Rayleigh商

1：自己共役性から $\langle Th,x\rangle=\langle h,Tx\rangle=\overline{\langle Tx,h\rangle}$ なので、
$$ N(t):=\langle T(x+th),x+th\rangle=\langle Tx,x\rangle+2t\operatorname{Re}\langle Tx,h\rangle+t^2\langle Th,h\rangle $$
である。同様に $D(t):=\|x+th\|^2=\|x\|^2+2t\operatorname{Re}\langle x,h\rangle+t^2\|h\|^2$ である。$D(0)=\|x\|^2>0$ なので、$t=0$ の近くで $R_T(x+th)=N(t)/D(t)$ は微分可能で、商の微分法により
$$ \frac{N'(0)D(0)-N(0)D'(0)}{D(0)^2}=\frac{2\operatorname{Re}\langle Tx,h\rangle\,\|x\|^2-\langle Tx,x\rangle\,2\operatorname{Re}\langle x,h\rangle}{\|x\|^4}=\frac{2\operatorname{Re}\langle Tx-R_T(x)x,h\rangle}{\|x\|^2} $$
である。
2：$x$ が固有ベクトルで $Tx=\lambda x$ なら、$\lambda=R_T(x)$ だから $Tx-R_T(x)x=0$ で、微分係数はすべて $0$ である。逆に微分係数がすべて $0$ なら、$h:=Tx-R_T(x)x$ とおくと $2\|h\|^2/\|x\|^2=0$ なので $h=0$、すなわち $Tx=R_T(x)x$ である。
3：$t\mapsto R_T(x+th)$ は（$x+th\ne0$ となる $t=0$ の近くで）$t=0$ で最大値をとるので、微分係数は $0$ である。$h$ は任意なので、2 により $Tx=R_T(x)x=M(T)x$ である。最小値の場合も同じである。$\square$

1：$\lambda$ は実数なので $T-\lambda$ も自己共役で、$(T-\lambda)u=0$ である。展開すると
$$ \langle(T-\lambda)(x-u),x-u\rangle=\langle(T-\lambda)x,x\rangle-\langle(T-\lambda)x,u\rangle-\langle(T-\lambda)u,x\rangle+\langle(T-\lambda)u,u\rangle $$
で、第 2 項は $\langle x,(T-\lambda)u\rangle=0$、第 3 項と第 4 項も $0$ である。よって右辺は $\langle Tx,x\rangle-\lambda\|x\|^2$ に等しく、$\|x\|^2$ で割れば 1 を得る。
2：1 で $u=Px$ とおき、Cauchy–Schwarz の不等式を使うと最初の不等式を得る。$\lambda$ は固有値なので $m(T)\le\lambda\le M(T)$ である。自己共役作用素 $T-\lambda$ の Rayleigh 商は $R_T-\lambda$ なので、その値は $[m(T)-\lambda,\,M(T)-\lambda]$ に入る。自己共役作用素 の命題「2 次形式によるノルムとスペクトルの端」の 1（実 Hilbert 空間では Bre11 Proposition 6.9）により、$\|T-\lambda\|=\max\bigl(M(T)-\lambda,\ \lambda-m(T)\bigr)\le M(T)-m(T)$ である。$\square$

要点：残差 $Tx-R_T(x)x$ は $x$ に直交するので 1 は三平方の定理であり、2 は自己共役な $(T-\mu)^{-1}$ のノルムが $1/\operatorname{dist}(\mu,\sigma(T))$ に等しいことから出る。

コンパクト作用素 の記事の定理「自己共役コンパクト作用素のスペクトル分解」により、$0$ でない固有値 $\lambda_j$ の固有ベクトルからなる正規直交系 $(e_j)$ があって、$Tx=\sum_j\lambda_j\langle x,e_j\rangle e_j$ である。同記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」により、各 $\delta>0$ について $\lambda_j\ge\delta$ となる $j$ は有限個なので、正の $\lambda_j$ をもつ $e_j$ を固有値の大きい順に並べ直して $f_1,f_2,\dots$（$Tf_i=\mu_if_i$）とできる。すると
$$ \langle Tx,x\rangle=\sum_j\lambda_j|\langle x,e_j\rangle|^2\le\sum_i\mu_i|\langle x,f_i\rangle|^2 $$
である（負の $\lambda_j$ の項を落とした）。
$\ge$ の向き． $W_k:=\operatorname{span}(f_1,\dots,f_k)$ の元 $x=\sum_{i\le k}c_if_i$ について $\langle Tx,x\rangle=\sum_{i\le k}\mu_i|c_i|^2\ge\mu_k\|x\|^2$ であり、$x=f_k$ で等号が成り立つ。よって $W_k$ の上での最小値は $\mu_k$ である。
$\le$ の向き． $W$ を任意の $k$ 次元部分空間とする。線形写像 $W\to\mathbb K^{k-1}$、$x\mapsto(\langle x,f_1\rangle,\dots,\langle x,f_{k-1}\rangle)$ の核は $0$ でないので（$k=1$ なら $W$ 全体）、$0$ でない $x\in W$ で $\langle x,f_i\rangle=0$（$i< k$）となるものがある。このとき Bessel の不等式により
$$ \langle Tx,x\rangle\le\sum_{i\ge k}\mu_i|\langle x,f_i\rangle|^2\le\mu_k\sum_{i\ge k}|\langle x,f_i\rangle|^2\le\mu_k\|x\|^2 $$
なので、$W$ の上での $R_T$ の最小値は $\mu_k$ 以下である。最小値が存在するのは、$W$ の単位球面がコンパクトで $R_T$ が連続だからである。以上から主張が従う。$\square$

$0< x<1$ で $g(x):=\pi\cot(\pi x)$ とおくと、$g'(x)=-\pi^2/\sin^2(\pi x)=-\pi^2-g(x)^2$ である。したがって $(0,1)$ の上で
$$ (u'-gu)^2+(gu^2)'=u'^2-2guu'+g^2u^2+\bigl(-\pi^2-g^2\bigr)u^2+2guu'=u'^2-\pi^2u^2 $$
が成り立つ。$0<\delta<1/2$ として $[\delta,1-\delta]$ で積分すると
$$ \int_\delta^{1-\delta}(u'^2-\pi^2u^2)\,dx=\int_\delta^{1-\delta}(u'-gu)^2\,dx+g(1-\delta)u(1-\delta)^2-g(\delta)u(\delta)^2 $$
である。境界項を評価する。$C:=\max|u'|$ とおくと、$u(0)=0$ と平均値の定理から $|u(\delta)|\le C\delta$ である。$[0,1/2]$ で $\sin(\pi x)\ge2x$（$\sin(\pi x)$ は上に凸で、両端 $x=0,1/2$ で $2x$ と一致する）なので $|g(\delta)|\le\pi/\sin(\pi\delta)\le\pi/(2\delta)$ であり、$|g(\delta)u(\delta)^2|\le\pi C^2\delta/2\to0$（$\delta\to0$）である。$x=1-\delta$ でも、$u(1)=0$ から同様に $0$ に近づく。
右辺の第 1 項は $\delta$ を小さくすると増加し、左辺と境界項は収束するので、
$$ \int_0^1(u'^2-\pi^2u^2)\,dx=\lim_{\delta\to0}\int_\delta^{1-\delta}(u'-gu)^2\,dx\ \ge0 $$
である。等号が成り立つなら、非負の連続関数 $(u'-gu)^2$ の $[\delta,1-\delta]$ での積分がすべての $\delta$ で $0$ なので、$(0,1)$ で $u'=gu$ である。すると
$$ \Bigl(\frac{u}{\sin\pi x}\Bigr)'=\frac{u'\sin\pi x-\pi u\cos\pi x}{\sin^2\pi x}=\frac{u'-gu}{\sin\pi x}=0 $$
なので、$(0,1)$ で $u=c\sin\pi x$ であり、連続性から $[0,1]$ でも成り立つ。逆に $u=c\sin\pi x$ なら $\int_0^1u'^2=c^2\pi^2/2=\pi^2\int_0^1u^2$ である。$\square$