多角形の内角の和と外角の和

1. 八角形の内角の和は $(8-2)\times180^\circ=1080^\circ$ である。正八角形の 1 つの内角は $1080^\circ\mathbin{÷}8=135^\circ$、1 つの外角は $180^\circ-135^\circ=45^\circ$ で、外角の和は $8\times45^\circ=360^\circ$ である。
2. 十二角形の内角の和は $(12-2)\times180^\circ=1800^\circ$ である。正十二角形の 1 つの内角は $1800^\circ\mathbin{÷}12=150^\circ$、1 つの外角は $30^\circ$ で、外角の和は $12\times30^\circ=360^\circ$ である。
3. 逆に、1 つの外角が $24^\circ$ の正多角形は、外角の和が $360^\circ$ なので $360^\circ\mathbin{÷}24^\circ=15$ 角形である。内角は $180^\circ-24^\circ=156^\circ$ である。

4 点 $A=(-2,0)$、$B=(0,1)$、$C=(2,0)$、$D=(0,4)$ を $A\to B\to C\to D\to A$ の順に結ぶと、$B$ のところでへこんだ矢じり形の四角形ができる（図1 の左）。内角をベクトルの内積（ベクトルの内積（高校数学））で求める。

• $A$ では $\overrightarrow{AB}=(2,1)$、$\overrightarrow{AD}=(2,4)$ で、$\cos\angle DAB=\dfrac{4+4}{\sqrt5\cdot2\sqrt5}=\dfrac45$ である。$C$ でも同じく $\cos=\dfrac45$ である。
• $D$ では $\overrightarrow{DA}=(-2,-4)$、$\overrightarrow{DC}=(2,-4)$ で、$\cos\angle ADC=\dfrac{-4+16}{20}=\dfrac35$ である。
• $B$ では $\overrightarrow{BA}=(-2,-1)$、$\overrightarrow{BC}=(2,-1)$ で、$\cos\angle ABC=\dfrac{-4+1}{5}=-\dfrac35$ である。ところが、四角形の内側は $B$ の上側に広がっているので、$B$ の内角は $\angle ABC$ ではなく、その残り $360^\circ-\angle ABC$ である。
  $\cos x=\dfrac45$ となる鋭角を $x$、$\cos y=\dfrac35$ となる鋭角を $y$ とおく。辺が $3,4,5$ の直角三角形の 2 つの鋭角なので $x+y=90^\circ$ である。$\cos\angle ABC=-\dfrac35$ から $\angle ABC=180^\circ-y$ なので、$B$ の内角は $360^\circ-(180^\circ-y)=180^\circ+y$ である。内角の和は
  $$ x+(180^\circ+y)+x+y=180^\circ+2(x+y)=180^\circ+180^\circ=360^\circ $$
  で、凸四角形と同じく $(4-2)\times180^\circ$ になる。数値では $x\approx36.87^\circ$、$y\approx53.13^\circ$、$B$ の内角 $\approx233.13^\circ$ である。

ex-asp-start-dart の四角形を対角線 $BD$ で三角形 $ABD$ と $BCD$ に分ける。$B$ の内角 $180^\circ+y$ は、$\angle ABD$ と $\angle DBC$ に分かれる。$\overrightarrow{BA}=(-2,-1)$、$\overrightarrow{BD}=(0,3)$ で $\cos\angle ABD=\dfrac{-3}{\sqrt5\cdot3}=-\dfrac1{\sqrt5}$、同じく $\cos\angle DBC=-\dfrac1{\sqrt5}$ なので、2 つは等しく、どちらも約 $116.57^\circ$ で、和は約 $233.13^\circ$ である。
2 つの三角形の内角をすべて足すと $180^\circ\times2=360^\circ$ で、これは四角形の 4 つの内角をすべて足したものに等しい（$A$ と $C$ の角は 1 つの三角形に、$B$ と $D$ の角は 2 つの三角形に分かれて入る）。

ex-asp-start-dart の四角形を $A\to B\to C\to D\to A$ の向きに回る。最初の辺 $AB$ は右上へ向かい、内部はその左（上側）にあるので、これは正の向きである。

• $B$：入る向き $(2,1)$、出る向き $(2,-1)$。右へ曲がるので $\tau_B<0$ で、$\tau_B=180^\circ-(180^\circ+y)=-y\approx-53.13^\circ$ である。
• $A$、$C$：$\tau=180^\circ-x\approx143.13^\circ$（左へ曲がる）。
• $D$：$\tau_D=180^\circ-y\approx126.87^\circ$。
  和は $(180^\circ-x)+(-y)+(180^\circ-x)+(180^\circ-y)=540^\circ-2(x+y)=540^\circ-180^\circ=360^\circ$ である（図1 の右）。
  同じ四角形を逆向き $A\to D\to C\to B\to A$ に回ると、どの頂点でも左右が入れ替わり、曲がる角はすべて符号が変わる。和は $-360^\circ$ になる。

ex-asp-start-dart の四角形で $O=(0,2)$ をとると、$O$ から 4 つの辺のどの点も見える（たとえば $O$ と $C=(2,0)$ を結ぶ線分は直線 $x+y=2$ の上にあり、$x=1$ では $y=1$ で、へこみの辺 $BC$（$x=1$ で $y=\frac12$）より上、辺 $CD$（$x=1$ で $y=2$）より下を通る）。4 つの三角形 $OAB$、$OBC$、$OCD$、$ODA$ の内角の和は $4\times180^\circ=720^\circ$、$O$ のまわりの角は $360^\circ$ なので、内角の和は $720^\circ-360^\circ=360^\circ$ で、ex-asp-start-dart の計算と一致する。

12 個の点
$$ (0,0),\ (3,0),\ (3,3),\ (1,3),\ (1,4),\ (3,4),\ (3,5),\ (0,5),\ (0,2),\ (2,2),\ (2,1),\ (0,1) $$
をこの順に結ぶと、S の字の形の 12 角形ができる（図2）。内角は $90^\circ$ が 8 個、$270^\circ$ が 4 個（$(1,3)$、$(1,4)$、$(2,2)$、$(2,1)$）で、和は $8\times90^\circ+4\times270^\circ=720^\circ+1080^\circ=1800^\circ=(12-2)\times180^\circ$ である。
この多角形には、prop-asp-star の点 $O$ がない。辺の中点 $M$ と $O$ を結ぶ線分が内部を通るなら、$O$ はその辺を含む直線の内部の側（周を正の向きに回るときの左側）にある。辺 $(1,3)\to(1,4)$ は上向きで、左側は $x<1$ の側、辺 $(2,2)\to(2,1)$ は下向きで、左側は $x>2$ の側である。$O$ の $x$ 座標が $1$ より小さく、同時に $2$ より大きいことはないので、そのような $O$ はない。

1. 6 角形 $v=(0,0)$、$u=(3,-2)$、$(6,-2)$、$(4,0)$、$(6,2)$、$w=(2,2)$（図3 の左）。$v$ が左端の頂点である。三角形 $uvw$ は $x\le3$ の範囲にあり、残りの頂点 $(6,-2)$、$(4,0)$、$(6,2)$ は $x\ge4$ なので三角形の中にない。線分 $uw$ が対角線である。
2. 6 角形 $v=(0,0)$、$u=(4,-2)$、$(6,-1)$、$z=(2,0)$、$(6,1)$、$w=(4,2)$（図3 の右）。三角形 $uvw$ は $x=2$ で $-1\le y\le1$ の範囲なので $z=(2,0)$ を含む。線分 $uw$（$x=4$ の上）は、$-\frac12< y<\frac12$ の部分で 2 本の辺 $(6,-1)z$ と $z(6,1)$ の間、つまりへこみ（外側）を通るので、対角線ではない。線分 $vz$ は $y=0$ の上を $x=0$ から $2$ まで進み、周と交わらないので対角線である。

ex-asp-s-shape の 12 角形は、図2 の 9 本の対角線で 10 個の三角形に分かれる。cor-asp-triangulation の $n-2=10$、$n-3=9$ と一致し、内角の和 $10\times180^\circ=1800^\circ$ も ex-asp-s-shape の直接の計算と一致する。

1. 円周を 5 等分する点を 1 つおきに結んだ星形五角形（図4 の左）を、辺に沿って回る。どの頂点でも左へ $144^\circ$ 曲がる（先端の角は $36^\circ$ で、$180^\circ-36^\circ=144^\circ$）。外角の和は $5\times144^\circ=720^\circ$ で、回転数は $2$ である。一方、先端の角 $36^\circ$ を 5 つ足すと $180^\circ$ で、$(5-2)\times180^\circ=540^\circ$ にならない。
2. 4 点 $(2,1)$、$(2,-1)$、$(-2,1)$、$(-2,-1)$ をこの順に結ぶと、原点で交わる蝶ネクタイ形になる（図4 の右）。右側の 2 つの頂点では右へ、左側の 2 つの頂点では左へ、同じ角 $180^\circ-\theta$ だけ曲がる。ここで $\theta$ は $\tan\theta=2$ の鋭角（約 $63.43^\circ$）で、曲がる角は約 $116.57^\circ$ である。外角の和は $2\times116.57^\circ-2\times116.57^\circ=0^\circ$ で、回転数は $0$ である。
   どちらも lem-asp-integer のとおり $360^\circ$ の整数倍だが、$360^\circ$ ではない。どちらも周が自分と交わっていて、def-asp-polygon の多角形ではない。

ex-asp-start-dart の四角形を $A$ から出発して正の向きに回り、進む向きを表す一般角を、曲がるたびに足していく。最初の辺 $AB$ の向き $(2,1)$ の一般角を $\varphi$（$\tan\varphi=\frac12$、約 $26.57^\circ$）とする。

• $B$ で $-53.13^\circ$ 曲がる：向きは約 $-26.57^\circ$（辺 $BC$ の向き $(2,-1)$）。
• $C$ で $143.13^\circ$ 曲がる：向きは約 $116.57^\circ$（辺 $CD$ の向き $(-2,4)$）。
• $D$ で $126.87^\circ$ 曲がる：向きは約 $243.43^\circ$（辺 $DA$ の向き $(-2,-4)$）。
• $A$ で $143.13^\circ$ 曲がる：向きは約 $386.57^\circ=26.57^\circ+360^\circ$。
  最初の向き $\varphi$ に戻ったとき、一般角はちょうど $360^\circ$ 増えている。途中で一度右へ曲がって向きが戻っても、合計では 1 回転である。

外側の正方形 $(0,0)$、$(4,0)$、$(4,4)$、$(0,4)$ から、内側の正方形 $(1,1)$、$(3,1)$、$(3,3)$、$(1,3)$ をくり抜く（図5）。頂点は全部で $N=8$ 個である。

• 内角（図形が占める角）：外側の 4 頂点では $90^\circ$、穴の 4 頂点では $270^\circ$ である。和は $4\times90^\circ+4\times270^\circ=1440^\circ$ である。
• 曲がる角：外側の周を反時計回りに回ると、各頂点で左へ $90^\circ$ 曲がり、和は $+360^\circ$ である。穴の周を時計回りに回ると、各頂点で右へ $90^\circ$ 曲がり、和は $-360^\circ$ である。全部の和は $0^\circ$ である。
  もし $8$ 角形の公式 $(8-2)\times180^\circ=1080^\circ$ を当てはめると、$1440^\circ$ と $360^\circ$ ずれる。額縁は 1 本の閉じた折れ線で囲まれていないので、thm-asp-interior の仮定を満たさない。

ex-asp-frame では $N=8$、$h=1$ である。prop-asp-holes から三角形の数は $8-2+2=8$、内角の和は $8\times180^\circ=1440^\circ$、曲がる角の総和は $360^\circ\times0=0^\circ$ で、どれも ex-asp-frame の直接の計算と一致する。実際、外側と内側の対応する頂点を結ぶ 4 本の線分で額縁を台形 4 枚に分け、各台形に対角線を 1 本引くと、三角形 $8$ 個に分かれる。内側の線分は $4+4=8$ 本で、prf-asp-holes の段 3 の $D=\frac{3\times8-8}2=8$ と合う。
穴が 2 つの場合、たとえば $6\times3$ の長方形から $1\times1$ の正方形の穴を 2 つくり抜くと、$N=12$、$h=2$ で、内角の和は $(12-2+4)\times180^\circ=2520^\circ$、曲がる角の総和は $-360^\circ$ である。直接数えると、外側の 4 頂点が $90^\circ$、穴の 8 頂点が $270^\circ$ で、$360^\circ+2160^\circ=2520^\circ$ である。

半径 $1$ の球面の上で、立方体の中心を球の中心に置き、立方体の 8 つの頂点を球面に写して、隣り合う頂点を大円の弧で結ぶ。球面は 6 つの合同な四角形に分かれる。各頂点には 3 つの四角形が集まり、どの角も等しいので、1 つの角は $360^\circ\mathbin{÷}3=120^\circ$ である。
1 つの四角形の内角の和は $4\times120^\circ=480^\circ$ で、平面の $(4-2)\times180^\circ=360^\circ$ より $120^\circ$ 大きい。曲がる角は各頂点で $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ で、和は $240^\circ$ であり、$360^\circ$ に $120^\circ$ 足りない。この四角形の面積は球面の面積 $4\pi$ の $\frac16$、つまり $\frac{2\pi}3$ で、弧度法で $120^\circ$ と同じ数である。足りない角が面積に等しいことは、球面三角形の面積 の Girard の定理から出る（同じ四角形はそこでも計算している）。

楕円 $x=2\cos t$、$y=\sin t$（$0\le t\le2\pi$）を考える（媒介変数表示と曲線の長さ）。接線の向きのベクトルは $(x',y')=(-2\sin t,\cos t)$ である。

• $t=0$：$(0,1)$（上向き）。$t=\frac\pi2$：$(-2,0)$（左向き）。$t=\pi$：$(0,-1)$（下向き）。$t=\frac{3\pi}2$：$(2,0)$（右向き）。$t=2\pi$：$(0,1)$（上向き）に戻る。
• 向きがいつも左へ回っていることは、$x'y''-y'x''=(-2\sin t)(-\sin t)-(\cos t)(-2\cos t)=2\sin^2t+2\cos^2t=2>0$ から分かる（この式が正なら、ベクトル $(x',y')$ は反時計回りに回っている）。
  上 → 左 → 下 → 右 → 上と、反時計回りに一度も戻らずに 1 周するので、接線の向きの変化の合計は $360^\circ$ である。数値で $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{x'y''-y'x''}{x'^2+y'^2}\,dt=\int_0^{2\pi}\frac{2}{4\sin^2t+\cos^2t}\,dt$ を計算しても $6.2831\ldots=2\pi$ になる（被積分関数は、接線の向きの角を $t$ で微分したものである）。