充満部分圏

群と群準同型の圏を $\mathbf{Grp}$、アーベル群と群準同型の圏を $\mathbf{Ab}$ とする。アーベル群 $A,B$ の間の準同型は、群としての準同型と同じものなので $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,B)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Grp}}(A,B)$ であり、$\mathbf{Ab}$ は $\mathbf{Grp}$ の充満部分圏である。アーベル群と同型な群はアーベル群なので、同型で閉じている。

集合と写像の圏 $\mathbf{Set}$ の中で、有限集合の張る充満部分圏 $\mathbf{FinSet}$ を考えることができる。全単射は有限性を保つので同型で閉じている。同様に、位相空間と連続写像の圏 $\mathbf{Top}$ の中の Hausdorff空間 の張る充満部分圏、体 $K$ 上のベクトル空間と線形写像の圏 $\mathbf{Vect}_K$ の中の有限次元ベクトル空間の張る充満部分圏 $\mathbf{Vect}_K^{\mathrm{fd}}$ も、同型で閉じた充満部分圏である（同相写像は Hausdorff 性を、線形同型は次元を保つ）。

位相空間 $X$ 上の集合の前層と前層の射の圏の中で、層の張る充満部分圏が層の圏である。層の射は前層としての射と定義されるので、充満であることは定義に含まれている。同様に、スキーム $X$ 上の $\mathcal O_X$ 加群の圏の中で、準連接層の張る充満部分圏が準連接層の圏である。このように「射の概念は大きい圏のものをそのまま使い、対象に条件を課す」ときに充満部分圏が現れる。

$\mathbf{Vect}_K^{\mathrm{fd}}$ の中で、対象 $K^n$（$n\in\mathbb N$）だけの張る充満部分圏 $\mathcal K$ を考える。$\operatorname{Hom}_{\mathcal K}(K^n,K^m)$ は線形写像 $K^n\to K^m$ 全体であり、$m\times n$ 行列全体と $1$ 対 $1$ に対応する。$\mathcal K$ は同型で閉じていない。たとえば $1$ 次以下の実係数多項式の空間は $\mathbb R^2$ と同型だが $\mathbb R^n$ のどれとも等しくないので、$K=\mathbb R$ のとき $\mathcal K$ に入らない。それでも、どの有限次元ベクトル空間もある $K^n$ と同型なので、$\mathcal K$ の包含は圏同値になる（後の prop-full-subcategory-representatives）。

乗法の単位元を仮定しない環と、加法と乗法を保つ写像（単位元を保つとは限らない）の圏を $\mathbf{Rng}$ とする。単位元をもつ環と、単位元を保つ環準同型の圏 $\mathbf{Ring}$ は $\mathbf{Rng}$ の部分圏である（恒等写像は単位元を保ち、単位元を保つ写像の合成も単位元を保つ）。しかし充満ではない：零写像 $\mathbb Z\to\mathbb Z$ は加法と乗法を保つので $\mathbf{Rng}$ の射だが、$1\mapsto0$ なので $\mathbf{Ring}$ の射でない（Rie16 Example 1.6.15 (v)）。一方、可換環の圏 $\mathbf{CRing}$ は $\mathbf{Ring}$ の充満部分圏である。

$\mathbf{Vect}_K$ の対象をすべて残し、射を線形同型だけにすると部分圏になる（恒等写像は同型で、同型の合成は同型）。対象はすべて残っているが、$0$ でない空間 $V$ の零写像 $V\to V$ が落ちるので充満でない。どの圏でも、対象をすべて残して同型射だけを射とすると部分圏になり（Rie16 Lemma 1.1.14）、これはすべての射が同型射である圏、つまり亜群の典型例である。

モノイド $M$ を、対象が $1$ つで射の集合が $M$、合成が $M$ の積である圏とみなす。単位元を含み積で閉じた部分集合 $M'\subset M$（部分モノイド）は部分圏を与え、それが充満であるのは $M'=M$ のときに限る。対象が $1$ つの圏では、充満部分圏は空の圏と自分自身だけである。

$\mathcal B$ を、対象 $a,b,c,d$ と恒等射以外の射 $f\colon a\to b$、$g\colon c\to d$ だけをもつ圏とする。$\mathcal C$ を順序集合 $0<1<2$ を圏とみなしたもの（$i\leq j$ のとき $i\to j$ の射がただ $1$ つある圏）とし、$F(a)=0$、$F(b)=F(c)=1$、$F(d)=2$ で関手 $F$ を定める。像の射は恒等射と $Ff\colon0\to1$、$Fg\colon1\to2$ だけで、合成 $Fg\circ Ff\colon0\to2$ は像に入らない。したがって像は部分圏でない。$F$ は充満でない（$\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(a,d)=\emptyset$ だが $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(0,2)$ は $1$ 元）ので、prop-full-subcategory-inclusion の条件 (ii) に反しない。

$\mathbf{Vect}_K$ の $2$ つの対象 $V\neq W$ と線形同型 $f\colon V\to W$ をとり、対象 $V,W$、射 $\mathrm{id}_V,\mathrm{id}_W,f$ だけからなる部分圏 $\mathcal A$ を考える（合成で閉じていることは、恒等射でない射が $f$ だけであることから分かる）。$f$ は $\mathbf{Vect}_K$ では同型射だが、$\mathcal A$ には $W$ から $V$ への射がないので、$\mathcal A$ では同型射でない。$\mathcal A$ は部分圏の条件を満たすが充満でなく、「$\mathcal C$ で同型なら $\mathcal A$ で同型」という含意が成り立たない。

$\mathbf{Ab}$ での $\mathbb Z$ と $\mathbb Z$ の余積(圏論)は直和 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ であり、$\mathbf{Grp}$ での余積は自由積 $\mathbb Z*\mathbb Z$、つまり $2$ 元 $a,b$ 上の自由群である。$\mathbb Z*\mathbb Z$ では $ab\neq ba$ なので可換でなく、$\mathbf{Ab}$ に入らない。$\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ は可換なので、$\mathbf{Grp}$ で両者は同型でない。したがって $\mathbf{Ab}$ の余積 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ は $\mathbf{Grp}$ の余積ではなく、包含 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Grp}$ は余積を保たない。この場合、$\mathbf{Grp}$ の余積の頂点が $\mathbf{Ab}$ に入らないので、prop-full-subcategory-limits の仮定が満たされない。

可換環と単位元を保つ環準同型の圏 $\mathbf{CRing}$ の中で、体の張る充満部分圏を $\mathbf{Field}$ とする。$\mathbf{CRing}$ では $\mathbb F_2$ と $\mathbb F_3$ の積(圏論) $\mathbb F_2\times\mathbb F_3$（成分ごとの演算）があり、中国剰余定理により $\mathbb Z/6\mathbb Z$ と同型だが、$(1,0)(0,1)=0$ なので体でない。$\mathbf{Field}$ では $\mathbb F_2$ と $\mathbb F_3$ の積は存在しない。実際、体 $P$ と準同型 $p_1\colon P\to\mathbb F_2$、$p_2\colon P\to\mathbb F_3$ があったとすると、体からの環準同型は単射である（核は $P$ のイデアルで、$1\mapsto1\neq0$ なので $0$ である）。$p_1(2\cdot1_P)=0$ から $2\cdot1_P=0$、$p_2(3\cdot1_P)=0$ から $3\cdot1_P=0$ となり、$1_P=3\cdot1_P-2\cdot1_P=0$ が体の条件 $1\neq0$ に反する。つまり $\mathbb F_2$ と $\mathbb F_3$ へ同時に射をもつ体がなく、錐すら存在しない。