varinjlim_\lambda M_\lambda)_{\mathfrak{p}}$ で、局所化 $A_{\mathfrak{p}}\otimes_A-$ が帰納極限と交換するので同型である。
4. prop-quasi-coherent-sheaf-tilde-functor の 2 による。$\square$

主張は $Y$ 上局所的であり、開集合 $V\subset Y$ への制限 $f|_{f^{-1}V}$ も準コンパクト準分離だから、$Y=\operatorname{Spec}A$ としてよい。すると $X$ は有限個のアフィン開集合 $U_1,\dots,U_n$ で被覆され、各 $U_i\cap U_j$ は準コンパクトなので有限個のアフィン開集合 $U_{ijk}$（$k=1,\dots,n_{ij}$）で被覆される。$f_i:=f|_{U_i}$、$f_{ijk}:=f|_{U_{ijk}}$ とおく。
$Y$ の任意の開集合 $W$ に対し、$f^{-1}(W)$ の開被覆 $\{f^{-1}W\cap U_i\}_i$ についての $\mathcal{F}$ の貼り合わせ条件は
$$ 0\longrightarrow\mathcal{F}(f^{-1}W)\longrightarrow\prod_i\mathcal{F}(f^{-1}W\cap U_i)\longrightarrow\prod_{i,j}\mathcal{F}(f^{-1}W\cap U_i\cap U_j) $$
の完全性である（右の写像は $(s_i)\mapsto(s_i|-s_j|)$）。$f^{-1}W\cap U_i\cap U_j$ 上の切断が $0$ であることは開被覆 $\{f^{-1}W\cap U_{ijk}\}_k$ の各元への制限が $0$ であることと同値だから、右端を $\prod_{i,j,k}\mathcal{F}(f^{-1}W\cap U_{ijk})$ に置き換えても完全である。$W$ を動かすと、これは $\mathcal{O}_Y$ 加群層の完全列
$$ 0\longrightarrow f_*\mathcal{F}\longrightarrow\bigoplus_i(f_i)_*(\mathcal{F}|_{U_i})\longrightarrow\bigoplus_{i,j,k}(f_{ijk})_*(\mathcal{F}|_{U_{ijk}}) $$
である（有限個の直和は直積に等しい）。$f_i$、$f_{ijk}$ はアフィンスキームの射で $\mathcal{F}|_{U_i}$、$\mathcal{F}|_{U_{ijk}}$ は準連接だから、lem-quasi-coherent-sheaf-affine-pushforward により中央と右の項は準連接であり、$f_*\mathcal{F}$ は準連接層の射の核として準連接である（thm-quasi-coherent-sheaf-closure の 1）。
Noether スキームの開集合はすべて準コンパクトだから、$X$ が Noether なら任意の $f$ が準コンパクト準分離である。閉埋め込み・アフィン射はアフィン開集合の逆像がアフィンなので準コンパクト準分離であり、分離射では $U\cap U'$ がアフィンになる（Har77 II 演習 4.3）。$\square$

$\mathcal{O}_X$ 加群層の圏は入射的対象を十分にもつ（Har77 III.2.2）ので、$\mathcal{F}$ を入射的 $\mathcal{O}_X$ 加群層 $\mathcal{I}$ に埋め込み、短完全列 $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{I}\to\mathcal{I}/\mathcal{F}\to0$ をとる。$\mathcal{O}_X$ 加群層としてのコホモロジーはアーベル群の層としてのコホモロジーと一致し（Har77 III.2.6）、入射的 $\mathcal{O}_X$ 加群層は脆弱（脆弱層）なので $H^1(X,\mathcal{I})=0$ である（Har77 III.2.4、2.5）。コホモロジーの長完全列
$$ \Gamma(X,\mathcal{I})\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal{I}/\mathcal{F})\longrightarrow H^1(X,\mathcal{F})\longrightarrow H^1(X,\mathcal{I})=0 $$
において、$\mathcal{F}$ が準連接だから prop-quasi-coherent-sheaf-affine-exact により左の写像は全射であり、したがって $H^1(X,\mathcal{F})=0$ である。$\square$