球面調和関数

まず $p\in\mathcal{P}_{l-1}$、$q\in\mathcal{P}_l$ について $[x_jp,q]=[p,\partial_jq]$ を示す。両辺は $p$ について線形、$q$ について共役線形なので（$\partial_j$ は係数の共役と可換）、単項式 $p=x^\alpha$、$q=x^\beta$ で確かめればよい。$e_j$ を第 $j$ 単位多重指数とすると、左辺は $[x^{\alpha+e_j},x^\beta]$ で、$\beta=\alpha+e_j$ なら $(\alpha+e_j)!$、それ以外は $0$ である。右辺は $\partial_jx^\beta=\beta_jx^{\beta-e_j}$ から、$\alpha=\beta-e_j$ なら $\beta_j\,\alpha!=(\alpha_j+1)\alpha!=(\alpha+e_j)!$、それ以外は $0$ である。よって等しい。これを 2 回使うと $[x_j^2p,q]=[x_jp,\partial_jq]=[p,\partial_j^2q]$ で、$j$ について和をとれば主張を得る。$\square$

1。 $q\in\mathcal{P}_l$ について、$\Delta q\in\mathcal{P}_{l-2}$ が $0$ であることは、Fischer 内積が $\mathcal{P}_{l-2}$ 上で正定値なので、すべての $p\in\mathcal{P}_{l-2}$ について $[p,\Delta q]=0$ であることと同値である。lem-sh-adjoint によりこれは $[\,|x|^2p,q\,]=0$ と同値なので、$\mathcal{H}_l$ は有限次元内積空間 $\mathcal{P}_l$ における部分空間 $|x|^2\mathcal{P}_{l-2}$ の直交補空間である。有限次元の内積空間は部分空間とその直交補空間の直和なので 1 を得る。
3。 $|x|^2$ を掛ける写像 $\mathcal{P}_{l-2}\to\mathcal{P}_l$ は単射なので（$0$ でない多項式の積は $0$ でない）、1 から $\dim\mathcal{H}_l=\dim\mathcal{P}_l-\dim\mathcal{P}_{l-2}$ である。斉次多項式 の命題「次数 $d$ の斉次多項式の空間の次元」により $\dim\mathcal{P}_l=\binom{l+n-1}{n-1}$ なので、式を得る（$l=0,1$ では $\mathcal{P}_{l-2}=\{0\}$）。$n=3$ では $\binom{l+2}2-\binom l2=\frac{(l+2)(l+1)-l(l-1)}2=2l+1$ で、これは $l=0,1$ でも正しい。
2。 $\Delta$ の核は $\mathcal{H}_l$ なので、像の次元は $\dim\mathcal{P}_l-\dim\mathcal{H}_l=\dim\mathcal{P}_{l-2}$ である。
4。 $l$ についての帰納法による。$l=0,1$ では $\mathcal{P}_l=\mathcal{H}_l$ である（定数と 1 次式は調和）。$l\ge2$ なら、1 により $p=h_l+|x|^2q$（$h_l\in\mathcal{H}_l$、$q\in\mathcal{P}_{l-2}$）とただ 1 通りに書け、$q$ に帰納法の仮定を使えばよい。$\square$

$p$ を斉次成分の和に分け、それぞれに thm-sh-decomposition の 4 を使う。$S$ の上では $|x|^{2i}=1$ なので、$p|_S$ は現れた $h_j$ の制限の和である。$\Delta$ は線形なので $u=\sum_jh_j$ は調和である。$\square$

単位閉球体 $B:=\{|x|\le1\}$ は滑らかな境界をもつコンパクトな領域で、$\partial B=S$ の上で外向きの単位法線は $\nu=x$ である。$p\in\mathcal{P}_k$ について、斉次多項式 の命題「Euler の恒等式」から $S$ の上で $\partial_\nu p=x\cdot\nabla p=kp$ であり、同様に $\partial_\nu\overline q=l\,\overline q$ である（$\overline q$ は係数を共役にした多項式で、$\Delta\overline q=\overline{\Delta q}=0$）。Gaussの発散定理 の系「部分積分と Green の恒等式」の 3（Green の第 2 恒等式）を実部と虚部に分けて使うと
$$ 0=\int_B\bigl(p\,\Delta\overline q-\overline q\,\Delta p\bigr)\,dV=\int_S\bigl(p\,\partial_\nu\overline q-\overline q\,\partial_\nu p\bigr)\,dS=(l-k)\int_Sp\,\overline q\,dS $$
である。$k\ne l$ なので積分は $0$ である。$\square$

$p(x)=r^l\,\tilde Y(x)$ で、$\tilde Y(x)=r^{-l}p(x)$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ で $C^\infty$ 級の $0$ 次斉次関数である。lem-sh-polar を $g(r)=r^l$ に使うと、$g''+\frac{n-1}rg'=\bigl(l(l-1)+(n-1)l\bigr)r^{l-2}=l(l+n-2)r^{l-2}$ なので
$$ \Delta p(x)=r^{l-2}\Bigl(l(l+n-2)Y+\Delta_SY\Bigr)\Bigl(\frac xr\Bigr)\qquad(x\ne0) $$
である。$\Delta p$ は連続なので、$\Delta p=0$ は右辺の括弧が $S$ の上で $0$ であることと同値である。$\square$

1。 $S$ は $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合なので、Stone–Weierstrassの定理 の系「多変数の多項式による近似」により、$C(S)$ の元は複素数係数の多項式の制限で一様に近似できる。cor-sh-polynomials により、多項式の制限は球面調和関数の有限和である。
2。 $\mathcal{H}_l(S)$ は有限次元なので、Gram–Schmidt の直交化で正規直交基底がとれる。異なる $l$ の基底の元どうしは thm-sh-orthogonality により直交するので、全体は正規直交系である。$C(S)$ は $L^2(S)$ で稠密である。

調和であること。 $k:=l-m$、$H:=P_l^{(m)}$、$f:=(x_1+ix_2)^m$、$G:=r^kH(t)$ とおく。$f$ は ex-sh-circle と同じ計算で調和であり、$\nabla f=m(x_1+ix_2)^{m-1}(1,i,0)$ から $\nabla f\cdot x=mf$、$\nabla f\cdot e_3=0$ である。$\nabla G=kr^{k-2}H(t)\,x+r^kH'(t)\nabla t$ と $\nabla t=\frac{e_3}r-\frac{x_3x}{r^3}$ から
$$ \nabla f\cdot\nabla G=mfr^{k-2}\bigl(kH-tH'\bigr) $$
である。lem-sh-polar（$g=r^k$）と lem-sh-zonal-laplacian から $\Delta G=r^{k-2}\bigl(k(k+1)H+(1-t^2)H''-2tH'\bigr)$ である（$H(t)$ を $S$ 上の関数 $H(x_3)$ の延長と見る）。よって
$$ \Delta(fG)=f\,\Delta G+2\nabla f\cdot\nabla G=fr^{k-2}\Bigl((1-t^2)H''-2(m+1)tH'+(l-m)(l+m+1)H\Bigr) $$
である（$k(k+1)+2mk=(l-m)(l+m+1)$）。一方、Legendre多項式 の定理「Legendre の微分方程式」の $(1-t^2)y''-2ty'+l(l+1)y=0$ を $y=P_l$ について $m$ 回微分すると、積の微分とLeibnizの公式 の定理「Leibniz の公式」により
$$ (1-t^2)H''-2mtH'-m(m-1)H-2tH'-2mH+l(l+1)H=0 $$
で、$l(l+1)-m(m+1)=(l-m)(l+m+1)$ から括弧の中は $0$ である。よって $h_{l,m}=fG$ は調和で、次数 $m+(l-m)=l$ の斉次多項式だから $h_{l,m}\in\mathcal{H}_l$ である。$\Delta$ の係数は実数なので $h_{l,-m}=\overline{h_{l,m}}$ も $\mathcal{H}_l$ に属する。
基底であること。 $a\in\mathbb{R}$ について $x_3$ 軸のまわりの角 $a$ の回転を $R_a$ とすると、$x_1+ix_2$ は $e^{ia}(x_1+ix_2)$ に、$r$ と $x_3$ はそれ自身に移るので、$h_{l,m}\circ R_a=e^{ima}h_{l,m}$（$-l\le m\le l$）である。$a:=\frac{2\pi}{2l+1}$ とすると $e^{ima}$（$-l\le m\le l$）は相異なるので、$h_{l,m}$ たちは線形写像 $p\mapsto p\circ R_a$ の相異なる固有値の固有ベクトルであり、$0$ でない（$S$ 上の値が $\sin^m\theta\,P_l^{(m)}(\cos\theta)e^{im\varphi}$ で、$P_l^{(m)}\ne0$）から 1 次独立である。個数 $2l+1$ は thm-sh-decomposition の 3 の $\dim\mathcal{H}_l$ に等しいので、基底である。$S$ 上の値は、$r=1$、$x_3=\cos\theta$、$x_1+ix_2=\sin\theta\,e^{i\varphi}$ を代入すれば得られる。$\square$