Cauchy–Riemannの方程式
概要
Cauchy–Riemannの方程式（Cauchy–Riemann equations）とは、複素平面の開集合上の関数 $f=u+iv$ の実部と虚部が満たす連立偏微分方程式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ のことで、Wirtinger の微分作用素で $\partial f/\partial\bar z=0$ と書ける。実の意味で全微分可能な点では、この方程式は複素微分可能性と同値で、全微分が回転と拡大の合成であることを表す。多変数の写像では、全微分が複素線形であること、$i$ 倍と可換であること、各成分が各変数について方程式を満たすことが同値で、実の Jacobi 行列式は複素 Jacobi 行列式の絶対値の 2 乗になる。方程式を満たさない $C^1$ 級関数には、補正項つきの Cauchy–Pompeiu の公式がある。
Cauchy–Riemannの方程式（Cauchy–Riemann equations）とは、複素数平面の開集合の上の関数 $f=u+iv$（$u,v$ は実数値）の実部と虚部が満たす連立偏微分方程式
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
のことである。Wirtinger の微分作用素 $\partial/\partial\bar z=\frac12(\partial/\partial x+i\,\partial/\partial y)$ を使うと、2 本の実の方程式は 1 本の複素の方程式 $\partial f/\partial\bar z=0$ にまとまる。$f$ が実の意味で全微分可能な点では、この方程式が成り立つことと $f$ がその点で複素微分可能であることは同値である（正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」）。
方程式の意味は線形代数で読める。$f$ の全微分は $\mathbb R^2$ から $\mathbb R^2$ への線形写像であり、それが複素数倍、すなわち回転と拡大の合成であることを、Jacobi 行列の成分で書いたものが Cauchy–Riemann の方程式である。この見方は多変数の写像 $\mathbb C^n\to\mathbb C^m$ にもそのまま広がり、「全微分が $i$ 倍と可換である」という条件として、複素多様体や概複素多様体の上の正則写像の定義になる。
この記事では、Wirtinger の微分作用素の計算規則を確かめたうえで、多変数の写像について全微分の複素線形性・$i$ 倍との可換性・Cauchy–Riemann の方程式・Jacobi 行列の形が同値であることを証明し（thm-cr-main）、実の Jacobi 行列式が複素の Jacobi 行列式の絶対値の 2 乗であることを導く。続いて極座標の形と複素形の Green の公式を証明して Cauchy–Pompeiuの積分公式 とのつながりを述べ、仮定を外すと結論が崩れる例を挙げる。
Wirtinger の微分作用素
$\mathbb C^n$ の点を $z=(z_1,\dots,z_n)$、$z_j=x_j+iy_j$（$x_j,y_j$ は実数）と書き、$\mathbb C^n$ を実ベクトル空間 $\mathbb R^{2n}$ と同一視する。$h\in\mathbb C^n$ に対し $\bar h=(\bar h_1,\dots,\bar h_n)$ とする。
$U\subset\mathbb C^n$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb C$ を関数とし、$a\in U$ で偏導関数 $\partial f/\partial x_j$、$\partial f/\partial y_j$（$j=1,\dots,n$）が存在するとする。
$$
\frac{\partial f}{\partial z_j}(a):=\frac12\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)-i\frac{\partial f}{\partial y_j}(a)\Bigr),\qquad\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}(a):=\frac12\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)+i\frac{\partial f}{\partial y_j}(a)\Bigr)
$$
とおく。$f=u+iv$（$u,v$ は実数値）について、$a$ での変数 $z_j$ についての Cauchy–Riemann の方程式とは
$$
\frac{\partial u}{\partial x_j}(a)=\frac{\partial v}{\partial y_j}(a),\qquad\frac{\partial u}{\partial y_j}(a)=-\frac{\partial v}{\partial x_j}(a)
$$
のことをいう。
$2\,\partial f/\partial\bar z_j=(u_{x_j}-v_{y_j})+i(u_{y_j}+v_{x_j})$ なので、変数 $z_j$ についての Cauchy–Riemann の方程式は $\partial f/\partial\bar z_j(a)=0$ と同値である。この記号は 多変数の正則関数 の Wirtinger の微分作用素と同じである。正則性を表すのは $\partial/\partial\bar z_j$ のほうで、$\partial/\partial z_j$ と符号を取り違えやすい（同記事の例「Cauchy–Riemann の方程式の符号」）。
$U\subset\mathbb C^n$ を開集合、$a\in U$ とする。
- $\partial/\partial z_j$、$\partial/\partial\bar z_j$ は複素線形で、積について Leibniz 則を満たす。また $\dfrac{\partial z_k}{\partial z_j}=\dfrac{\partial\bar z_k}{\partial\bar z_j}=\delta_{jk}$、$\dfrac{\partial z_k}{\partial\bar z_j}=\dfrac{\partial\bar z_k}{\partial z_j}=0$ である。
- $\dfrac{\partial\bar f}{\partial\bar z_j}=\overline{\dfrac{\partial f}{\partial z_j}}$、$\dfrac{\partial\bar f}{\partial z_j}=\overline{\dfrac{\partial f}{\partial\bar z_j}}$ である。
- $f$ が $a$ で実の意味で全微分可能なら、全微分 $df_a\colon\mathbb C^n\to\mathbb C$ は
$$ df_a(h)=\sum_{j=1}^n\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z_j}(a)\,h_j+\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}(a)\,\bar h_j\Bigr)\qquad(h\in\mathbb C^n) $$
と書け、この形の表示の係数 $(\alpha_j,\beta_j)$（$df_a(h)=\sum_j(\alpha_jh_j+\beta_j\bar h_j)$）は $df_a$ から一意に決まる。 - （連鎖律）$V\subset\mathbb C^m$ を開集合、$F=(F_1,\dots,F_m)\colon U\to V$ が $a$ で、$g\colon V\to\mathbb C$ が $b:=F(a)$ で実の意味で全微分可能なら、$w_k$ を $\mathbb C^m$ の座標として
$$ \frac{\partial(g\circ F)}{\partial\bar z_j}(a)=\sum_{k=1}^m\Bigl(\frac{\partial g}{\partial w_k}(b)\frac{\partial F_k}{\partial\bar z_j}(a)+\frac{\partial g}{\partial\bar w_k}(b)\frac{\partial\bar F_k}{\partial\bar z_j}(a)\Bigr) $$
であり、$\partial(g\circ F)/\partial z_j$ も $\bar z_j$ を $z_j$ に替えた同じ式で表される。
要点：3 は $h_j=s_j+it_j$ の実部と虚部を $h_j$ と $\bar h_j$ で表し直すだけであり、4 は全微分の連鎖律に 3 を 2 回使って $\bar h_j$ の係数を読む。
詳しい証明を開く
1：$\partial/\partial x_j$、$\partial/\partial y_j$ が複素線形で Leibniz 則を満たすことから従う。$z_k=x_k+iy_k$ なら $\partial z_k/\partial x_j=\delta_{jk}$、$\partial z_k/\partial y_j=i\delta_{jk}$ なので $\partial z_k/\partial z_j=\frac12(1+1)\delta_{jk}$、$\partial z_k/\partial\bar z_j=\frac12(1-1)\delta_{jk}=0$ である。$\bar z_k$ も同様である。
2：$\partial\bar f/\partial x_j=\overline{\partial f/\partial x_j}$ などから $\frac12(\bar f_{x_j}+i\bar f_{y_j})=\overline{\frac12(f_{x_j}-if_{y_j})}$ である。
3：$h_j=s_j+it_j$ と書くと $df_a(h)=\sum_j(f_{x_j}(a)s_j+f_{y_j}(a)t_j)$ であり、$s_j=\frac12(h_j+\bar h_j)$、$t_j=\frac1{2i}(h_j-\bar h_j)$ を代入すると $f_{x_j}s_j+f_{y_j}t_j=\frac12(f_{x_j}-if_{y_j})h_j+\frac12(f_{x_j}+if_{y_j})\bar h_j$ となる。一意性：$\sum_j(\alpha_jh_j+\beta_j\bar h_j)=0$ がすべての $h$ で成り立てば、$h$ を $j$ 番目の単位ベクトル $e_j$ と $ie_j$ にとって $\alpha_j+\beta_j=0$、$i\alpha_j-i\beta_j=0$、よって $\alpha_j=\beta_j=0$ である。
4：実の連鎖律から $d(g\circ F)_a=dg_b\circ dF_a$ である。3 を $g$ に使うと $d(g\circ F)_a(h)=\sum_k\bigl(g_{w_k}(b)\,dF_{k,a}(h)+g_{\bar w_k}(b)\,\overline{dF_{k,a}(h)}\bigr)$ であり、3 と 2 により $dF_{k,a}(h)=\sum_j\bigl(\frac{\partial F_k}{\partial z_j}h_j+\frac{\partial F_k}{\partial\bar z_j}\bar h_j\bigr)$、$\overline{dF_{k,a}(h)}=\sum_j\bigl(\frac{\partial\bar F_k}{\partial z_j}h_j+\frac{\partial\bar F_k}{\partial\bar z_j}\bar h_j\bigr)$ である。代入して $\bar h_j$ と $h_j$ の係数を比べ、3 の一意性を使えばよい。$\square$
3 の表示は、$h\mapsto h_j$ と $h\mapsto\bar h_j$ を余接ベクトル $dz_j=dx_j+i\,dy_j$、$d\bar z_j=dx_j-i\,dy_j$ とみれば $df_a=\sum_j\bigl(\frac{\partial f}{\partial z_j}dz_j+\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}d\bar z_j\bigr)$ と書ける（Hor90 §1.1 (1.1.1)、p. 1 は 1 変数でこの形を与えている）。$dz_j$ は $dz_j(ih)=i\,dz_j(h)$ を、$d\bar z_j$ は $d\bar z_j(ih)=-i\,d\bar z_j(h)$ を満たすので、これは複素化した余接空間の型 $(1,0)$ と型 $(0,1)$ への分解（概複素構造 の命題「型の分解」）である。$df=\partial f+\bar\partial f$ の $(0,1)$ 部分 $\bar\partial f=\sum_j\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}d\bar z_j$ が消えることが、すべての変数についての Cauchy–Riemann の方程式である。
主定理：全微分の複素線形性
$\mathbb C^n$ の上の $i$ 倍を、実ベクトル空間 $\mathbb R^{2n}$ の線形変換とみて $J_n$ と書く。座標では $J_n(x_1,y_1,\dots,x_n,y_n)=(-y_1,x_1,\dots,-y_n,x_n)$ である。実の線形写像 $L\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^m$ が複素線形であることは、$L(ih)=iL(h)$、すなわち $L\circ J_n=J_m\circ L$ と同値である（実線形性とあわせれば $L((\alpha+i\beta)h)=\alpha L(h)+\beta L(ih)=(\alpha+i\beta)L(h)$ となる）。
$U\subset\mathbb C^n$ を開集合、$F=(F_1,\dots,F_m)\colon U\to\mathbb C^m$ を写像、$a\in U$ とし、各成分 $F_k$ が $a$ で実の意味で全微分可能であるとする。次の 4 条件は同値である。
- 全微分 $dF_a\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^m$ は複素線形である。
- $dF_a\circ J_n=J_m\circ dF_a$ である。
- すべての $j,k$ について $\dfrac{\partial F_k}{\partial\bar z_j}(a)=0$、すなわち各成分が各変数について $a$ で Cauchy–Riemann の方程式を満たす。
- 実の Jacobi 行列（行を $(\operatorname{Re}F_1,\operatorname{Im}F_1,\dots)$、列を $(x_1,y_1,\dots)$ の順に並べた $2m\times2n$ 行列）を $2\times2$ のブロックに分けると、各ブロックが $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}$（$\alpha,\beta\in\mathbb R$）の形である。
これらが成り立つとき、複素 Jacobi 行列 $A:=\bigl(\frac{\partial F_k}{\partial z_j}(a)\bigr)_{k,j}$ について $dF_a(h)=Ah$ であり、上の形のブロックは $\alpha+i\beta=\frac{\partial F_k}{\partial z_j}(a)$ を満たす。さらに $m=n$ なら、実の Jacobi 行列式は $\lvert\det A\rvert^2$ に等しい。
$n=m=1$ では、条件 1 は $f$ が $a$ で複素微分可能であることと同値である（正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」）。一般の $n,m$ でも、条件 1 は複素行列 $A$ について $F(a+h)-F(a)-Ah=o(\lvert h\rvert)$ となること、すなわち $F$ が $a$ で複素の意味で全微分可能であることと同じである。各成分が 多変数の正則関数 であれば、各点で条件 3 が成り立つ。
1 ⇔ 2．主定理の前の段落で見たとおりである。
1 ⇔ 3．prop-cr-rules の 3 により、各 $k$ について
$$
dF_{k,a}(h)=\sum_{j=1}^n\bigl(\alpha_{kj}h_j+\beta_{kj}\bar h_j\bigr),\qquad\alpha_{kj}:=\frac{\partial F_k}{\partial z_j}(a),\quad\beta_{kj}:=\frac{\partial F_k}{\partial\bar z_j}(a)
$$
である。$\overline{ih_j}=-i\bar h_j$ だから $dF_{k,a}(ih)-i\,dF_{k,a}(h)=-2i\sum_j\beta_{kj}\bar h_j$ である。したがって $dF_a(ih)=i\,dF_a(h)$ がすべての $h$ で成り立つことは、同じ命題の一意性により、すべての $\beta_{kj}$ が $0$ であることと同値である。このとき $dF_{k,a}(h)=\sum_j\alpha_{kj}h_j$、すなわち $dF_a(h)=Ah$ である。
3 ⇔ 4．$F_k=u+iv$ と書くと、$(k,j)$ ブロックは $\begin{pmatrix}u_{x_j}&u_{y_j}\\v_{x_j}&v_{y_j}\end{pmatrix}$ であり、これが $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}$ の形であることは $u_{x_j}=v_{y_j}$ かつ $u_{y_j}=-v_{x_j}$、すなわち変数 $z_j$ についての Cauchy–Riemann の方程式である。このとき $\alpha=u_{x_j}$、$\beta=v_{x_j}$ で、
$$
\frac{\partial F_k}{\partial z_j}=\frac12\bigl((u_{x_j}+iv_{x_j})-i(u_{y_j}+iv_{y_j})\bigr)=\frac12\bigl((u_{x_j}+v_{y_j})+i(v_{x_j}-u_{y_j})\bigr)=\alpha+i\beta
$$
である。
行列式．$m=n$ とし、実の Jacobi 行列を $M$ とする。$M$ を複素係数の行列とみて $\mathbb C^{2n}$ に作用させる。複素線形な同型 $T\colon\mathbb C^{2n}\to\mathbb C^{2n}$ を、各 $j$ の成分の組 $(\xi_j,\eta_j)$ を $(\xi_j+i\eta_j,\ \xi_j-i\eta_j)$ に写すものとし、成分を前半 $n$ 個と後半 $n$ 個に並べ替える。実ベクトル $v=(x_1,y_1,\dots,x_n,y_n)$ に $h:=(x_1+iy_1,\dots,x_n+iy_n)$ を対応させると $Tv=(h,\bar h)$ であり、$Mv$ には $dF_a(h)=Ah$ が対応するので
$$
T(Mv)=(Ah,\overline{Ah})=(Ah,\bar A\bar h)=\begin{pmatrix}A&0\\0&\bar A\end{pmatrix}Tv
$$
である。実ベクトルは $\mathbb C^{2n}$ を複素ベクトル空間として張り、両辺は $v$ について複素線形なので、すべての $v\in\mathbb C^{2n}$ で $TMT^{-1}=\operatorname{diag}(A,\bar A)$ である。行列式をとって $\det M=\det A\cdot\det\bar A=\det A\cdot\overline{\det A}=\lvert\det A\rvert^2$ を得る。$\square$
行列式の等式から、正則な写像 $F\colon U\to\mathbb C^n$ は、全微分が可逆な点で向きを保つ。$n=1$ では実の Jacobi 行列式は $\lvert f'(a)\rvert^2$ であり（Ahl66 Ch. 2 §1.2、p. 25）、$f'(a)=re^{i\theta}$（$r>0$）なら全微分は角 $\theta$ の回転と $r$ 倍の拡大の合成なので、2 つの曲線のなす角を向きも込めて保つ（等角写像）。逆に、可逆な $2\times2$ の実行列 $M$ が角を保つなら、$e_1\perp e_2$ から $Me_1\perp Me_2$、$(e_1+e_2)\perp(e_1-e_2)$ から $\lvert Me_1\rvert^2-\lvert Me_2\rvert^2=\langle M(e_1+e_2),M(e_1-e_2)\rangle=0$ なので、$M$ の 2 つの列は直交して長さが等しい。さらに $\det M>0$ なら第 2 列は第 1 列を $90^\circ$ 正の向きに回したものであり、$M$ は 4 の形をしている。
- $f(z)=z^2$ では $u=x^2-y^2$、$v=2xy$ であり、$u_x=2x=v_y$、$u_y=-2y=-v_x$ が成り立つ。$\partial f/\partial z=2z$、実の Jacobi 行列式は $u_xv_y-u_yv_x=4x^2+4y^2=\lvert2z\rvert^2$ である。
- $f(z)=\bar z$ では $\partial f/\partial\bar z=1$ で、どの点でも方程式が成り立たない。実の Jacobi 行列は $\operatorname{diag}(1,-1)$ で行列式は $-1$ であり、向きを反対にする。
- $n=2$、$F(z_1,z_2)=(z_1z_2,\ z_1+z_2^2)$ は正則で、$A=\begin{pmatrix}z_2&z_1\\1&2z_2\end{pmatrix}$、$\det A=2z_2^2-z_1$ なので、実の Jacobi 行列式は $\lvert2z_2^2-z_1\rvert^2\ge0$ である。一方 $G(z_1,z_2)=(z_1,\bar z_2)$ は $\partial G_2/\partial\bar z_2=1$ で、第 2 成分が変数 $z_2$ について方程式を満たさない。
極座標の形
$0$ を含まない開集合の上では、極座標 $z=re^{i\theta}$ で方程式を書くと便利なことがある。
$U\subset\mathbb C\setminus\{0\}$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb C$ を $a=r_0e^{i\theta_0}\in U$ で実の意味で全微分可能な関数とし、$\Phi(r,\theta):=f(re^{i\theta})$ とおく。このとき
$$
\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}(r_0,\theta_0)-ir_0\frac{\partial\Phi}{\partial r}(r_0,\theta_0)=-2ir_0e^{-i\theta_0}\frac{\partial f}{\partial\bar z}(a)
$$
である。したがって $f$ が $a$ で Cauchy–Riemann の方程式を満たすことは、$\Phi_\theta=ir\Phi_r$、実部と虚部では $u_r=\frac1rv_\theta$、$v_r=-\frac1ru_\theta$ が $(r_0,\theta_0)$ で成り立つことと同値である。
要点：2 本の座標曲線の速度ベクトル $e^{i\theta_0}$、$ir_0e^{i\theta_0}$ に prop-cr-rules の 3 を当てる。
詳しい証明を開く
$\theta$ を止めた曲線 $r\mapsto re^{i\theta_0}$ の速度は $e^{i\theta_0}$、$r$ を止めた曲線 $\theta\mapsto r_0e^{i\theta}$ の速度は $ir_0e^{i\theta_0}$ である。prop-cr-rules の 3 を使うと$$\Phi_r=f_z\,e^{i\theta_0}+f_{\bar z}\,e^{-i\theta_0},\qquad\Phi_\theta=f_z\,ir_0e^{i\theta_0}+f_{\bar z}\,\overline{ir_0e^{i\theta_0}}=ir_0\bigl(f_ze^{i\theta_0}-f_{\bar z}e^{-i\theta_0}\bigr)$$（$f_z:=\partial f/\partial z$、$f_{\bar z}:=\partial f/\partial\bar z$ で、偏導関数はすべて $a$ または $(r_0,\theta_0)$ での値）である。よって $\Phi_\theta-ir_0\Phi_r=-2ir_0f_{\bar z}e^{-i\theta_0}$ である。$r_0e^{-i\theta_0}\ne0$ なので、$\Phi_\theta=ir_0\Phi_r$ は $f_{\bar z}(a)=0$ と同値である。$\Phi=u+iv$ として実部と虚部に分ければ、$v_\theta=r_0u_r$、$u_\theta=-r_0v_r$ を得る。$\square$
たとえば $0<\theta<2\pi$ の範囲で $\log z:=\log r+i\theta$ と定めると $\Phi_r=1/r$、$\Phi_\theta=i$ で $\Phi_\theta=ir\Phi_r$ が成り立つ。$\log z$ は実の意味で $C^1$ 級なので、正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」の後半により正則である。
複素形の Green の公式
Cauchy–Riemann の方程式を満たさない関数でも、$\partial f/\partial\bar z$ を測れば積分の式が書ける。
$D\subset\mathbb C$ を区分的に滑らかな境界をもつ有界領域とし、$\partial D$ を正の向き（$D$ を左に見る向き）にたどる。$f$ が $\overline D$ を含む開集合で $C^1$ 級なら
$$
\oint_{\partial D}f\,dz=2i\iint_D\frac{\partial f}{\partial\bar z}\,dx\,dy
$$
が成り立つ。とくに $f$ が $D$ で Cauchy–Riemann の方程式を満たせば、$\oint_{\partial D}f\,dz=0$ である。
$f\,dz=f\,dx+if\,dy$ である。Greenの定理 の定理「Green の定理」を $P:=f$、$Q:=if$ の実部と虚部に当てて足し合わせると
$$
\oint_{\partial D}f\,dz=\iint_D\Bigl(\frac{\partial(if)}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)dx\,dy=i\iint_D\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)dx\,dy=2i\iint_D\frac{\partial f}{\partial\bar z}\,dx\,dy
$$
である。最後の主張は $\partial f/\partial\bar z=0$ を代入したものである。$\square$
この式は Hor90 §1.2 (1.2.2)（p. 2）にある（そこでは面積要素を $dz\wedge d\bar z=-2i\,dx\wedge dy$ で書いている）。最後の主張は、導関数が連続な正則関数についての Cauchyの積分定理 の別証明でもある（Greenの定理 の例「導関数が連続な正則関数の Cauchy の積分定理」）。
この式を、点 $\zeta\in D$ のまわりの小円を除いた領域で $f(z)/(z-\zeta)$ に当て、小円の半径を $0$ に近づけると
$$
f(\zeta)=\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\frac1\pi\iint_D\frac{\partial f/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dx\,dy
$$
が得られる。これが Cauchy–Pompeiuの積分公式 であり、証明は同記事の定理「Cauchy–Pompeiuの積分公式」にある。$f$ が正則なら面積分の項が消えて Cauchyの積分公式 になる。面積分の項は、$\bar\partial$ 方程式 $\partial u/\partial\bar z=\varphi$ の解を与える Cauchy 変換の出発点であり（同記事の定理「$\bar\partial$ 方程式の解の公式」）、Dolbeault–Grothendieckの補題 の 1 変数の場合の証明に使われる。
$C^2$ 級の関数では $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}=4\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\bar z}$ である（$(\partial_x-i\partial_y)(\partial_x+i\partial_y)$ を展開し、混合偏導関数の対称性を使う）。正則関数は $C^\infty$ 級なので（正則関数 の定理「正則関数の冪級数展開」）、正則関数 $f$ について $\Delta f=4\,\partial_z(\partial f/\partial\bar z)=0$ であり、$\Delta$ は実の作用素だから実部と虚部はともに 調和関数 である（Ahl66 Ch. 2 §1.2、p. 25）。
反例：仮定を外した場合
thm-cr-main の「実の意味で全微分可能」と、開集合の上で方程式から正則性を導く 正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」の後半の仮定（$U$ の各点で方程式が成り立つこと、$C^1$ 級であること）を、それぞれ 1 つずつ弱めると結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $a$ での実の全微分可能性（偏導関数の存在と方程式だけを仮定する） | $f(x+iy)=\sqrt{\lvert xy\rvert}$、$a=0$ | $a$ での複素微分可能性 |
| 方程式が $U$ の各点で成り立つこと（1 点だけで成り立つ） | $f(z)=\lvert z\rvert^2$、$U=\mathbb C$ | $U$ の上での正則性 |
| $C^1$ 級であること（各点で偏導関数が存在して方程式を満たす） | $f(z)=e^{-z^{-4}}$（$z\ne0$）、$f(0)=0$ | $\mathbb C$ の上での正則性 |
要点：1 行目は直線 $h=t(1+i)$ に沿う差分商、2 行目は偏導関数の計算、3 行目は 多変数の正則関数 の計算による。
確かめを開く
1 行目：$u=\sqrt{\lvert xy\rvert}$、$v=0$ とする。座標軸の上で $u=0$ なので $u_x(0)=u_y(0)=0$ であり、$v_x=v_y=0$ とあわせて原点で Cauchy–Riemann の方程式が成り立つ。一方、$h=t(1+i)$（$t>0$）では $f(h)/h=t/(t(1+i))=1/(1+i)$、$h=t$ では $f(h)/h=0$ なので、$(f(h)-f(0))/h$ は $h\to0$ で収束しない。thm-cr-main と 正則関数 の定理により、$f$ は原点で実の意味で全微分可能でもない。
2 行目：$u=x^2+y^2$、$v=0$ で、$u_x=2x$、$v_y=0$、$u_y=2y$、$v_x=0$ なので方程式は原点でだけ成り立つ。$f$ は原点で複素微分可能（$f'(0)=0$）だが、原点以外では複素微分可能でなく、どの空でない開集合の上でも正則でない（正則関数 の注意「反例：複素共役と絶対値」）。
3 行目：多変数の正則関数 の節「反例：仮定を外した場合」の 3 行目の確かめにより、$f$ はすべての点で偏導関数をもって $\partial f/\partial\bar z=0$ を満たすが、原点で連続でない。したがって原点で正則でない。
1 行目の $f$ は原点の近くで連続であり、偏導関数も存在するが、全微分可能性が欠けている。2 行目は、1 点での複素微分可能性と開集合の上での正則性が別の概念であることを示す。3 行目では方程式は至るところで成り立つが、連続性すら失われている。
関連項目
- 前提: 正則関数, 全微分, 偏微分, Jacobi行列
- 比較: 多変数の正則関数, 概複素構造, 等角写像, 調和関数
- 応用: Cauchyの積分定理, Cauchyの積分公式, Greenの定理
- 発展: Dolbeault–Grothendieckの補題, Dolbeaultコホモロジー, Bergman空間
参考文献
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