Poisson括弧

同義語：Poisson bracketPoisson 括弧ポアソン括弧

概要

前提知識: シンプレクティック多様体, Lie括弧, Lie環

Poisson 括弧（Poisson bracket）とは、シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ の上の 2 つの滑らかな関数 $f,g$ から、新しい関数 $\{f,g\}$ を作る演算である。座標 $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$ をもつ $\mathbb{R}^{2n}$ と標準シンプレクティック形式 $\sum_idq_i\wedge dp_i$ の場合は
$$ \{f,g\}=\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Bigr) $$
であり、古典力学の相空間（位置 $q$ と運動量 $p$ の空間）で使われる。エネルギーを表す関数 $H$ が定める運動に沿って、物理量 $f$ は $\dfrac{d}{dt}f=\{f,H\}$ のように変化する。
Poisson 括弧は、反対称で Jacobi 恒等式を満たすので、関数の全体を Lie 環にする。さらに関数の積について Leibniz 則を満たす。Jacobi 恒等式から、保存量どうしの Poisson 括弧がまた保存量になること（Poisson の定理）が従う。この記事では、Hamilton ベクトル場を使って Poisson 括弧を定義し、Darboux 座標での公式、Lie 環としての性質、時間発展の式を証明する。さらに、Poisson 括弧を保つ微分同相写像がちょうどシンプレクティック形式を保つものであることを示し、角運動量を例として調べる。最後に、Poisson 括弧の性質だけを公理にした Poisson 多様体に触れる。

定義

$(M,\omega)$ を $2n$ 次元のシンプレクティック多様体とする（シンプレクティック多様体）。すなわち $\omega$ は閉じた 2 次微分形式で、各点で非退化である。多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で境界のないものとし、関数とベクトル場は滑らか（$C^\infty$ 級）とする。
滑らかな関数 $H$ に対し、ベクトル場 $X_H$ を
$$ \omega(X_H,\cdot)=dH\qquad(\text{すなわち }\iota_{X_H}\omega=dH) $$
で定め、$H$ の Hamilton ベクトル場 という。$\omega_p$ が非退化なので、$v\mapsto\omega_p(v,\cdot)$ は $T_pM$ から $T_p^*M$ への線形同型であり、$X_H(p)$ はただ 1 つに定まる。局所座標では $X_H$ の成分は、$\omega$ の成分の行列（正則で成分は滑らか）の逆行列を $dH$ の成分に掛けたものなので、$X_H$ は滑らかである。$H\mapsto X_H$ は線形である。

Poisson 括弧

$f,g\in C^\infty(M)$ について、
$$ \{f,g\}:=\omega(X_f,X_g) $$
を $f$ と $g$ の Poisson 括弧 という。$\{f,g\}=0$ のとき、$f$ と $g$ は Poisson 可換（包合的）であるという。

定義を言い換えると
$$ \{f,g\}=\omega(X_f,X_g)=df(X_g)=X_gf=-X_fg $$
である。実際、$\omega(X_f,X_g)=(\iota_{X_f}\omega)(X_g)=df(X_g)$ であり、$\omega$ が交代的なので $\omega(X_f,X_g)=-\omega(X_g,X_f)=-dg(X_f)$ である。ここで $X_gf=df(X_g)$ はベクトル場 $X_g$ による $f$ の微分である。とくに $\{f,g\}$ は、$g$ の Hamilton ベクトル場の向きに $f$ が変化する速さを表す。$X_f$ と $\{f,g\}$ の符号の規約は文献によって異なる。この記事はシンプレクティック多様体の記事、Lee13 (22.15)（p. 578）、CdS06 Definition 18.5（p. 108）と同じ規約をとる。

Darboux 座標での表示

$M$ の局所座標 $(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$ で $\omega=\sum_idx_i\wedge dy_i$ となるもの（Darboux 座標）の上で、
$$ X_H=\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\partial H}{\partial y_i}\frac{\partial}{\partial x_i}-\frac{\partial H}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial y_i}\Bigr),\qquad\{f,g\}=\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial y_i}-\frac{\partial f}{\partial y_i}\frac{\partial g}{\partial x_i}\Bigr) $$
である。とくに
$$ \{x_i,x_j\}=0,\qquad\{y_i,y_j\}=0,\qquad\{x_i,y_j\}=\delta_{ij} $$
である。

$X=\sum_i(a_i\,\partial/\partial x_i+b_i\,\partial/\partial y_i)$ とおくと、$dx_i\wedge dy_i(X,\cdot)=a_i\,dy_i-b_i\,dx_i$ なので $\iota_X\omega=\sum_i(a_i\,dy_i-b_i\,dx_i)$ である。これが $dH=\sum_i(\partial_{x_i}H\,dx_i+\partial_{y_i}H\,dy_i)$ に等しいことは、$a_i=\partial H/\partial y_i$、$b_i=-\partial H/\partial x_i$ と同値である。よって $X_H$ は主張の形で、
$$ \{f,g\}=X_gf=\sum_i\Bigl(\frac{\partial g}{\partial y_i}\frac{\partial f}{\partial x_i}-\frac{\partial g}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial y_i}\Bigr) $$
となる。座標関数を代入すれば最後の式を得る。$\square$

Darboux の定理（シンプレクティック多様体の定理「Darboux の定理」）により、どの点のまわりにも Darboux 座標があるので、Poisson 括弧は局所的にはいつでも上の公式で計算できる。余接束 $T^*Q$ の自然な座標 $(q,p)$ は Darboux 座標であり（余接束）、冒頭の公式はその場合である。

Lie 環としての性質

Poisson 括弧の基本性質

$f,g,h\in C^\infty(M)$、$a,b\in\mathbb{R}$ について、次が成り立つ。

（双線形性・反対称性）$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\}$、$\{f,g\}=-\{g,f\}$。
（Leibniz 則）$\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$。
（Jacobi 恒等式）$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$。
したがって $C^\infty(M)$ は Poisson 括弧について Lie 環であり、積と合わせて Poisson 代数（可換な結合代数で、Leibniz 則を満たす Lie 括弧をもつもの）になる。

1．$H\mapsto X_H$ は線形なので、$\omega(X_f,X_g)$ は $f$ と $g$ のどちらについても線形である。反対称性は $\omega$ が交代的であることによる。
2．$X_f$ による微分は積の微分法則を満たすので、$\{f,gh\}=-X_f(gh)=-(X_fg)h-g(X_fh)=\{f,g\}h+g\{f,h\}$ である。
3．左辺の点 $p$ での値は $p$ の近くの $f,g,h$ だけで決まるので、$p$ のまわりの Darboux 座標の中で示せばよい。座標をまとめて $z=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$、偏微分を $f_a:=\partial f/\partial z_a$、$f_{ab}:=\partial^2f/\partial z_a\partial z_b$ と書き、$2n$ 次の定数行列 $\Omega=(\Omega^{ab}):=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}$ を使うと、prop-pbr-darboux は $\{u,v\}=\sum_{a,b}\Omega^{ab}u_av_b$ と書ける。$\Omega$ は交代行列（$\Omega^{ba}=-\Omega^{ab}$）である。積の微分法則により
$$ \{f,\{g,h\}\}=\sum_{a,b,c,d}\Omega^{ab}\Omega^{cd}f_a\,\bigl(g_{bc}h_d+g_ch_{bd}\bigr) $$
であり、Jacobi 恒等式の左辺 $J(f,g,h)$ の各項は、ちょうど 1 つの 2 階偏導関数と 2 つの 1 階偏導関数の積の定数倍である。
$h$ の 2 階偏導関数を含む項を集める。$\{h,\{f,g\}\}$ には $h$ の 1 階偏導関数しか現れない。$\{f,\{g,h\}\}$ からは $S_1:=\sum\Omega^{ab}\Omega^{cd}f_ag_ch_{bd}$、$\{g,\{h,f\}\}$ からは $S_2:=\sum\Omega^{ab}\Omega^{cd}g_ah_{bc}f_d$ が出る。$S_2$ の和の文字を $(a,b,c,d)\to(c,d,b,a)$ と付け替えると
$$ S_2=\sum\Omega^{cd}\Omega^{ba}g_ch_{db}f_a=-\sum\Omega^{ab}\Omega^{cd}f_ag_ch_{bd}=-S_1 $$
である（$\Omega^{ba}=-\Omega^{ab}$ と、偏微分の順序交換 $h_{db}=h_{bd}$ を使った）。よって $J(f,g,h)$ の中で $h$ の 2 階偏導関数を含む項の和は $0$ である。$J(f,g,h)$ は $(f,g,h)$ を巡回的に入れ替えても変わらない（$J(f,g,h)=J(g,h,f)=J(h,f,g)$）ので、同じ議論を $J(g,h,f)$、$J(h,f,g)$ に当てると、$f$ または $g$ の 2 階偏導関数を含む項の和も $0$ である。どの項もいずれかの 2 階偏導関数を含むので、$J(f,g,h)=0$ である。$\square$

Lee13 Proposition 22.19 と Corollary 22.20（p. 579）は、Jacobi 恒等式を Hamilton ベクトル場の Lie 微分から導いている。上の証明は、Darboux 座標に移して 2 階偏導関数の打ち消し合いを直接見るものである。$\omega$ が閉形式であることは、Darboux 座標の存在を通して使われている（ex-pbr-table の 1 行目）。Poisson 括弧は一般に結合的でない。たとえば $\mathbb{R}^2$（座標 $(x,y)$）で $\{\{x^2,y\},y\}=\{2x,y\}=2$ だが、$\{x^2,\{y,y\}\}=0$ である。
Jacobi 恒等式から、Hamilton ベクトル場の Lie括弧が関数の Poisson 括弧で表される。ベクトル場の Lie 括弧は $[X,Y]h=X(Yh)-Y(Xh)$ とする。

Hamilton ベクトル場の Lie 括弧

$f,g\in C^\infty(M)$ について $[X_f,X_g]=-X_{\{f,g\}}$ である。したがって $f\mapsto-X_f$ は、Lie 環 $(C^\infty(M),\{\cdot,\cdot\})$ からベクトル場の Lie 環への準同型であり、その核は局所定数関数（各連結成分の上で定数の関数）の全体である。

関数 $h$ について $X_fh=-\{f,h\}$ なので、
$$ [X_f,X_g]h=X_f(X_gh)-X_g(X_fh)=-X_f\{g,h\}+X_g\{f,h\}=\{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\} $$
である。Jacobi 恒等式と反対称性により $\{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}=-\{h,\{f,g\}\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}h$ となる。ベクトル場は関数への作用で決まるので、$[X_f,X_g]=-X_{\{f,g\}}$ である。これは $[-X_f,-X_g]=-X_{\{f,g\}}$ と同じなので、$f\mapsto-X_f$ は Lie 環の準同型である。$X_f=0$ は $df=\iota_{X_f}\omega=0$ と同値であり、それは $f$ が局所定数であることと同値である。$\square$

この関係は Lee13 Proposition 22.19 (d)（p. 579）、CdS06 p. 109 と一致する。

時間発展と保存量

時間発展の式

$H\in C^\infty(M)$ とし、$\gamma$ を $X_H$ の積分曲線とする。$f\in C^\infty(M)$ について
$$ \frac{d}{dt}f(\gamma(t))=\{f,H\}(\gamma(t)) $$
である。とくに、$f$ が $X_H$ のすべての積分曲線の上で一定であること（$f$ が 保存量 であること）は $\{f,H\}=0$ と同値であり、$H$ 自身は保存量である。

連鎖律と $\gamma'(t)=X_H(\gamma(t))$ により、$\dfrac{d}{dt}f(\gamma(t))=df\bigl(\gamma'(t)\bigr)=df(X_H)(\gamma(t))=\{f,H\}(\gamma(t))$ である。$\{f,H\}=0$ なら、各積分曲線の上で $f$ の微分が $0$ なので一定である。逆に $f$ がすべての積分曲線の上で一定なら、各点 $p$ を通る積分曲線（$\gamma(0)=p$）について $t=0$ の微分を見て $\{f,H\}(p)=0$ である。$\{H,H\}=0$ は反対称性による。$\square$

Darboux 座標で $f=x_i$、$f=y_i$ とおくと、prop-pbr-darboux により $\dot x_i=\{x_i,H\}=\partial H/\partial y_i$、$\dot y_i=\{y_i,H\}=-\partial H/\partial x_i$ となり、Hamilton の運動方程式が得られる。上の命題は Lee13 Proposition 22.21 (a)（p. 580）、CdS06 Theorem 18.9（p. 109）にあたる。

Poisson の定理

$f,g$ が $H$ についての保存量ならば、$\{f,g\}$ も保存量である。

Jacobi 恒等式により $\{H,\{f,g\}\}=-\{f,\{g,H\}\}-\{g,\{H,f\}\}$ である。$\{g,H\}=0$、$\{H,f\}=-\{f,H\}=0$ なので右辺は $0$ であり、$\{\{f,g\},H\}=-\{H,\{f,g\}\}=0$ である。prop-pbr-evolution により $\{f,g\}$ は保存量である。$\square$

角運動量

$\mathbb{R}^6=T^*\mathbb{R}^3$ を座標 $q=(q_1,q_2,q_3)$、$p=(p_1,p_2,p_3)$ と $\omega=\sum_idq_i\wedge dp_i$ で考え、角運動量 $L=q\times p$、すなわち
$$ L_1=q_2p_3-q_3p_2,\qquad L_2=q_3p_1-q_1p_3,\qquad L_3=q_1p_2-q_2p_1 $$
とおく。

$\{L_1,L_2\}=L_3$、$\{L_2,L_3\}=L_1$、$\{L_3,L_1\}=L_2$ である。
$V$ を $(0,\infty)$ の上の滑らかな関数とし、$q\ne0$ の範囲で $H=\frac12\lvert p\rvert^2+V(\lvert q\rvert)$（中心力のエネルギー）とおくと、$\{L_i,H\}=0$（$i=1,2,3$）である。
計算を開く
1：$\{f,g\}=\sum_i(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}g-\partial_{p_i}f\,\partial_{q_i}g)$ で、$\nabla_qL_1=(0,p_3,-p_2)$、$\nabla_pL_1=(0,-q_3,q_2)$、$\nabla_qL_2=(-p_3,0,p_1)$、$\nabla_pL_2=(q_3,0,-q_1)$ なので、$\{L_1,L_2\}=\nabla_qL_1\cdot\nabla_pL_2-\nabla_pL_1\cdot\nabla_qL_2=p_2q_1-q_2p_1=L_3$ である。添字を $1\to2\to3\to1$ と巡回させると $L_1\to L_2\to L_3\to L_1$ となり、ほかの 2 つの式も同じ計算で得られる。
2：$\nabla_qL_3=(p_2,-p_1,0)$、$\nabla_pL_3=(-q_2,q_1,0)$ であり、$\nabla_pH=p$、$\nabla_qH=V'(\lvert q\rvert)\,q/\lvert q\rvert$ である。$\{L_3,H\}=(p_2,-p_1,0)\cdot p-(-q_2,q_1,0)\cdot V'(\lvert q\rvert)\,q/\lvert q\rvert=0-\frac{V'(\lvert q\rvert)}{\lvert q\rvert}(-q_2q_1+q_1q_2)=0$ である。$L_1,L_2$ も添字の巡回で同じである。
2 から $L_1,L_2,L_3$ は中心力の運動の保存量である。1 は、$L_1$ と $L_2$ が保存量なら $L_3=\{L_1,L_2\}$ も保存量であるという cor-pbr-poisson-theorem の例になっている。1 の関係式は、$\mathbb{R}^3$ のベクトル積 $e_1\times e_2=e_3$ と同じ形であり、$L_1,L_2,L_3$ の張る空間は回転群の Lie 環と同型な Lie 環になる。

シンプレクティック写像と Poisson 括弧

2 つのシンプレクティック多様体の間の微分同相写像が Poisson 括弧を保つことは、シンプレクティック形式を保つことと同値である。古典力学で正準変換と呼ばれる座標変換は、この意味で特徴づけられる。

括弧を保つ微分同相写像

$(M,\omega)$、$(M',\omega')$ をシンプレクティック多様体、$\varphi\colon M\to M'$ を微分同相写像とし、それぞれの Poisson 括弧を $\{\cdot,\cdot\}$、$\{\cdot,\cdot\}'$ と書く。次は同値である。

$\varphi^*\omega'=\omega$（$\varphi$ はシンプレクティック同相写像）。
すべての $f,g\in C^\infty(M')$ について $\{f\circ\varphi,g\circ\varphi\}=\{f,g\}'\circ\varphi$。

点 $p\in M$ を固定し、$A:=d\varphi_p\colon T_pM\to T'$（$T':=T_{\varphi(p)}M'$）とおく。$A$ は線形同型である。$\omega^\flat\colon T_pM\to T_p^*M$、$\omega^\flat(u):=\omega_p(u,\cdot)$ は線形同型で、$\omega'^\flat$ も同様に定める。$A^*\colon T'^*\to T_p^*M$ を双対写像とする。
$\{f,g\}$ を余接ベクトルで書く．余接ベクトル $\alpha,\beta\in T_p^*M$ について $\Pi_p(\alpha,\beta):=\alpha\bigl((\omega^\flat)^{-1}\beta\bigr)$ とおく。$(\omega^\flat)^{-1}(dg_p)=X_g(p)$ なので、$\{f,g\}(p)=df_p(X_g(p))=\Pi_p(df_p,dg_p)$ である。$\Pi'$ も同様に定める。また $d(f\circ\varphi)_p=A^*(df_{\varphi(p)})$ である（連鎖律）。
1 ⇒ 2．$\alpha,\beta\in T'^*$ について、$u:=(\omega^\flat)^{-1}A^*\beta$ とおく。$v\in T_pM$ について $\omega'(Au,Av)=\omega(u,v)=(A^*\beta)(v)=\beta(Av)$ であり、$A$ は全射なので $\omega'^\flat(Au)=\beta$、すなわち $Au=(\omega'^\flat)^{-1}\beta$ である。よって
$$ \Pi_p(A^*\alpha,A^*\beta)=(A^*\alpha)(u)=\alpha(Au)=\Pi'_{\varphi(p)}(\alpha,\beta) $$
である。$\alpha=df_{\varphi(p)}$、$\beta=dg_{\varphi(p)}$ とおけば 2 の $p$ での値を得る。
2 ⇒ 1．$T'^*$ のどの元も、ある $f\in C^\infty(M')$ の微分 $df_{\varphi(p)}$ である。実際、$\varphi(p)$ のまわりの座標 $(w_1,\dots,w_{2n})$ と、$\varphi(p)$ の近くで $1$ で台がその座標近傍に含まれる隆起関数 $\rho$（ベクトル場の補題「隆起関数の存在と局所関数の延長」）をとると、$\sum_jc_j\,dw_j|_{\varphi(p)}=d\bigl(\rho\sum_jc_jw_j\bigr)_{\varphi(p)}$ である（$\rho\sum_jc_jw_j$ は外へ $0$ で延ばす）。よって 2 から、すべての $\alpha,\beta\in T'^*$ について $\Pi_p(A^*\alpha,A^*\beta)=\Pi'_{\varphi(p)}(\alpha,\beta)$ である。左辺は $\alpha\bigl(A(\omega^\flat)^{-1}A^*\beta\bigr)$、右辺は $\alpha\bigl((\omega'^\flat)^{-1}\beta\bigr)$ で、$\alpha$ は任意なので $A(\omega^\flat)^{-1}A^*=(\omega'^\flat)^{-1}$ である。$A$、$A^*$ は可逆なので $\omega^\flat=A^*\,\omega'^\flat A$ となり、両辺を $u\in T_pM$ に施して $v\in T_pM$ で評価すると $\omega_p(u,v)=\omega'(Au,Av)=(\varphi^*\omega')_p(u,v)$ を得る。$p$ は任意なので $\varphi^*\omega'=\omega$ である。$\square$

たとえば $\mathbb{R}^2$（座標 $(x,y)$、$\omega=dx\wedge dy$）の写像 $\varphi(x,y)=(2x,y)$ は $\varphi^*\omega=2\,dx\wedge dy\ne\omega$ であり、$\{x\circ\varphi,y\circ\varphi\}=\{2x,y\}=2\ne1=\{x,y\}\circ\varphi$ なので Poisson 括弧も保たない。

Poisson 多様体

上の性質のうち、シンプレクティック形式を使わずに述べられるものだけを公理にすると、より広い構造が得られる。

Poisson 多様体

多様体 $M$ の上の Poisson 構造 とは、双線形な写像 $\{\cdot,\cdot\}\colon C^\infty(M)\times C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ で、反対称性、Leibniz 則、Jacobi 恒等式（thm-pbr-algebra の 1〜3）を満たすもののことである。Poisson 構造をもつ多様体を Poisson 多様体 という。

thm-pbr-algebra により、シンプレクティック多様体は Poisson 多様体である。逆は成り立たない。

$\mathbb{R}^3$ の上の Poisson 構造

$\mathbb{R}^3$（座標 $x=(x_1,x_2,x_3)$）の上で
$$ \{f,g\}_3(x):=x\cdot\bigl(\nabla f(x)\times\nabla g(x)\bigr) $$
とおく。これは Poisson 構造であり、$\{x_1,x_2\}_3=x_3$、$\{x_2,x_3\}_3=x_1$、$\{x_3,x_1\}_3=x_2$ を満たす。関数 $C(x):=\lvert x\rvert^2$ は定数でないが、すべての $g$ について $\{C,g\}_3=0$ である。

Poisson 構造であることの証明を開く

双線形性と反対称性はベクトル積の性質から、Leibniz 則は $\nabla(gh)=h\nabla g+g\nabla h$ から従う。座標関数の括弧は $x\cdot(e_1\times e_2)=x_3$ などである。Jacobi 恒等式を ex-pbr-angular-momentum の角運動量 $L\colon\mathbb{R}^6\to\mathbb{R}^3$ から導く。$\mathbb{R}^6$ の Poisson 括弧は各成分について微分 $d$ を通して双線形なので（prf-pbr-symplectomorphism の $\Pi$）、連鎖律 $d(f\circ L)=\sum_i(\partial_if\circ L)\,dL_i$ により$$\{f\circ L,g\circ L\}=\sum_{i,j}(\partial_if\circ L)(\partial_jg\circ L)\{L_i,L_j\}$$である。ex-pbr-angular-momentum の 1 から $\{L_i,L_j\}=\sum_k\varepsilon_{ijk}L_k$（$\varepsilon_{ijk}$ は $(1,2,3)$ の置換の符号、それ以外は $0$）なので、右辺は $\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}L_k\,(\partial_if\,\partial_jg)\circ L=\{f,g\}_3\circ L$ である。したがって $\mathbb{R}^6$ の Jacobi 恒等式（thm-pbr-algebra の 3）から、$\{f,\{g,h\}_3\}_3+\{g,\{h,f\}_3\}_3+\{h,\{f,g\}_3\}_3$ と $L$ の合成は $0$ である。$L$ は全射である（$x\ne0$ なら $x$ に直交する $q\ne0$ をとり、$p:=x\times q/\lvert q\rvert^2$ とおくと $q\times p=x$。$x=0$ なら $q=p=0$）ので、この式は $\mathbb{R}^3$ の上で $0$ である。

最後に $\nabla C=2x$ なので $\{C,g\}_3=x\cdot(2x\times\nabla g)=0$ である（$x\times\nabla g$ は $x$ に直交する）。

シンプレクティック多様体の上では、すべての $g$ と Poisson 可換な関数は局所定数に限る（$\{f,g\}=-X_fg=0$ がすべての $g$ で成り立てば $X_f=0$ で、cor-pbr-hamiltonian-bracket により $f$ は局所定数）。上の例の $C$ はこれを満たさないので、この Poisson 構造はどんなシンプレクティック形式からも得られない（そもそも $\mathbb{R}^3$ は奇数次元である）。このようにすべての関数と Poisson 可換な関数を Casimir 関数 という。この例は、Lie 環の双対空間の上に Lie 括弧から作る Poisson 構造（Lie–Poisson 構造）の、回転群の Lie 環の場合にあたる。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\omega$ が閉形式（非退化な 2 次形式 $\omega$ から $\{f,g\}:=\omega(X_f,X_g)$ を作る）	$\{x_1>-1\}\subset\mathbb{R}^4$ 上の $dx_1\wedge dy_1+(1+x_1)\,dx_2\wedge dy_2$	Jacobi 恒等式
$\omega$ が非退化（Poisson 多様体に広げる）	ex-pbr-lie-poisson の $\mathbb{R}^3$	すべての関数と Poisson 可換な関数は局所定数
$\varphi$ がシンプレクティック同相写像	$\varphi(x,y)=(2x,y)$	Poisson 括弧を保つ

表の確かめ

確かめを開く

1 行目：$c:=1+x_1>0$ とおく。$\omega$ は各点で非退化だが、$d\omega=dx_1\wedge dx_2\wedge dy_2\ne0$ である。prf-pbr-darboux と同じ計算で $X_H=\partial_{y_1}H\,\partial_{x_1}-\partial_{x_1}H\,\partial_{y_1}+c^{-1}\bigl(\partial_{y_2}H\,\partial_{x_2}-\partial_{x_2}H\,\partial_{y_2}\bigr)$ となり、$\{f,g\}=X_gf=(f_{x_1}g_{y_1}-f_{y_1}g_{x_1})+c^{-1}(f_{x_2}g_{y_2}-f_{y_2}g_{x_2})$ である。$f=y_1$、$g=x_2$、$h=y_2$ とすると、$\{x_2,y_2\}=1/(1+x_1)$、$\{y_2,y_1\}=0$、$\{y_1,x_2\}=0$ であり、$\{y_1,1/(1+x_1)\}=-\partial_{x_1}\bigl(1/(1+x_1)\bigr)=1/(1+x_1)^2$ なので、Jacobi 恒等式の左辺は $1/(1+x_1)^2\ne0$ である。

2 行目：ex-pbr-lie-poisson の $C=\lvert x\rvert^2$。

3 行目：上の段落の計算。

補足

完全可積分系：$2n$ 次元のシンプレクティック多様体の上で、互いに Poisson 可換な $n$ 個の関数が独立なら、その等位集合のコンパクトで連結な成分はトーラスになり、Hamilton の流れはその上の直線運動になる（Liouville–Arnoldの定理）。
部分多様体の判定：部分多様体が余等方的であることは、その上で $0$ になる関数どうしの Poisson 括弧がその上で $0$ になることと同値である（シンプレクティック多様体の命題「余等方性と Poisson 括弧」）。
文献：定義と Darboux 座標での公式は Lee13 (22.15)・(22.16)（p. 578）、基本性質と $X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g]$ は同書 Proposition 22.19・Corollary 22.20（p. 579）、保存量の判定は同書 Proposition 22.21 (a)（p. 580）による。CdS06 は §18.3（pp. 108–109）で同じ規約の定義、Jacobi 恒等式（Theorem 18.6）、Poisson 代数（Definition 18.7）を述べ、Theorem 18.9（p. 109）で保存量の判定を証明している。