Morleyの範疇性定理

$a\in A$ なら $f':=f$ でよい。そうでないとき、$p:=\operatorname{tp}(a/A)$ とし、$L_A$ の論理式 $\varphi(x,\bar c)$（$\bar c\in A$ はパラメータ）の $\bar c$ を $f(\bar c)$ に替えた論理式の集合を $f(p):=\{\varphi(x,f(\bar c))\mid\varphi(x,\bar c)\in p\}$ とおく。$f$ は単射なので、$L_{f(A)}$ の論理式はどれも $\varphi(x,f(\bar c))$ の形にただ 1 通りに書ける。$p$ の有限個の元の連言 $\varphi(x,\bar c)$ について $\mathcal M\models\exists x\,\varphi[\bar c]$ であり、$f$ が部分初等的なので $\mathcal N\models\exists x\,\varphi[f(\bar c)]$ である。よって $f(p)$ は $\mathcal N$ で有限充足可能で、$p$ が各論理式かその否定を含むので $f(p)$ もそうであり、$f(p)\in S^{\mathcal N}(f(A))$ である。仮定によりそれを実現する $b\in N$ がある。$f':=f\cup\{(a,b)\}$ とおくと、$\mathcal M\models\varphi[a,\bar c]\iff\varphi(x,\bar c)\in p\iff\varphi(x,f(\bar c))\in f(p)\iff\mathcal N\models\varphi[b,f(\bar c)]$ なので、$f'$ は部分初等写像である。$\square$

$\kappa:=\lvert M\rvert=\lvert N\rvert$ とし、$M=\{a_\alpha\mid\alpha<\kappa\}$、$N=\{b_\alpha\mid\alpha<\kappa\}$ と番号を付ける。$\alpha\le\kappa$ について部分初等写像 $f_\alpha$ を、包含について増大し、$\alpha<\kappa$ では定義域の濃度が $\kappa$ 未満になるように作る。$f_0:=\emptyset$ は、$T$ が完全で $\mathcal M,\mathcal N$ が同じ文を満たすので部分初等写像である。極限の $\alpha$ では $f_\alpha:=\bigcup_{\beta<\alpha}f_\beta$ とおく。有限個の元は 1 つの $f_\beta$ の定義域に入るので、これも部分初等写像である。
$f_\alpha$（$\alpha<\kappa$）から $f_{\alpha+1}$ を作る。定義域を $A$ とすると $\lvert A\rvert<\kappa$ で、$\mathcal N$ は飽和なので $f_\alpha(A)$ の上の型をすべて実現する。lem-morley-transfer により $a_\alpha$ を定義域に加えた部分初等写像 $g$ が得られる。$g^{-1}$ は $\mathcal N$ から $\mathcal M$ への部分初等写像で、定義域の濃度は $\kappa$ 未満、$\mathcal M$ も飽和なので、同じ補題により $b_\alpha$ を定義域に加えて延長でき、その逆写像を $f_{\alpha+1}$ とする。定義域の濃度は、$\alpha$ が有限なら有限、無限なら $\lvert\alpha\rvert+\lvert\alpha\rvert=\lvert\alpha\rvert$ 以下であり、どちらも $\kappa$ 未満である（$\kappa$ は無限基数で、$\alpha<\kappa$ なら $\lvert\alpha\rvert<\kappa$）。
$f:=f_\kappa$ は、すべての $a_\alpha$ を定義域に、すべての $b_\alpha$ を値域に含む部分初等写像、すなわち全単射な部分初等写像なので、同型写像である。$\square$

$A$ の元をパラメータとする論理式 $\varphi(x,y)$ と $n\ge1$ で、$\mathcal M\models\varphi[b,a]$ かつ $\varphi(x,a)$ を満たす $x$ がちょうど $n$ 個のものをとる。$\varphi'(x,y):=\varphi(x,y)\land\exists^{\le n}x'\,\varphi(x',y)$ とおくと、$\mathcal M\models\varphi'[b,a]$ である。$a\notin\operatorname{acl}(A\cup\{b\})$ と仮定して矛盾を導く。
$\varphi'(b,y)$ を満たす $y$ の集合は $a$ を含み、$A\cup\{b\}$ の元をパラメータとして定義されるので、無限集合であり、強極小性から補集合は有限である。その補集合の元の個数を $k$ とし、$\chi(x):=\exists^{\le k}y\,\lnot\varphi'(x,y)$ とおく。$\chi$ は $A$ の元をパラメータとする論理式で $\mathcal M\models\chi[b]$ であり、$b\notin\operatorname{acl}(A)$ なので $\chi$ を満たす元は無限個ある。その中から相異なる $b_0,\dots,b_n$ をとる。各 $i$ について $\varphi'(b_i,y)$ を満たさない $y$ は $k$ 個以下なので、$M$ が無限であることから、すべての $i$ について $\mathcal M\models\varphi'[b_i,a']$ となる $a'\in M$ がある。すると $\varphi(x,a')$ を満たす $x$ が $b_0,\dots,b_n$ の $n+1$ 個以上あることになり、$\varphi'(b_0,a')$ の $\exists^{\le n}$ の部分に反する。$\square$

1：独立集合の鎖の和は独立である。$b\in\operatorname{acl}(B\setminus\{b\})$ なら、ある有限集合 $B_0\subset B\setminus\{b\}$ で $b\in\operatorname{acl}(B_0)$ となり、$B_0\cup\{b\}$ は鎖のある 1 つの元に含まれるからである。空集合は独立なので、Zorn の補題により極大な独立集合がある。
2：$a\notin\operatorname{acl}(B)$ とすると、$B\cup\{a\}$ は独立になり、極大性に反する。実際 $a\notin\operatorname{acl}(B)$ であり、$b\in B$ について $b\in\operatorname{acl}((B\setminus\{b\})\cup\{a\})$ とすると、$b\notin\operatorname{acl}(B\setminus\{b\})$ なので lem-morley-exchange により $a\in\operatorname{acl}(B)$ となり矛盾する。
3：2 と上の濃度の評価から $\lvert M\rvert=\lvert\operatorname{acl}(B)\rvert\le\lvert B\rvert+\aleph_0$ である。$\lvert M\rvert$ は非可算なので $\lvert B\rvert\ge\lvert M\rvert$ であり、$B\subset M$ から等号が成り立つ。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では $T$ が完全なことから従う。$n$ まで成り立つとし、$\mathcal M\models\varphi[\bar b,b_{n+1}]$ とする（$\bar b=(b_1,\dots,b_n)$）。$b_{n+1}\notin\operatorname{acl}(\{b_1,\dots,b_n\})$ なので、$\varphi(\bar b,y)$ を満たす $y$ の集合は無限であり、強極小性から補集合は有限で、その元の個数を $k$ とする。論理式 $\theta(\bar x):=\exists^{\le k}y\,\lnot\varphi(\bar x,y)$ について $\mathcal M\models\theta[\bar b]$ であり、$b_1,\dots,b_n$ も独立なので帰納法の仮定により $\mathcal N\models\theta[\bar c]$ である。すると $\lnot\varphi(\bar c,y)$ を満たす $y$ は有限個で、それらは $\operatorname{acl}(\{c_1,\dots,c_n\})$ に属する。$c_{n+1}$ はそこに属さないので $\mathcal N\models\varphi[\bar c,c_{n+1}]$ である。$\mathcal M$ と $\mathcal N$ を入れ替えれば逆も成り立つ。$\square$

$T$ の濃度 $\kappa$ のモデルは、Löwenheim–Skolemの定理 の定理「Löwenheim–Skolem の定理」により存在する。$\mathcal M,\mathcal N$ を濃度 $\kappa$ のモデルとし、prop-morley-basis により基底 $B\subset M$、$C\subset N$ で $\lvert B\rvert=\lvert C\rvert=\kappa$ のものと、全単射 $f_0\colon B\to C$ をとる。独立集合の部分集合は独立なので、lem-morley-generic により $f_0$ は部分初等写像である（論理式の変数に同じ元が入る場合は、変数を同一視した論理式に当てはめればよい）。
$f_0$ を延長する部分初等写像（定義域は $M$ の部分集合）の全体を包含で順序づけると、鎖の和はまた部分初等写像なので、Zorn の補題により極大元 $g$ がある。
段 1（$g$ の定義域は $M$ 全体）． そうでないとし、$a\in M$ を定義域 $D$ の外にとる。prop-morley-basis の 2 により $a\in\operatorname{acl}(B)\subset\operatorname{acl}(D)$ である。$a$ を満たし、満たす元の個数 $n\ge1$ が最小になる、$D$ の元をパラメータとする論理式 $\varphi(x,\bar d)$ をとる。$a$ を満たす論理式 $\psi(x,\bar e)$（$\bar e\in D$）について、$\varphi\land\psi$ も $a$ を満たし、元の個数は $n$ 以下なので最小性から $n$ 個であり、$\mathcal M\models\forall x\,(\varphi(x,\bar d)\to\psi(x,\bar e))$ となる。$g$ は部分初等的なので $\mathcal N\models\forall x\,(\varphi(x,g(\bar d))\to\psi(x,g(\bar e)))$ であり、$\mathcal N\models\exists x\,\varphi[g(\bar d)]$ も成り立つ。$\varphi(x,g(\bar d))$ を満たす $a'\in N$ をとれば、$a$ が満たすすべての論理式を $a'$ も満たすので、$g\cup\{(a,a')\}$ は部分初等写像になり、極大性に反する。
段 2（$g$ は全射）． $c\in N$ とすると、prop-morley-basis の 2 により $c$ は、$C$ の元 $\bar c=g(\bar b)$ をパラメータとし満たす元がちょうど $k$ 個の論理式 $\varphi(x,\bar c)$ を満たす。$\mathcal M$ でも $\varphi(x,\bar b)$ を満たす元がちょうど $k$ 個あり、$g$ はそれらを $\varphi(x,\bar c)$ を満たす相異なる $k$ 個の元に移すので、$c$ はその像に含まれる。
よって $g$ は全単射な部分初等写像、すなわち $\mathcal M$ から $\mathcal N$ への同型写像である。$\square$