加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く

$\alpha=60^\circ$、$\beta=30^\circ$ とする。正弦の加法定理の和と差の式（thm-tfps-addition の (A3) と (A4)）に入れると
$$ \begin{aligned} \sin90^\circ&=\sin60^\circ\cos30^\circ+\cos60^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot\frac12=\frac34+\frac14=1\\ \sin30^\circ&=\sin60^\circ\cos30^\circ-\cos60^\circ\sin30^\circ=\frac34-\frac14=\frac12 \end{aligned} $$
である。2 つの式を辺ごとに足すと、$\cos60^\circ\sin30^\circ$ の項が打ち消し合って
$$ \sin90^\circ+\sin30^\circ=2\sin60^\circ\cos30^\circ $$
となる。実際、左辺は $1+\frac12=\frac32$、右辺は $2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac32$ で一致する。正弦の「和」が、正弦と余弦の「積」に書き直された。これが積和・和積の公式のもとになる。

$f(\theta)=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta$ の値をいくつかの角で計算すると
$$ f(0)=0+\sqrt3=\sqrt3,\quad f\left(\tfrac\pi6\right)=\frac12+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=2,\quad f\left(\tfrac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\cdot\frac12=\sqrt3,\quad f\left(\tfrac\pi2\right)=1+0=1 $$
である（$\sqrt3\approx1.732$）。$\theta=\frac\pi6$ のあたりで最大になりそうだが、値を並べるだけでは、最大値が本当に $2$ なのかは分からない。加法定理を右辺から左辺へ読むと $f(\theta)=2\sin\left(\theta+\frac\pi3\right)$ と書き直せる（ex-tfps-harmonic）。$\sin$ の値は $1$ を超えないので $f(\theta)\le2$ であり、上で見たとおり $\theta=\frac\pi6$ で $f(\theta)=2$ になるので、最大値は $2$ である。

辺の長さが $3,4,5$ の直角三角形で、長さ $4$ と $5$ の辺がはさむ角を $\alpha$ とすると $\cos\alpha=\frac45$、$\sin\alpha=\frac35$ である。辺の長さが $5,12,13$ の直角三角形で、長さ $12$ と $13$ の辺がはさむ角を $\beta$ とすると $\cos\beta=\frac{12}{13}$、$\sin\beta=\frac5{13}$ である。加法定理の 4 つの式に入れると
$$ \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\frac35\cdot\frac{12}{13}+\frac45\cdot\frac5{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}, & \cos(\alpha+\beta)&=\frac45\cdot\frac{12}{13}-\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65},\\ \sin(\alpha-\beta)&=\frac35\cdot\frac{12}{13}-\frac45\cdot\frac5{13}=\frac{36-20}{65}=\frac{16}{65}, & \cos(\alpha-\beta)&=\frac45\cdot\frac{12}{13}+\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{48+15}{65}=\frac{63}{65} \end{aligned} $$
である。どちらの点も単位円上にあるはずで、実際 $33^2+56^2=1089+3136=4225=65^2$、$16^2+63^2=256+3969=4225=65^2$ である。この 4 つの値は、この後の積和の公式と正接の公式の例でも使う。

• $\sin75^\circ\cos15^\circ=\frac12\{\sin90^\circ+\sin60^\circ\}=\frac12\left(1+\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{2+\sqrt3}4$ である。一方、(A3) で $\alpha=45^\circ$、$\beta=30^\circ$ とすると $\sin75^\circ=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$ であり、prop-tfps-basic の (3) により $\cos15^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\sin75^\circ$ なので、$\sin75^\circ\cos15^\circ=\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\right)^2=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{2+\sqrt3}4$ で、一致する。
• 積分 $\int_0^{\pi/4}\cos3x\cos x\,dx$ は、3 つ目の式で $\cos3x\cos x=\frac12(\cos4x+\cos2x)$ と直すと
  $$ \int_0^{\pi/4}\cos3x\cos x\,dx=\frac12\left[\frac{\sin4x}4+\frac{\sin2x}2\right]_0^{\pi/4}=\frac12\left(\frac{\sin\pi}4+\frac{\sin\frac\pi2}2\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14 $$
  と計算できる。積のままでは原始関数が見えないが、和に直すと 1 つずつ積分できる。
• ex-tfps-addition の角 $\alpha,\beta$（$\cos\alpha=\frac45$、$\sin\alpha=\frac35$、$\cos\beta=\frac{12}{13}$、$\sin\beta=\frac5{13}$）で確かめる。1 つ目の式の左辺は $\sin\alpha\cos\beta=\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{36}{65}$、右辺は $\frac12\left(\frac{56}{65}+\frac{16}{65}\right)=\frac12\cdot\frac{72}{65}=\frac{36}{65}$ で一致する。4 つ目の式の左辺は $\sin\alpha\sin\beta=\frac35\cdot\frac5{13}=\frac3{13}$、右辺は $\frac12\left(\frac{63}{65}-\frac{33}{65}\right)=\frac12\cdot\frac{30}{65}=\frac3{13}$ で一致する。

• $\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin45^\circ\cos30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt6}2$ である。ex-tfps-product-to-sum で求めた $\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$ と、(A4) で $\alpha=45^\circ$、$\beta=30^\circ$ として得られる $\sin15^\circ=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ を使うと $\frac{\sqrt6+\sqrt2}4+\frac{\sqrt6-\sqrt2}4=\frac{2\sqrt6}4=\frac{\sqrt6}2$ で、一致する。
• $A=\frac\pi2$、$B=\frac\pi6$ とすると、左辺は $\sin\frac\pi2+\sin\frac\pi6=1+\frac12=\frac32$、右辺は $2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi6=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac32$ である。
• 方程式 $\sin x+\sin3x=0$ は、和積の 1 つ目の式で $A=3x$、$B=x$ とすると $\frac{A+B}2=2x$、$\frac{A-B}2=x$ なので、左辺が $2\sin2x\cos x$ と直り、「$\sin2x=0$ または $\cos x=0$」と積の形で解ける。$\sin2x=0$ となるのは $2x$ が $\pi$ の整数倍のとき、つまり $x=\frac{k\pi}2$（$k$ は整数）のときである。$\cos x=0$ となる $x=\frac\pi2+k\pi$ はその一部なので、解は $x=\frac{k\pi}2$（$k$ は整数）である。たとえば $x=\frac\pi2$ では $\sin\frac\pi2+\sin\frac{3\pi}2=1-1=0$ となる。和のままでは、どこで $0$ になるかが見えにくい。

• $\sin\theta+\sqrt3\cos\theta$：$a=1$、$b=\sqrt3$ で $r=\sqrt{1+3}=2$ である。$\cos\varphi=\frac12$、$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}2$ となる $\varphi$ として $\varphi=\frac\pi3$ がとれるので、$\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\theta+\frac\pi3\right)$ である。右辺は $\theta+\frac\pi3=\frac\pi2$、つまり $\theta=\frac\pi6$ のとき最大値 $2$ をとる。実際 $\sin\frac\pi6+\sqrt3\cos\frac\pi6=\frac12+\frac32=2$ である。
• $3\sin\theta+4\cos\theta$：$r=\sqrt{9+16}=5$ で、$\cos\varphi=\frac35$、$\sin\varphi=\frac45$ となる $\varphi$（約 $53.13^\circ$）をとると $3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+\varphi)$ である。最大値は $5$、最小値は $-5$ である。$\varphi$ は $3:4:5$ の直角三角形の、長さ $3$ と $5$ の辺がはさむ角である。

• $\tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{1+\frac1{\sqrt3}}{1-\frac1{\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}$ である。分母と分子に $\sqrt3+1$ を掛けると $\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\dfrac{4+2\sqrt3}2=2+\sqrt3$ となる。
• $t=\tan\frac\theta2=\frac12$ のとき、$\sin\theta=\dfrac{2\cdot\frac12}{1+\frac14}=\dfrac45$、$\cos\theta=\dfrac{1-\frac14}{1+\frac14}=\dfrac35$ である。$t$ が有理数なら $\sin\theta$ と $\cos\theta$ も有理数になる。さらに $t\ne0,\pm1$ なら $\sin\theta\ne0$ かつ $\cos\theta\ne0$ なので、辺の長さが整数の直角三角形が得られる。$t=\frac pq$（$p,q$ は整数、$q\ne0$）なら $\sin\theta=\frac{2pq}{p^2+q^2}$、$\cos\theta=\frac{q^2-p^2}{p^2+q^2}$ で、辺の比は $|q^2-p^2|:2|pq|:p^2+q^2$ である（この例では $p=1$、$q=2$ で $3:4:5$）。$t=0$ では $\sin\theta=0$、$t=\pm1$ では $\cos\theta=0$ となり、三角形はつぶれる。この見方は ピタゴラス数と円の有理点 で詳しく扱う。$t=\tan\frac\theta2$ の式は、三角関数の有理式の積分 で置換積分に使われる。
• ex-tfps-addition の角では $\tan\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac34$、$\tan\beta=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}$ なので
  $$ \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\frac34+\frac5{12}}{1-\frac34\cdot\frac5{12}}=\dfrac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}}=\frac{14}{12}\cdot\frac{48}{33}=\frac{56}{33} $$
  である。ex-tfps-addition の値から直接計算した $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{56/65}{33/65}=\dfrac{56}{33}$ と一致する。

$\alpha=\beta=\frac\pi4$ とすると $\tan\alpha\tan\beta=1$ なので、prop-tfps-tangent の右辺は分母が $1-1=0$ になり、意味をもたない。左辺も $\tan\frac\pi2$ で、$\cos\frac\pi2=0$ だから定義されない。条件「$\cos(\alpha+\beta)\ne0$」を外すと、式の両辺が意味を失う。また $\alpha=\frac\pi2$ では $\tan\alpha$ が定義されないが、$\sin\left(\frac\pi2+\beta\right)=\cos\beta$、$\cos\left(\frac\pi2+\beta\right)=-\sin\beta$（(A3)・(A2) で $\alpha=\frac\pi2$ とし、$\cos\frac\pi2=0$、$\sin\frac\pi2=1$ を使った）なので、$\sin\beta\ne0$ なら $\tan\left(\frac\pi2+\beta\right)=-\frac{\cos\beta}{\sin\beta}$ は定義される。正接の式は、正弦と余弦の加法定理より成り立つ範囲が狭い。

$-\sin\theta-\cos\theta$ を合成する。$a=-1$、$b=-1$ で $r=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ である。

• 誤った決め方：$\tan\varphi=\frac ba=\frac{-1}{-1}=1$ から $\varphi=\frac\pi4$ とすると、$-\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)$ となるはずである。しかし $\theta=\frac\pi4$ を入れると、左辺は $-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2=-\sqrt2$、右辺は $\sqrt2\sin\frac\pi2=\sqrt2$ で、符号が逆になる。
• 正しい決め方：prop-tfps-harmonic の条件は $\cos\varphi=\frac ar=-\frac1{\sqrt2}$ かつ $\sin\varphi=\frac br=-\frac1{\sqrt2}$ である。これを満たす $\varphi$ は第 3 象限の角 $\varphi=\frac{5\pi}4$ で、$-\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{5\pi}4\right)$ となる。$\theta=\frac\pi4$ では右辺が $\sqrt2\sin\frac{3\pi}2=-\sqrt2$ で、左辺と一致する。
  $0\le\varphi<2\pi$ の範囲では、$\tan\varphi=\frac ba$ を満たす $\varphi$ は $\pi$ だけずれた 2 通り（ここでは $\frac\pi4$ と $\frac{5\pi}4$）があり、正接だけではどちらか決まらない。外してはいけないのは「$\cos\varphi=\frac ar$ と $\sin\varphi=\frac br$ の両方」という条件である。

次の等式を証明せよ。
$$ \cos\frac\pi7-\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{3\pi}7=\frac12 $$
出典：国際数学オリンピック（1963 年）第 5 問（Oly63）。和訳は記事の執筆者による。