集合族

同義語：集合の族family of sets

概要

集合族（family of sets）とは、添字集合 $I$ の各元 $i$ に集合 $A_i$ を対応させた集まり $(A_i)_{i\in I}$、すなわち $I$ を定義域とする写像である。写像として扱うので、同じ集合が異なる添字に重複して現れる情報や添字の並びを保持でき、この点で冪集合の部分集合としての部分集合系と異なる。和 $\bigcup_{i\in I}A_i$ と共通部分 $\bigcap_{i\in I}A_i$ は補集合について De Morgan の法則を満たし、写像の逆像と両立する。開被覆や減少する区間の族がその例である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 集合の基本的な用語、集合の演算

定義

多数の集合を一度に扱うには、それぞれを区別する添字を付ける。有限個の集合、集合の列、開被覆、部分群の集まりなどは、すべて同じ「集合族」の記法で表せる。

添字付き集合族

集合 $I$ の各元 $i$ に集合 $A_i$ を対応させたもの
$$ (A_i)_{i\in I} $$
を集合族(family of sets)という。$I$ を添字集合、$i$ を添字という。厳密には、集合族は $i\mapsto A_i$ という写像である。
すべての $A_i$ が一つの集合 $X$ の部分集合であるとき、$(A_i)_{i\in I}$ を $X$ の部分集合族という。この場合、集合族は写像 $I\to\mathcal{P}(X)$ と同じデータである。

部分集合系

集合 $X$ に対し、冪集合 $\mathcal{P}(X)$ の部分集合
$$ \mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X) $$
を $X$ 上の部分集合系(set system)という。

文献によっては部分集合系も集合族と呼び、二つを区別しない。一方、集合族を写像 $I\to\mathcal{P}(X)$、部分集合系をその値の集合 $\{A_i\mid i\in I\}$ として区別する流儀もあるMat68。本記事では、重複や添字を保持するときは $(A_i)_{i\in I}$、値だけを見るときは $\{A_i\mid i\in I\}$ と書いて区別する。

集合族の和と交叉

集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対して
$$ \bigcup_{i\in I}A_i =\{x\mid \text{ある }i\in I\text{ について }x\in A_i\} $$
をその和または合併という。
さらに各 $A_i$ が共通の全体集合 $X$ の部分集合であるとき
$$ \bigcap_{i\in I}A_i =\{x\in X\mid \text{すべての }i\in I\text{ について }x\in A_i\} $$
をその交叉または共通部分という。

$I=\emptyset$ の場合、和は $\emptyset$ である。交叉は全体集合を指定しなければ一意に定まらないが、$A_i\subset X$ という文脈では空な族の交叉を $X$ とする。

直感

集合族を写像として定義する理由は、値が同じでも添字が違えば別の項として記録できるからである。たとえば $A_1=A_2$ であっても、列 $(A_1,A_2,A_3)$ では二つの段階が存在する。一方、値の集合 $\{A_1,A_2,A_3\}$ では重複が消える。
和の定義に現れるのは存在量化「ある $i$」であり、交叉の定義に現れるのは全称量化「すべての $i$」である。この違いから、空な添字集合に対する和は空集合、固定した $X$ の中での交叉は $X$ になる。
冪集合 $\mathcal{P}(X)$ 自体の定義、有限集合の冪集合、部分集合と特性関数の対応は集合の基本的な用語、集合の演算が所有する。本記事は、$\mathcal{P}(X)$ の元を添字付きで集めた集合族と、その和・交叉を所有する。

例と反例

有限な部分集合族

$X=\{1,2,3,4\}$ とし
$$ A_1=\{1,2\},\qquad A_2=\{2,3\},\qquad A_3=\{2,4\} $$
とする。すると
$$ \bigcup_{i=1}^{3}A_i=X,\qquad \bigcap_{i=1}^{3}A_i=\{2\} $$
である。

減少する区間族

$n\geq1$ に対して $A_n=(-1/n,1/n)$ とおくと、$(A_n)_{n\geq1}$ は $A_{n+1}\subset A_n$ を満たす減少する集合族である。このとき
$$ \bigcup_{n\geq1}A_n=(-1,1),\qquad \bigcap_{n\geq1}A_n=\{0\} $$
である。各 $A_n$ は通常の位相空間 $\mathbb{R}$ で開集合だが、無限交叉は開集合とは限らない。

開被覆

位相空間 $X$ の開集合族 $(U_i)_{i\in I}$ が
$$ X=\bigcup_{i\in I}U_i $$
を満たすとき、これを $X$ の開被覆という。同じ開集合が異なる添字で現れてもよい。有限部分被覆を選べるかどうかを論じるとき、添字集合を保持する見方が便利である。

反例：族と値の集合は同じとは限らない

$I=\{1,2,3\}$、$A_1=A_2=\emptyset$、$A_3=\{0\}$ とする。添字付き族 $(A_i)_{i\in I}$ には三つの項があるが、値の集合は
$$ \{A_i\mid i\in I\}=\{\emptyset,\{0\}\} $$
という二元集合である。「添字付き族には $|I|$ 個の相異なる集合が現れる」という含意は成り立たない。

基本性質

集合族に対する De Morgan の法則

$X$ の部分集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対し
$$ X\setminus\bigcup_{i\in I}A_i =\bigcap_{i\in I}(X\setminus A_i), $$
$$ X\setminus\bigcap_{i\in I}A_i =\bigcup_{i\in I}(X\setminus A_i) $$
が成り立つ。

$x\in X$ を取る。$x\notin\bigcup_iA_i$ であることは、$x\in A_i$ となる $i$ が存在しないこと、すなわちすべての $i\in I$ について $x\notin A_i$ であることと同値である。これは $x\in\bigcap_i(X\setminus A_i)$ と同値なので第一式を得る。
また $x\notin\bigcap_iA_i$ であることは、すべての $i$ について $x\in A_i$ であることが成り立たないこと、すなわちある $i\in I$ について $x\notin A_i$ であることと同値である。これは $x\in\bigcup_i(X\setminus A_i)$ と同値なので第二式を得る。$\blacksquare$

二重に添字づけられた族の和

各 $i\in I$ に対して添字集合 $J_i$ と集合族 $(A_{i,j})_{j\in J_i}$ があるとき
$$ \bigcup_{i\in I}\left(\bigcup_{j\in J_i}A_{i,j}\right) = \bigcup_{(i,j)\in K}A_{i,j}, \qquad K=\{(i,j)\mid i\in I,\ j\in J_i\} $$
が成り立つ。

左辺に $x$ が属することは、ある $i\in I$ が存在して $x\in\bigcup_{j\in J_i}A_{i,j}$ となることと同値である。さらにこれは、ある $i\in I$ とある $j\in J_i$ が存在して $x\in A_{i,j}$ となることと同値である。この条件は、ある $(i,j)\in K$ について $x\in A_{i,j}$ となること、すなわち右辺に $x$ が属することそのものである。外延性により両辺は等しい。$\blacksquare$

逆像と集合族の演算

写像 $f\colon X\to Y$ と $Y$ の部分集合族 $(B_i)_{i\in I}$ に対して
$$ f^{-1}\!\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right) =\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i), $$
$$ f^{-1}\!\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right) =\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i) $$
が成り立つ。

$x\in X$ に対し、$x\in f^{-1}(B_i)$ は $f(x)\in B_i$ と同値である。したがって、和については「ある $i$」、交叉については「すべての $i$」という量化をこの同値の両側へそのまま移せる。これにより二つの等式を得る。$\blacksquare$

像は任意和を保つが、一般に交叉を保たない。たとえば定値写像 $f\colon\{1,2\}\to\{0\}$ と $A_1=\{1\}$、$A_2=\{2\}$ に対して、$f(A_1\cap A_2)=\emptyset$ だが $f(A_1)\cap f(A_2)=\{0\}$ である。

記法と扱う範囲

$\{A_i\}_{i\in I}$ という波括弧つき記法も集合族に広く使われる。ただし、重複を保持する写像としての族か、値だけからなる集合かが曖昧になり得る。重複・順序・添字写像が重要な場面では $(A_i)_{i\in I}$ と書くのが安全であるHal74。
冪集合と有限集合での具体例、$2^X$ と特性関数の対応は集合の基本的な用語、集合の演算で扱い、本記事は集合族・部分集合系・任意和・任意交叉・添字の保持を扱う。

関連項目

参考文献

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