ベクトル束の滑らかな構造の一意性

これは Hir76 Ch. 4 の Theorem 3.1（p. 99）で閉集合 $A=\emptyset$ とした場合である（証明は余次元の数え上げによる横断性の議論）。$M$ がコンパクトなら、$s$ を大きくとってよければ初等的に示せる。

要点：$P(y)$ で $\operatorname{Im}P(y_0)$ の基底を動かした枠は $y_0$ の近くで $\operatorname{Im}P(y)$ の基底になり、2 つの枠の変換関数は $(S'^{\mathsf T}S')^{-1}S'^{\mathsf T}S$ で $C^r$ 級である。

$C^r$ 自明化 $\varphi$ による表示を $F\circ\varphi^{-1}(y,a)=(y,S(y)a)$ とすると、$S$ は $C^r$ 級で、$S(y)$ の列は 1 次独立で $\mathrm{pr}_2F(\xi_y)$ を張る。射影行列の公式（正射影と射影行列 の定理「正射影の公式と直交分解」）により $P=S(S^{\mathsf T}S)^{-1}S^{\mathsf T}$ なので $P$ は $C^r$ 級であり、$P^2=P$、$\operatorname{rank}P=k$ である。$S$ は lem-ssv-image の形なので $\Phi_S^{-1}$ は $E_P$ の $C^r$ 自明化で、$\varphi$ と $\Phi_S^{-1}$ による $F$ の表示は単位行列である。$\square$

$v\in\operatorname{Im}P$、$v\ne0$ なら $Pv=v$ なので $|Qv-v|=|(Q-P)v|\le\|Q-P\|\,|v|<|v|$ であり、$Qv\ne0$ である。よって $Q$ の $\operatorname{Im}P$ への制限は単射で、$\operatorname{rank}Q\ge\operatorname{rank}P$ である。$P,Q$ を入れ替えて $\operatorname{rank}P\ge\operatorname{rank}Q$ を得る。次元が等しい空間の間の単射なので同型である。$\square$

要点：$\|C^j\|\le\|C\|^j$ と $|a_j|\le1$ から $f(C)$ は絶対収束する。$C$ は対称で $B$ と可換なので、$f(C)$ も対称で $B$ と可換である。1 は $(1+x)\bigl(\sum_ja_jx^j\bigr)^2=1$ の係数の比較を行列に移し、$S:=Bf(C)$ が $S^2=I$ を満たすことによる。2 は $\|C\|$ と $\|f(C)-I\|$ の評価、3 は項別の偏微分の一様収束による。

段 1（射影で表す）．$s:=k+n$ とし、lem-ssv-mono のファイバーごとに単射な $C^r$ 束写像 $F\colon\xi\to M\times\mathbb{R}^s$ をとる。lem-ssv-pullback により、$P(y)$ を $\mathrm{pr}_2F(\xi_y)$ への直交射影の行列とすると、$P\colon M\to\mathrm{Sym}_s$ は $C^r$ 級（とくに連続）で、$F$ は $C^r$ 同型 $\xi\to E_P$ である。
段 2（平均する）．各 $x\in M$ について $W_x:=\{y\in M\mid\|P(y)-P(x)\|<1/10\}$ は $x$ の開近傍である。$(W_x)_{x\in M}$ に従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_x)_{x\in M}$ をとり（1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」）、
$$ A(y):=\sum_{x\in M}\rho_x(y)\,P(x) $$
とおく。局所有限な和なので $A\colon M\to\mathrm{Sym}_s$ は $C^\infty$ 級である。$\rho_x(y)\ne0$ なら $y\in W_x$ なので、$\|A(y)-P(y)\|\le\sum_x\rho_x(y)\|P(x)-P(y)\|<1/10$ である。
段 3（射影に直す）．lem-ssv-straighten の 2 を $P_0:=P(y)$ に使うと、各 $y$ で $A(y)$ は補題の仮定を満たし、$Q(y):=\sigma(A(y))$ は直交射影の行列で $\|Q(y)-P(y)\|<1/2$ である。補題の 3 により $Q\colon M\to\mathrm{Sym}_s$ は $C^\infty$ 級である。lem-ssv-near により $\operatorname{rank}Q(y)=k$ であり、$v\mapsto Q(y)v$ は同型 $\operatorname{Im}P(y)\to\operatorname{Im}Q(y)$ である。
段 4（像の束を比べる）．lem-ssv-image により $E_Q$ は $C^\infty$ 束で、その $C^\infty$ 構造は $E_Q$ の $C^r$ 構造（$C^r$ 級の $S$ による自明化）と両立する。$T\colon E_P\to E_Q$、$T(y,v):=(y,Q(y)v)$ は各ファイバーで同型な束写像である。$E_P$ の $C^r$ 自明化 $\Phi_S^{-1}$（lem-ssv-image の形）をとると、$QS$ は $C^r$ 級で、その列は $\operatorname{Im}Q(y)$ の基底なので $\Phi_{QS}^{-1}$ は $E_Q$ の $C^r$ 自明化であり、この 2 つによる $T$ の表示は単位行列である。よって $T$ は $C^r$ 同型である。
段 5（構造を移す）．$\Phi:=T\circ F\colon\xi\to E_Q$ は $C^r$ 同型である。$E_Q$ の $C^\infty$ 自明化 $\psi$ をすべて集め、$\psi\circ\Phi$ の族を $\mathcal A$ とする。$\mathcal A$ の変換関数は $E_Q$ の $C^\infty$ アトラスの変換関数そのものなので、$\mathcal A$ は $\xi$ の $C^\infty$ アトラスである。$\xi$ の $C^r$ 自明化 $\varphi$ と $\psi\circ\Phi$ の変換関数は、$\varphi$ と $\psi$ による $\Phi$ の表示の行列で、$\psi$ は $E_Q$ の $C^r$ 自明化でもあるから $C^r$ 級である。よって $\mathcal A$ の定める $C^\infty$ 構造は $\xi$ の $C^r$ 構造と両立する。$\square$

$m(y):=\min\{\varepsilon(y),\|T_y^{-1}\|_y^{-1}\}$ は正の連続関数である（$T^{-1}$ も連続な束写像なので）。$x\in M$ ごとに、$x$ の開近傍 $U$ の上の $C^\infty$ 自明化 $\varphi$（$\eta$ の）、$\varphi'$（$\eta'$ の）をとり、$T$ の表示の行列を $\hat T\colon U\to\mathrm{GL}_k(\mathbb{R})$ とする。$S_x(v):=\varphi'^{-1}(\pi(v),\hat T(x)\,\mathrm{pr}_2\varphi(v))$ は $U$ の上の $C^\infty$ 束写像で $S_x(x)=T_x$ を満たすので、$W_x:=\{y\in U\mid\|S_x(y)-T_y\|_y< m(y)\}$ は $x$ の開近傍である。$(W_x)$ に従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_x)$ をとり、$T':=\sum_x\rho_xS_x$ とおく（$\rho_xS_x$ は $U$ の外で $0$ とする。$\operatorname{supp}\rho_x\subset U$ は閉集合なので、$\rho_xS_x$ は $M$ 全体で $C^\infty$ 束写像である）。局所有限な和なので $T'$ は $C^\infty$ 束写像で、
$$ \|T'_y-T_y\|_y\le\sum_x\rho_x(y)\|S_x(y)-T_y\|_y< m(y) $$
である。$t\in[0,1]$ について $\|T_t(y)-T_y\|_y=t\|T'_y-T_y\|_y<\|T_y^{-1}\|_y^{-1}$ なので、$T_t(y)=T_y\bigl(\mathrm{id}+T_y^{-1}(T_t(y)-T_y)\bigr)$ の括弧の中は、ノルムが $1$ 未満の作用素を恒等写像に足したものとして可逆である（Neumann級数 の定理「Neumann 級数の収束の判定」）。各ファイバーで同型な連続な束写像の逆は、局所的に逆行列で表されて連続なので、$T_t$ は束同型である。$t=1$ の $T'$ は $C^\infty$ 束写像で、逆も局所的に逆行列で表されて $C^\infty$ 束写像なので（Cramer の公式）、$C^\infty$ 同型である。$\square$

1：lem-ssv-approx を $T$ と $\varepsilon\equiv1$ に使い、$T_t:=(1-t)T+tT'$ とおく。$T_t$ は局所自明化で見て $(y,t)$ について連続な行列で表されるので、$(v,t)\mapsto T_t(v)$ は連続である。
2：恒等写像 $(\xi,\mathcal A_1)\to(\xi,\mathcal A_2)$ は連続な束同型なので、1（と lem-ssv-approx）を当てればよい。$\square$

全射は thm-ssv-main（$r=0$）、単射は thm-ssv-unique の 1 による。後半は、$M$ がパラコンパクト Hausdorff なので ベクトル束の分類定理 の定理「ベクトル束の分類定理」を $\operatorname{Vect}^k(M)$ に当てればよい。$\square$